廣東省深圳市龍華區(qū)振能學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

-2024學(xué)年廣東省深圳市龍華區(qū)振能學(xué)校九年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（0，1） B．（1，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3）2．（3分）已知⊙O中最長的弦為8，則⊙O的半徑是（）A．4 B．8 C．12 D．163．（3分）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為x＝2，點(diǎn)A、B均在拋物線上，且AB與x軸平行，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（4，3） C．（3，3） D．（5，3）4．（3分）二次函數(shù)y＝（x+3）2﹣7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）5．（3分）如圖，A，B，C，D為⊙O上四點(diǎn)，若∠BOD＝110°，則∠A的度數(shù)是（）A．110° B．115° C．120° D．125°6．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B（2，1），點(diǎn)C（2，﹣3）．則經(jīng)畫圖操作可知：△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）7．（3分）將拋物線y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2個單位長度，再向下平移6個單位長度平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣5）2+11 D．y＝﹣（x﹣1）2+118．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，若⊙O的半徑為6，sinB＝，則線段AC的長是（）A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對稱軸x＝1，有以下結(jié)論：①a＜0，c＞0；②9a+3b+c＞0；③4ac﹣b2＜0；④3a+c＜0．其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4．P是△ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC．則線段CP長的最小值為（）A． B．2 C． D．二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣3圖象的對稱軸為直線．12．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的一個根為x＝4，則另一個根為．13．（3分）如圖，含30°角的直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑重合，點(diǎn)C和點(diǎn)D在量角器的半圓上，若點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)是50°，則∠CAD的度數(shù)是．14．（3分）如圖，AB是⊙O直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，且OD∥BC，連接AC和BD．下列四個結(jié)論中：①；②OD垂直平分AC；③BD＝AC；④∠AOD＝2∠DBC．所有正確結(jié)論的序號是．15．（3分）如圖，AB是半圓O的直徑，弦AD、BC相交于點(diǎn)P，且CD、AB是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的兩根，則sin∠APC＝．三.解答題（共7小題，滿分55分）16．（5分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C，且A（4，0），C（0，﹣3），對稱軸是直線x＝1，求二次函數(shù)的解析式．17．（12分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5，完成下列各題：（1）將函數(shù)關(guān)系式用配方法化為y＝a（x+h）2+k的形式，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸．（2）求出它的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．（3）在直角坐標(biāo)系中，畫出它的圖象．（4）當(dāng)為x何值時，函數(shù)y隨著x的增大而增大？（5）根據(jù)圖象說明：當(dāng)x為何值時，y＞0．18．（8分）如圖，要把殘缺的圓片復(fù)原，已知弧上的三點(diǎn)A、B、C．（1）用尺規(guī)作圖法，找出弧BC所在圓的圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，求圖片的半徑r．19．（8分）某體育用品店購進(jìn)一批單價為20元的球服，如果按單價40元銷售，那么一個月內(nèi)可售出200套，根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高4元，銷售量相應(yīng)減少20套．設(shè)銷售單價為x（x≥40）元，銷售量為y套．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍；（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤？最大利潤是多少？20．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是AC弧上一點(diǎn)，P是AB延長線上一點(diǎn)，連接AD，DC，CP．若∠BAC＝α．（1）求∠ADC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半徑為6，CP＝2BP，求AP的長．21．（8分）為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，方便居民出行．某施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道．拋物線的最高點(diǎn)P離路面OM的距離為6m，寬度OM為12m．（1）按如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）一貨運(yùn)汽車裝載某大型設(shè)備后高為4m，寬為3.5m．如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道（正中間是一條寬1m的隔離帶），那么這輛貨車能否安全通過？（3）施工隊計劃在隧道口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使A，D點(diǎn)在拋物線上．B，C點(diǎn)在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿AB，AD，DC的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下．22．（6分）已知：二次函數(shù)．（1）求證：不論k為何實數(shù)時，此二次函數(shù)與x軸總有交點(diǎn)；（2）設(shè)k＜0，當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)A、B間的距離為4時，求此二次函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點(diǎn)為C，過y軸上一點(diǎn)M（0，m）作y軸的垂線l，當(dāng)m為何值時，直線l與△ABC的外接圓有公共點(diǎn)？參考答案與試題解析一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（0，1） B．（1，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3）【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，∴當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，即二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣3），故選：D．2．（3分）已知⊙O中最長的弦為8，則⊙O的半徑是（）A．4 B．8 C．12 D．16【解答】解：∵⊙O中最長的弦為8，即直徑為8，∴⊙O的半徑為4．故選：A．3．（3分）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為x＝2，點(diǎn)A、B均在拋物線上，且AB與x軸平行，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（4，3） C．（3，3） D．（5，3）【解答】解：由題意可知拋物線的y＝x2+bx+c的對稱軸為x＝2，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），且AB與x軸平行，可知A、B兩點(diǎn)為對稱點(diǎn)，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）故選：B．4．（3分）二次函數(shù)y＝（x+3）2﹣7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x+3）2+7是頂點(diǎn)式，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，7）．故選：A．5．（3分）如圖，A，B，C，D為⊙O上四點(diǎn)，若∠BOD＝110°，則∠A的度數(shù)是（）A．110° B．115° C．120° D．125°【解答】解：∵A，B，C，D為⊙O上四點(diǎn)，∠BOD＝110°，∴∠C＝∠BOD＝55°，∴∠A＝180°﹣∠C＝125°．故選：D．6．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B（2，1），點(diǎn)C（2，﹣3）．則經(jīng)畫圖操作可知：△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴EF與MN的交點(diǎn)O′即為所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐標(biāo)是（﹣2，﹣1）．故選：A．7．（3分）將拋物線y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2個單位長度，再向下平移6個單位長度平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣5）2+11 D．y＝﹣（x﹣1）2+11【解答】解：將拋物線y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2個單位長度，再向下平移6個單位長度平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣3﹣2）2+5﹣6，即y＝﹣（x﹣5）2﹣1．故選：A．8．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，若⊙O的半徑為6，sinB＝，則線段AC的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：連接CD，則∠DCA＝90°．Rt△ACD中，sinD＝sinB＝，AD＝12．則AC＝AD?sinD＝12×＝4．故選：B．9．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對稱軸x＝1，有以下結(jié)論：①a＜0，c＞0；②9a+3b+c＞0；③4ac﹣b2＜0；④3a+c＜0．其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵b＝﹣2a，∴b＞0，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，∴c＞0，∴①正確，符合題意．由圖象可得x＝﹣1時，y＜0，根據(jù)拋物線對稱性可得x＝3時，y＜0，∴9a+3b+c＜0，②錯誤，不符合題意．∵圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，∴4ac﹣b2＜0，③正確，符合題意．∵x＝﹣1，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＜0，④正確，符合題意．故選：C．10．（3分）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4．P是△ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC．則線段CP長的最小值為（）A． B．2 C． D．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，此時PC最小．在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2，∴PC的最小值為2．故選：B．二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣3圖象的對稱軸為直線．【解答】解：二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣3圖象的對稱軸為直線．故答案為：．12．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的一個根為x＝4，則另一個根為x＝﹣2．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得4+x＝﹣＝﹣＝2，解得x＝﹣2，即方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一個根為x＝﹣2．故答案為：x＝﹣2．13．（3分）如圖，含30°角的直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑重合，點(diǎn)C和點(diǎn)D在量角器的半圓上，若點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)是50°，則∠CAD的度數(shù)是35°．【解答】解：如圖，連接OD，根據(jù)題意得，∠CAB＝60°，∵點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)是50°，∴∠DOB＝50°，∵∠DAB＝∠DOB，∴∠DAB＝25°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝35°，故答案為：35°．14．（3分）如圖，AB是⊙O直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，且OD∥BC，連接AC和BD．下列四個結(jié)論中：①；②OD垂直平分AC；③BD＝AC；④∠AOD＝2∠DBC．所有正確結(jié)論的序號是①②④．【解答】解：∵AB是⊙O直徑，∴∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵OD∥BC，∴OD⊥AC，∴OD平分AC，∴OD垂直平分AC，故②正確，符合題意；∴＝，故①正確，符合題意；∴∠AOD＝2∠DBC，故④正確，符合題意；根據(jù)題意，無法求解BD＝AC，故③錯誤，不符合題意；故答案為：①②④．15．（3分）如圖，AB是半圓O的直徑，弦AD、BC相交于點(diǎn)P，且CD、AB是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的兩根，則sin∠APC＝．【解答】解：∵CD、AB是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的兩根，∴CD＝3，AB＝5，連接AC，∵∠BCD＝∠BAD，∠CDA＝∠ABC，∴△CPD∽△APB．∴＝，由AB是直徑得∠ACB＝90°．設(shè)PC＝3x，則PA＝5x，∴AC＝＝4x，∴sin∠APC＝＝．故答案為：．三.解答題（共7小題，滿分55分）16．（5分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C，且A（4，0），C（0，﹣3），對稱軸是直線x＝1，求二次函數(shù)的解析式．【解答】解：由題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，又拋物線過A（4，0），C（0，﹣3），對稱軸是直線x＝﹣＝1，∴．∴．∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣3．17．（12分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5，完成下列各題：（1）將函數(shù)關(guān)系式用配方法化為y＝a（x+h）2+k的形式，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸．（2）求出它的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．（3）在直角坐標(biāo)系中，畫出它的圖象．（4）當(dāng)為x何值時，函數(shù)y隨著x的增大而增大？（5）根據(jù)圖象說明：當(dāng)x為何值時，y＞0．【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x2﹣4x+4）+4+5＝﹣（x﹣2）2+9，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9），對稱軸為直線x＝2；（2）令y＝0，則﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，所以，圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），（5，0）；（3）函數(shù)圖象如圖所示；（4）x＜2時，y隨著x的增大而增大；（5）﹣1＜x＜5時，y＞0．18．（8分）如圖，要把殘缺的圓片復(fù)原，已知弧上的三點(diǎn)A、B、C．（1）用尺規(guī)作圖法，找出弧BC所在圓的圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，求圖片的半徑r．【解答】解：（1）分別作AB、AC的垂直平分線，設(shè)交點(diǎn)為O，則O為所求圓的圓心．（2）連接AO交BC于E，連接OB．∵AB＝AC，∴AE⊥BC，BE＝BC＝8（厘米），在Rt△ABE中，AE＝＝6（厘米），設(shè)⊙O的半徑為Rcm，在Rt△BEO中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝82+（R﹣6）2，∴R2＝64+R2﹣12R+36，∴R＝．所以所求圓的半徑為cm．19．（8分）某體育用品店購進(jìn)一批單價為20元的球服，如果按單價40元銷售，那么一個月內(nèi)可售出200套，根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高4元，銷售量相應(yīng)減少20套．設(shè)銷售單價為x（x≥40）元，銷售量為y套．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍；（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤？最大利潤是多少？【解答】解：（1）銷售單價為x元，則銷售量減少×20，故銷售量為y＝200﹣×20＝﹣5x+400（x≥40）；（2）設(shè)一個月內(nèi)獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得：w＝（x﹣20）（﹣5x+400）＝﹣5x2+500x﹣8000＝﹣5（x﹣50）2+4500．∵x≥40，當(dāng)x＝50時，w的最大值為4500．故當(dāng)銷售單價為50元時，才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤，最大利潤是4500元．20．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是AC弧上一點(diǎn)，P是AB延長線上一點(diǎn)，連接AD，DC，CP．若∠BAC＝α．（1）求∠ADC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半徑為6，CP＝2BP，求AP的長．【解答】解：（1）連接BC，∵AB是圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝α，∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°+α；（2）∵∠ACP＝∠ADC，∴∠PCO+∠ACO＝∠ADB+∠BDC，∵∠OCA＝∠OAC，∠BDC＝∠OAC，∴∠BDC＝∠OCA，∴∠PCO＝∠ADB＝90°，令PB＝x，則PC＝2PB＝2x，∵⊙O的半徑為6，∴PO＝OB+PB＝6+x，∵PO2＝PC2+OC2，∴（6+x）2＝（2x）2+62，∴x＝4，∴PB＝4，∴AP＝AB+PB＝6×2+4＝16．21．（8分）為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，方便居民出行．某施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道．拋物線的最高點(diǎn)P離路面OM的距離為6m，寬度OM為12m．（1）按如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）一貨運(yùn)汽車裝載某大型設(shè)備后高為4m，寬為3.5m．如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道（正中間是一條寬1m的隔離帶），那么這輛貨車能否安全通過？（3）施工隊計劃在隧道口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使A，D點(diǎn)在拋物線上．B，C點(diǎn)在地面OM線上（如圖2所示