新人教版七年級(jí)下冊(cè)全數(shù)學(xué)教案

目錄

第五章..............................................................2

§5.1相交線....................................................2

§5.2垂線......................................................7

垂線（一）...................................................7

垂線（二）....................................................11

§5.3平行線.....................................................15

§5.4直線平行的條件.............................................19

直線平行的條件（一）..........................................19

直線平行的條件（二）.........................................24

§5.5平行線的性質(zhì).............................................30

平行線的性質(zhì)（一）.........................................30

平行線的性質(zhì)（二）............................................34

§5.6平移.......................................................41

平移（一）....................................................41

平移（二）....................................................47

小結(jié)...........................................................51

第六章...............................................................62

§6.1有序數(shù)對(duì)...................................................62

§6.2平面直角坐標(biāo)系.............................................67

§6.3用坐標(biāo)表示地理位置........................................70

§6.4用坐標(biāo)表示平移.............................................73

第七章...............................................................77

§7.1三角形的邊.................................................77

§7.2三角形的高、中線與角平分線.................................80

§7.3三角形的穩(wěn)定性.............................................83

§7.4三角形的內(nèi)角...............................................85

§7.5三角形的外角...............................................88

§7.6多邊形.....................................................91

§7.7多邊形的內(nèi)角和.............................................95

§7.8鑲嵌.......................................................102

第九章...............................................................109

§9.1不等式及其解集.............................................109

§9.2不等式的性質(zhì)...............................................112

不等式的性質(zhì)（一）..........................................112

不等式的性質(zhì)（二）............................................114

§9.3不等關(guān)系的應(yīng)用.............................................116

利用不等關(guān)系分析比賽（一）.................................116

利用不等關(guān)系分析比賽（二）...................................120

§9.4一元一次不等式的應(yīng)用......................................125

實(shí)際問題與一元一次不等式（一）..............................125

實(shí)際問題與一元一次不等式（二）..............................126

§9.5一元一次不等式組...........................................128

第十章...............................................................140

§10.1平方根....................................................140

平方根（一）................................................140

平方根（二）................................................145

平方根（三）................................................148

§10.2立方根....................................................152

立方根（一）................................................152

立方根（二）................................................157

§10.3實(shí)數(shù)......................................................160

實(shí)數(shù)（一）..................................................160

實(shí)數(shù)（二）..................................................164

第五早

§5.1相交線

教學(xué)目標(biāo)

2

1.通過動(dòng)手觀察、操作、推斷、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)?步發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)識(shí)圖能

力、推理能力和有條理表達(dá)能力.毛

2.在具體情境中了解鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角，能找出圖形中的一個(gè)角的鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角,

理解對(duì)頂角相等,并能運(yùn)用它解決一些問題.

重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn):鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念，對(duì)頂角性質(zhì)與應(yīng)用.

難點(diǎn):理解對(duì)頂角相等的性質(zhì)的探索.

教學(xué)過程

一、讀一讀，看一看

教師在輕松歡快的音樂中演示第五章章首圖片為主體的課件.

學(xué)生欣賞圖片，閱讀其中的文字.

師生共同總結(jié):我們生活的世界中，蘊(yùn)涵著大量的相交線和平行線.本章要研究相交

線所成的角和它的特征，相交線的?種特殊形式即垂直，垂線的性質(zhì)，研究平行線的性質(zhì)

和平行的判定以及圖形的平移問題.

二、觀察剪刀剪布的過程，引入兩條相交直線所成的角

教師出示一塊布片和一把剪刀，表演剪刀剪布過程，提出問題:剪布時(shí)，用力握緊把手,

引發(fā)了什么變化?進(jìn)而使什么也發(fā)生了變化？

學(xué)生觀察、思想、回答,得出：

握緊把手時(shí)，隨著兩個(gè)把手之間的角逐漸變小，剪刀刃之間的角邊相應(yīng)變小.如果改

變用力方向，隨著兩個(gè)把手之間的角逐漸變大，剪刀刃之間的角也相應(yīng)變大.

教師點(diǎn)評(píng):如果把剪刀的構(gòu)造看作兩條相交的直線，以上就關(guān)系到兩條相交直線所

成的知的問題，本節(jié)課就是探討兩條相交線所成的角及其特征.

三、認(rèn)識(shí)鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角，探索對(duì)頂角性質(zhì)

1.學(xué)生畫直線AB、CD相交于點(diǎn)O,并說出圖中4個(gè)角,兩兩相配共能組成兒對(duì)角？

各對(duì)角的位置關(guān)系如何?根據(jù)不同的位置怎么將它們分類？

「/B

D

A⑴

學(xué)生思考并在小組內(nèi)交流，全班交流.

當(dāng)學(xué)生直觀地感知角有“相鄰”、“對(duì)頂”關(guān)系時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生用幾何語言準(zhǔn)確地表

達(dá)，如：

ZAOC和NBOC有一條公共邊OC,它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線.

NAOC和NBOD有公共的頂點(diǎn)0,而是NAOC的兩邊分別是NB0D兩邊的反向延

長(zhǎng)線.

2.學(xué)生用量角器分別量一量各個(gè)角的度數(shù)，以發(fā)現(xiàn)各類角的度數(shù)有什么關(guān)系，學(xué)生得

出有“相鄰”關(guān)系的兩角互補(bǔ)，“對(duì)頂”關(guān)系的兩角相等.

3.學(xué)生根據(jù)觀察和度量完成卜.表：

兩直線相交所形成的角分類位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系

教師再提問:如果改變NAOC的大小，會(huì)改變它與其它角的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系

嗎？

4.概括形成鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角概念.

(1)師生共同定義鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角.

有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角.

如果兩個(gè)角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，而且一個(gè)角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線,

那么這兩個(gè)角叫對(duì)頂角.

(2)初步應(yīng)用.

練習(xí)1:下列說法，你同意嗎?如果錯(cuò)誤，如何訂正.

①鄰補(bǔ)角的“鄰”就是“相鄰”，就是它們有一條“公共邊”，“補(bǔ)”就是“互補(bǔ)”，就是這

兩角的另一條邊共同一條直線上.

②鄰補(bǔ)角可看成是平角被過它頂點(diǎn)的一條射線分成的兩個(gè)角.

③鄰補(bǔ)角是互補(bǔ)的兩個(gè)角,互補(bǔ)的兩個(gè)角也是鄰補(bǔ)角？

5.對(duì)頂角性質(zhì).

(1)教師讓學(xué)生說?說在學(xué)習(xí)對(duì)頂角概念后，結(jié)果實(shí)際操作獲得直觀體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了什

么?并說明理由.

(2)教師把說理過程,規(guī)范地板書:

4

在圖1中,NAOC的鄰補(bǔ)角是NBOC和NAOD,所以NAOC與NBOC互補(bǔ),NAOC

與ZAOD互補(bǔ)，根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”，可以得出NAOD=NBOC,類似地有

ZAOC=ZBOD.

教師板書對(duì)頂角性質(zhì):對(duì)頂角相等.

強(qiáng)調(diào)對(duì)頂角概念與對(duì)頂角性質(zhì)不能混淆：對(duì)頂角的概念是確定:角的位置關(guān)系，對(duì)

頂角性質(zhì)是確定為對(duì)頂角的兩角的數(shù)量關(guān)系.

(3)學(xué)生利用對(duì)頂角相等這條性質(zhì)解釋剪刀剪布過程中所看到的現(xiàn)象.

四、鞏固運(yùn)用

1.例:如圖，直線a.b相交,Nl=40。,求N2,N3,N4的度數(shù).

教學(xué)時(shí)，教師先讓學(xué)生辨讓未知角與己知角的關(guān)系，用指出通過什么途徑去求這些

未知角的度數(shù)的，然后板書出規(guī)范的求解過程.

2.練習(xí)：

⑴課本P5練習(xí).

(2)補(bǔ)充:判斷下列圖中是否存在對(duì)頂角.

五、作業(yè)

1.課本P9.l,2,P10.7,8.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、判斷題：

1.如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)和一條公共邊，而且這兩角互為補(bǔ)角，那么它們互為鄰補(bǔ)角.

()

2.兩條直線相交,如果它們所成的鄰補(bǔ)角相等，那么一對(duì)對(duì)頂角就互補(bǔ).()

二、填空題：

1.如圖1,直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O.ZBOE的對(duì)頂角是.ZCOF的鄰補(bǔ)角

是.若NAOC:NAOE=2:3,NEOD=130。,則NBOC=.

2.如圖2,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,ZCOE=90°,ZAOC=30°,ZFOB=90°,則

ZEOF=.

三、解答題：

1.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)0.

⑴若NAOC+NBOD=100。,求各角的度數(shù).

(2)若NBOC比NA0C的2倍多33。,求各角的度數(shù).毛

2.兩條直線相交，如果它們所成的?對(duì)對(duì)頂角互補(bǔ)，那么它的所成的各角的度數(shù)是多少?

6

課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案：

一、1.x2.V

二、l.NAOF,NEOC與NDOF,1602.150

三、1.(1)分別是50。,150。,50。,130。(2)分別是49。,131。,49°,131。.

§5.2垂線

垂線(一)

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷觀察、操作、想像、歸納概括、交流等活動(dòng),進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，用幾何語

言準(zhǔn)確表達(dá)能力.毛

2.了解垂直概念，能說出垂線的性質(zhì)”經(jīng)過?點(diǎn)，能畫出已知直線的?條垂線，并且

只能畫出?條垂線''，會(huì)用三角尺或量角器過?點(diǎn)畫?條直線的垂線.

教學(xué)重點(diǎn)

兩條直線互相垂直的概念、性質(zhì)和畫法.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，研究垂直等有關(guān)概念

1.學(xué)生觀察教室里的課桌面、黑板面相鄰的兩條邊，方格紙的橫線和豎線……,思考

這些給大家什么印象？

在學(xué)生回答之后，教師指出:“垂直，，兩個(gè)字對(duì)大家并不陌生，但是垂直的意義，垂線

有什么性質(zhì)，我們不一定都了解，這可是我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

2.教師出示相交線的模型，演示模型，學(xué)生觀察思考:固定木條a,轉(zhuǎn)動(dòng)木條，當(dāng)b的位

置變化時(shí),a、b所成的角a是如何變化的?其中會(huì)有特殊情況出現(xiàn)嗎？當(dāng)這種情況出現(xiàn)

時(shí),a、b所成的四個(gè)角有什么特殊關(guān)系？

匕、

教師在組織學(xué)生交流中，應(yīng)學(xué)生明白:當(dāng)b的位置變化時(shí)，角a從銳角變?yōu)殁g角，其中

Na是直角是特殊情況.其特殊之處還在于:當(dāng)Na是直角時(shí)，它的鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角都是直角,

即a、b所成的四個(gè)角都是直角，都相等.

3.師生共同給出垂直定義.

師生分清“互相垂直''與“垂線”的區(qū)別與聯(lián)系：“互相垂直''指兩條宜線的位置關(guān)系；

“垂線”是指其中一條直線對(duì)另一條直線的命名。如果說兩條直線“互相垂直”時(shí)，其中

一條必定是另一條的“垂線”，如果一條直線是另一條直線的“垂線”，則它們必定“互相

垂直

4.垂直的表示法.

垂直用符號(hào)“_L”來表示，結(jié)合課本圖5.1-5說明“直線AB垂直于直線CD,垂

足為0”，則記為ABLCD,垂足為O,并在圖中任意一個(gè)角處作上直角記號(hào),如圖.

5.簡(jiǎn)單應(yīng)用

(1)學(xué)生觀察課本P6圖5.1-6中的一些互相垂直的線條，并再舉出生活中其他實(shí)例.

8

(2)判斷以下兩條直線是否垂直：

①兩條直線相交所成的四個(gè)角中有?個(gè)是直角；

②兩條直線相交所成的四個(gè)角相等；

③兩條直線相交,有一組鄰補(bǔ)角相等；

④兩條直線相交,對(duì)頂角互補(bǔ).

二、畫圖實(shí)踐，探究垂線的性質(zhì)

1.學(xué)生用三角尺或量角器畫已知直線L的垂線.

(1)已知直線L(教師在黑板上畫一條直線L),畫出直線L的垂線.待學(xué)生上黑板畫出

L的垂線后，教師追問學(xué)生:還能畫出L的垂線嗎?能畫幾條?通過師生交流，使學(xué)生明確

直線L的垂線有無數(shù)多條，即存在,但有不確定性.教師再問:怎樣才能確定直線L的垂線

位置?在學(xué)生道出:在直線L上取?點(diǎn)A,過點(diǎn)A畫L的垂線，并且動(dòng)手畫出圖形.

教師板書學(xué)生的結(jié)論:經(jīng)過直線上?點(diǎn)有且只有?條直線與已知直線垂直.

(2)經(jīng)過直線L外一點(diǎn)B畫直線L的垂線，這樣的垂線能畫出幾條?從中你又得出什

么結(jié)論？

教師板書學(xué)生的結(jié)論:經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

教師讓學(xué)生通過畫圖操作所得兩條結(jié)論合并成一條，并板書：

垂線性質(zhì)1:過?點(diǎn)有且只有?條直線與已知直線垂直.

2.變式訓(xùn)練，鞏固垂線的概念和畫法，如圖根據(jù)下列語句畫圖：

⑴過點(diǎn)P畫射線MN的垂線,Q為垂足；

(2)過點(diǎn)P畫射線BN的垂線，交射線BN反向延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)；

(3)過點(diǎn)P畫線段AB的垂線，交線AB延長(zhǎng)線于Q點(diǎn).

p.

AB

學(xué)生畫完圖后，教師歸結(jié):畫?條射線或線段的垂線，就是畫它們所在直線的垂線.

三、小結(jié)

本節(jié)學(xué)習(xí)了互相垂直、垂線等概念，還學(xué)習(xí)了過一點(diǎn)畫已知直線的垂線的畫法，并

得出垂線一條性質(zhì)，你能說出相關(guān)的內(nèi)容嗎？

四、作業(yè)

I.課本P7練習(xí),P9.3,4,5,9.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

一、判斷題.

1.兩條直線互相垂直，則所有的鄰補(bǔ)角都相等.（）

2.一條直線不可能與兩條相交直線都垂直.（）

3.兩條直線相交所成的四個(gè)角中，如果有三個(gè)角相等，那么這兩條直線互為垂直.（）

二、填空題.

1.如圖1,OA±OB,OD±OC,O為垂足，若NAOC=35。廁NBOD=.

10

2.如圖2.AO1BO.O為垂足，直線CD過點(diǎn)O,且NB0D=2NA0C,則NBOD=.

3.如圖3,直線AB、CD相交于點(diǎn)O,若NEOD=4(T,NBOC=130。,那么射線OE與直線

AB的位置關(guān)系是.

三、解答題.

I.已知鈍角NAOB,點(diǎn)D在射線OB上.

(1)畫直線DE10B;

(2)畫直線DF_LOA,垂足為F.

2.已知:如圖，直線AB,垂線0C交于點(diǎn)OQD平分NBOCQE平分NAOC.試判斷0D與

0E的位置關(guān)系.

3.你能用折紙方法過一點(diǎn)作已知直線的垂線嗎?

垂線(二)

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷觀察、操作、想像、歸納概括、交流等活動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，用兒

何語言準(zhǔn)確表達(dá)能力。毛

2.了解垂線段的概念，了解垂線段最短的性質(zhì)，體會(huì)點(diǎn)到直線的距離的意義，并會(huì)

度量點(diǎn)到直線的距離.

重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)產(chǎn)垂線段最短”的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離的概念及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

難點(diǎn):對(duì)點(diǎn)到直線的距離的概念的理解.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，探究垂線段最短的垂線性質(zhì)

I.教師展示課本圖5.1-8,提出問題:要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖渠能使渠

道最短？

學(xué)生看圖、思考.

2.教師以問題串形式，啟發(fā)學(xué)生思考.

(1)問題1,上學(xué)期我們?cè)?jīng)學(xué)過什么最短的知識(shí)，還記得嗎？

學(xué)生說出:兩點(diǎn)間線段最短.

(2)問題2,如果把渠道看成是線段,它的一個(gè)端點(diǎn)自然是P,那么另?個(gè)端點(diǎn)的位置呢?

把江河看成直線L,那么原問題就是怎么的數(shù)學(xué)問題.

問題2使學(xué)生能用數(shù)學(xué)眼光思考:在連接直線L外一點(diǎn)P與直線L上各點(diǎn)的線段中，

哪一條最短？

3.教師演示教具,給學(xué)生直觀的感受.

教具如圖:在硬紙板上固定木條L,L外一點(diǎn)P.轉(zhuǎn)動(dòng)的木條a一端固定在點(diǎn)P.

使木條L與a相交,左右擺動(dòng)木條a,L與a的交點(diǎn)A隨之變化，線段PA長(zhǎng)度也隨之

變化.PA最短時(shí),a與L的位置關(guān)系如何?用三角尺檢驗(yàn).

4.學(xué)生畫圖操作，得出結(jié)論.

(1)畫出直線L,L外一點(diǎn)P;

(2)過P點(diǎn)出PO_LL,垂足為0;

⑶點(diǎn)AiAA……在L上，連接PA、PA2、PA3……;

(4)用疊合法或度量法比較PO、PA|、PA”PA3........長(zhǎng)短.

5.師生交流,得出垂線的另?條性質(zhì).

教師板書:連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

簡(jiǎn)單說成:垂線段最短.

關(guān)于垂線段教師可讓學(xué)生思考：

12

(1)垂線段與垂線的區(qū)別聯(lián)系.

(2)垂線段與線段的區(qū)別與聯(lián)系.

二、點(diǎn)到直線的距離

1.師生根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的意義給出點(diǎn)到直線的距離命名.

結(jié)合課本圖形(圖5.1-9),深入認(rèn)識(shí)垂線段PO:POlL,ZPOA=90°,O為垂足，垂線段

P0的長(zhǎng)度比其他線段PA|、PA2……中是最短的.

按照兩點(diǎn)間的距離給點(diǎn)到直線的距離命名，教師板書：

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離.

在圖5.1-9中,PO的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到直線L的距離，其余結(jié)論P(yáng)A、PA,……長(zhǎng)度都不

是點(diǎn)P到L的距離.

2.初步應(yīng)用.

練習(xí)1:已知直線a、b,過點(diǎn)a上一點(diǎn)A作AB_La,交b于點(diǎn)B,過B作BC±b交a上

于點(diǎn)C.請(qǐng)說出哪?條線段的長(zhǎng)是哪?點(diǎn)到?那條直線的距離？并且用刻度尺測(cè)量這

個(gè)距離.

練習(xí)2:課本中水渠該怎么挖?在圖上畫出來.如果圖中比例尺為1:1()0000,水渠大約

要挖多長(zhǎng)？

練習(xí)3:判斷正確與錯(cuò)誤，如果正確，請(qǐng)說明理由，若錯(cuò)誤，請(qǐng)訂正.

(1)直線外一點(diǎn)與直線上的一點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度是這一點(diǎn)到這條直線的距離.

⑵如圖，線段AE是點(diǎn)A到直線BC的距離.

(3)如圖，線段CD的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線AB的距離.

學(xué)生獨(dú)立完成，教師組織學(xué)生交流、評(píng)價(jià).

三、作業(yè)

1.課本P9.6,PI0.10,ll,12,PU觀察與猜想.

第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、填空題.

1.如圖,AC_LBC,C為垂足,CD_LAB,D為垂足,BC=8,CD=4.8.BD=6.4,AD=3.6,AC=6,

那么點(diǎn)C到AB的距離是點(diǎn)A到BC的距離是點(diǎn)B到CD的距離

是,A、B兩點(diǎn)的距離是.

2.如圖，在線段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明說垂線段最短，因此線段

AD的長(zhǎng)是點(diǎn)A到BF的距離，對(duì)小明的說法,你認(rèn)為.

二、解答題.

1.(1)用三角尺畫一個(gè)是30。的NAOB,在邊0A上任取一點(diǎn)P,過P作PQ_LOB.垂足

為Q,量一量OP的長(zhǎng)，你發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P到OB的距離與OP長(zhǎng)的關(guān)系嗎？

(2)若所畫的NAOB為60。角,重復(fù)上述的作圖和測(cè)量，你能發(fā)現(xiàn)什么？

14

2.如圖，分別畫出點(diǎn)A、B、C到BC、AC、AB的垂線段,再量出A到BC、點(diǎn)B到

AC、點(diǎn)C到AB的距離.

作業(yè)答案：

一、148,6,64102.小明說法是錯(cuò)誤的，因?yàn)锳D與BE是否垂直無判定.

二、l.(l)PQ=2OP(2)OQ=2OP2.略.毛

毛

§5.3平行線

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷觀察教具模式的演示和通過畫圖等操作，交流歸納與活動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展空間觀

念.毛

2.了解平行線的概念、平面內(nèi)兩條直線的相交和平行的兩種位置關(guān)系，知道平行公

理以及平行公理的推論.

3.會(huì)用符號(hào)語方表示平行公理推論，會(huì)用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條

Bb

直線的平行線.

重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn):探索和掌握平行公理及其推論.

難點(diǎn):對(duì)平行線本質(zhì)屬性的理解，用幾何語言描述圖形的性質(zhì).

課前準(zhǔn)備

分別將木條a、b與木條c釘在?起,做成圖所示的教具.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境

1.復(fù)習(xí)提問:兩條直線相交有幾個(gè)交點(diǎn)?相交的兩條直線有什么特殊的位置關(guān)系？

學(xué)生回答后，教師把教具中木條b與c重合在一起，轉(zhuǎn)動(dòng)木條a確認(rèn)學(xué)生的回答.教師

接著問:在平面內(nèi),兩條直線除了相交外，還有別的位置關(guān)系嗎？

2.教師演示教具.

順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)木條b兩圈，讓學(xué)生思考:把a(bǔ)、b想像成兩端可以無限延伸的兩條直線,

順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)b時(shí)，直線b與直線a的交點(diǎn)位置將發(fā)生什么變化?在這個(gè)過程中，有沒有直

線b與c木相交的位置？

3.教師組織學(xué)生交流并形成共識(shí).

轉(zhuǎn)動(dòng)b時(shí)，直線b與c的交點(diǎn)從在直線a上A點(diǎn)向左邊距離A點(diǎn)很遠(yuǎn)的點(diǎn)逐步接

近A點(diǎn)，并垂合于A點(diǎn)，然后交點(diǎn)變?yōu)樵贏點(diǎn)的右邊，逐步遠(yuǎn)離A點(diǎn).繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)下去,b與a

的交點(diǎn)就會(huì)從A點(diǎn)的左邊又轉(zhuǎn)動(dòng)A點(diǎn)的左邊……可以想象一定存在一個(gè)直線b的位置,

它與直線a左右兩旁都沒有交點(diǎn).

二、平行線定義表示法

1.結(jié)合演示的結(jié)論，師生用數(shù)學(xué)語言描述平行定義:同一平面內(nèi),存在一條直線a與直

線b不相交的位置，這時(shí)直線a與b互相平行.換言之,同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫

做平行線.

直線a與b是平行線，記作“〃”，這里“〃”是平行符號(hào).

16

教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)平行線定義的本質(zhì)屬性，第?是同?平面內(nèi)兩條直線,第二是設(shè)有交點(diǎn)的兩

條直線.

2.同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系

教師引導(dǎo)學(xué)生從同一平面內(nèi)，兩條宜線的交點(diǎn)情況去確定兩條直線的位置關(guān)系.

在同平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系湘交或平行，兩者必居其一.即兩條直線

不相交就是平行，或者不平行就是相交.

三、畫圖、觀察、歸納概括平行公理及平行公理推論

1.在轉(zhuǎn)動(dòng)教具木條b的過程中，有幾個(gè)位置能使b與a平行？

本問題是學(xué)生直覺直線b繞直線a外一點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，有并且只有一個(gè)位置使a與b

平行.

2.用直線和三角尺畫平行線.

已知:直線a,點(diǎn)B,點(diǎn)C.

(1)過點(diǎn)B畫直線a的平行線，能畫兒條？

(2)過點(diǎn)C畫直線a的平行線，它與過點(diǎn)B的平行線平行嗎？

■C

B.

3.通過觀察畫圖、歸納平行公理及推論.

(1)由學(xué)生對(duì)照垂線的第一性質(zhì)說出畫圖所得的結(jié)論.

(2)在學(xué)生充分交流后，教師板書.

平行公理:經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

(3)比較平行公理和垂線的第條性質(zhì).

共同點(diǎn):都是“有且只有?條直線”,這表明與已知直線平行或垂直的直線存在并且

是唯一的.

不同點(diǎn):平行公理中所過的“一點(diǎn)”要在己知直線外，兩垂線性質(zhì)中對(duì)“一"點(diǎn)''沒有限制,

可在直線上，也可在直線外.

4.歸納平行公理推論.

---------c

--------b

-----------a

(1)學(xué)生直觀判定過B點(diǎn)、C點(diǎn)的a的平行線b、c是互

相平行.

(2)從直線b、c產(chǎn)生的過程說明直線b〃直線c.

(3)學(xué)生用三角尺與直尺用平推方驗(yàn)證b//c.

(4)師生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)這個(gè)結(jié)論，教師板書.

結(jié)果兩條直線都與第三條直線平行，那么這條直線也互相平行.

結(jié)合圖形，教師引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)語言表達(dá)平行公理推論：

如果1>〃2,<；〃2,那么b〃C.

(5)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

練習(xí):如果多于兩條直線,比如三條直線a、b、c與直線L都平行，那么這三條直線

互相平行嗎?請(qǐng)說明理由.

本練習(xí)是讓學(xué)生在反復(fù)運(yùn)用平行公理推論中掌握平行公理推論以及說理規(guī)范.

四、作業(yè)

1.課本P197P20.il.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、填空題.

1.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有.

2.在同一平面內(nèi)，一條直線和兩條平行線中一條直線相交，那么這條直線與平行線中的另

一邊必.

3.同一平面內(nèi)，兩條相交直線不可能與第三條直線都平行，這是因?yàn)?

4.兩條直線相交,交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是兩條直線平行，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè).

二、判斷題.

1.不相交的兩條直線叫做平行線.()

2.如果一條直線與兩條平行線中的一條直線平行，那么它與另一條直線也互相平

行.()

18

3.過?點(diǎn)有且只有?條直線平行于已知直線.()

三、解答題.

1.讀下列語句，并畫出圖形后判斷.

(1)直線a、b互相垂直，點(diǎn)P是直線a、b外一點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線c垂直于直線b.

(2)判斷直線a、c的位置關(guān)系，并借助于三角尺、直尺驗(yàn)證.

2.試說明三條直線的交點(diǎn)情況,進(jìn)而判定在同?平面內(nèi)三條直線的位置情況.

答案：

一、1.相交與平等兩種2.相交3.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

4.一個(gè)，零

二、1.x2.V3.x三、1.(1)略(2)a〃c2.交點(diǎn)有四種,第一沒有交點(diǎn)，這時(shí)第三條

直線互相平行，第二有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)三條直線交于同一點(diǎn)，第三有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)是兩

條平行線與第三條直線都相交，第四有三個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)三條直線兩兩相交.毛

§5.4直線平行的條件

直線平行的條件(一)

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷觀察、操作、想像、推理、交流等活動(dòng)，進(jìn)?步發(fā)展空間觀念，推理能力和

有條理表達(dá)能力.

2.經(jīng)歷探究直線平行的條件的過程，掌握直線平行的條件，領(lǐng)悟歸納和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思

想方法.

重點(diǎn)、難點(diǎn)

探索并掌握直線平行的條件是本課的重點(diǎn)也是難點(diǎn).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

1.填空:經(jīng)過直線外一點(diǎn),與這條直線平行.

2.畫圖:已知直線AB,點(diǎn)P在直線AB外,用直尺和三角

尺畫過點(diǎn)P的直線CD,使CD〃AB.%

HPp

F

3.反思:在用直尺和三角形畫平行線過程中,三角尺起著什么樣的作用.

學(xué)生講出是為畫NPHF,使所畫的角與NBGF相等.

教師指出既然兩個(gè)角相等與兩條直線平行能聯(lián)系起來，那么這兩個(gè)角具有什么樣

的位置關(guān)系，我們是否得到了一個(gè)判定兩直線平行的方法?這是本課要研究的內(nèi)容之一.

二、探索直線平行的條件

1.畫出課本圖5.2-5的簡(jiǎn)化圖形，分析/I、N2

的位置關(guān)系.

(1)讓學(xué)生先描述Nl、N2的方位.

(2)教師指出像N1、Z2這樣分別位于直線CD、

AB的下方，又在直線EF的右側(cè)，也就是位置相同的

兩個(gè)角叫做同位角.

(3)讓學(xué)生識(shí)別圖中其他的同位角，并標(biāo)記出它

們，要求正確而又不遺漏.

(4)教師強(qiáng)調(diào):同位角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角，它不同了對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角.同

位角都有一條邊在截線EFI'..

2.歸納利用同位角判定兩條直線平行的方法.

(I)學(xué)生根據(jù)同位角的意義以及平推三角尺畫出平行線活動(dòng)中敘述判定兩條直線

平行的方法.

教師引導(dǎo)學(xué)生正確表達(dá)平行線的判定方法1,并板書.

方法1:兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

簡(jiǎn)單記為:同位角相等，兩條直線平行.

(2)教師引導(dǎo)學(xué)生，結(jié)合圖形用符號(hào)語言表達(dá)兩直線平行的判定方法1:如果

N1=N2,那么AB/7CD.

教師強(qiáng)調(diào)判定兩直線平行方法1的條件中有兩層意思:第一層這兩個(gè)角是這兩條被

第三條直線所截而成的對(duì)同位角;第二層這兩個(gè)角相等兩者缺?不可.

(3)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

①教師表演木工用每尺畫平行線過程,讓學(xué)生說出用角尺畫平行線的道理(結(jié)合P15

圖5.2-7).

20

教師規(guī)范說理過程:因?yàn)镹DCB與NFEB是直線CD、EF被AB所截而成的同位角,

而且NDCB=NFEB,即同位角相等，根據(jù)直線平行判定方法，從而CD〃EF.

3.利用教具模型認(rèn)識(shí)內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角.

(1)教師展示教具模型，并在黑板上畫出右圖圖型，指出在直線a、b被直線c所截成

的角中,21和N2是同位角,/2與N3、N2與N4雖然不是同位角，但是它們又是具有

某種位置關(guān)系的兩個(gè)角，大家能敘述N2與Z3有怎樣的位置關(guān)系?N2和N4呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生正確地?cái)⑹?，如N2與N3位在直線a,b的內(nèi)部，乂分別位于直線c的兩

側(cè),N2與N4位在直線a,b內(nèi)部，都在直線c的右側(cè)(同側(cè)).

(2)教師轉(zhuǎn)動(dòng)直線a或者直線b,再問學(xué)生N2與Z3,Z2與Z4的度數(shù)是否發(fā)生變化?

它們之間的位置是否發(fā)生改變？

學(xué)生回答后，教師指出像N2和N3這樣的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角，像N2和N4這樣的兩

個(gè)角叫做同旁內(nèi)角.

(3)讓學(xué)生識(shí)別圖中其他的內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角，標(biāo)記出它們.

(4)學(xué)生概括由直線a、b被直線c所截成的八個(gè)角中有四對(duì)的同位角，兩對(duì)的內(nèi)錯(cuò)

角、兩對(duì)的同旁內(nèi)角.

4.探索兩條直線平行的其它方法

(1)演示教具,使學(xué)生直覺當(dāng)內(nèi)錯(cuò)角相等時(shí)，兩條直線平行.

(2)讓學(xué)生思考:為什么內(nèi)錯(cuò)角相等時(shí)，兩條直線平行?你能用學(xué)過的兩直線平行的判

定方法1來說明嗎？

學(xué)生若有困難，教師可提示學(xué)生通過內(nèi)錯(cuò)角和同位角之間的關(guān)系把條件N2=N3轉(zhuǎn)

化為N1=N2.

教師規(guī)范說理過程:因?yàn)镹2=N3,而N3=N1(對(duì)頂角相等)，所以N1=N2,即同位角

相等，因此a〃b.

(3)師生歸納判定兩條直線平行的方法2,教師板書：

兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.

簡(jiǎn)單記為:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.

教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形用符號(hào)語言表達(dá)方法2:如果N2=N3,那么a〃b.

(4)討論:同旁內(nèi)角數(shù)量上滿足什么關(guān)系時(shí),兩直線平行？

①學(xué)生猜想,可借助于教具.先排除相等,

當(dāng)N4是銳角時(shí),N2是鈍角才有可能使a〃b.

進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn):如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)時(shí)，兩條

直線平行，即如果N2+N4=180。,那么a〃b.

②學(xué)生利用平行判定方法1或方法2來

說明猜想正確.

教師根據(jù)學(xué)生說理，再準(zhǔn)確地板書：

因?yàn)镹4+N2=180°,而Z4+Z1=180°,根

據(jù)同角的補(bǔ)角相等,所以有N2=N1,即同位角相等，從而a〃b.

因?yàn)镹4+N2=180。,而N4+N3=180。,根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，所以有N3=N2,即內(nèi)錯(cuò)

角相等，從而a〃b.

③師生歸納兩條直線平行的判定方法3,教師板書：

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩條直線平行.

簡(jiǎn)單記為:同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.

綜合圖形，用符號(hào)語言表達(dá):如果N4+N2=18O。,那么a〃b.

三、鞏固練習(xí)

課本P17練習(xí).

四、作業(yè)

1.作業(yè)PI8.1,2,3,4.

2.補(bǔ)充設(shè)計(jì)：

一、判斷題

1.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么內(nèi)錯(cuò)角也相等.（）

2.兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角互補(bǔ)，那么同旁內(nèi)角相等.（）

二、填空

1.如圖1,如果N3=N7,或那么理由是;如果N5=N3,或筆

那么理由是;如果N2+Z5=或者

那么a〃b,理由是.

22

(1)(2)(3)(

2.如圖2,若Z2=Z6,貝ij//如果Z3+Z4+Z5+Z6=180°,那么

____//，如果N9=，那么AD〃BC;如果N9=，那么AB〃CD.

三、選擇題

I.如圖3所示，下列條件中，不能判定AB〃CD的是()

A.AB〃EF,CD〃EFB.Z5=ZA;C.ZABC+ZBCD=180°

D.Z2=Z3

2.右圖，由圖和已知條件，下列判斷中正確的是()

A.由N1=N6,得AB〃FG;

B.由N1+N2=N6+N7,得CE〃EI

C.由Nl+N2+N3+N5=180°,得CE〃FI;

D.由N5=N4,得AB〃FG

四、已知直線a、b被直線c所截，且N1+N2=18O。,試判斷宜線a、b的位置關(guān)系,并說明

理由.

3、

答案：

一、l.v2.V

二、l.Nl=N5求N2=N6或N4=N8,a〃b,同位角相等，兩直線平行，或N2=N8,a〃b,內(nèi)

錯(cuò)角相等，兩直線平行」80。,/3+/8=180。，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行.

2.BC//AD,AD〃BC,NBAD,ZBCD

三、l.D2.D四、a〃b，可以用三種平行線判定方法加以說明淇一:因?yàn)镹1+N2=18O。,

又N3=N1（對(duì)頂角相等）所以N2+N3=180。,所以a〃b（同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行），其

他略.

直線平行的條件（二）

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷觀察、操作、想像、推理、交流等活動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念,推理能力和有

條理表達(dá)能力.毛

2.經(jīng)歷分析題意，說理過程，能靈活地選用直線平行的規(guī)定方法進(jìn)行說理.

重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn):直線平行的條件的應(yīng)用.

難點(diǎn):選取適當(dāng)判定直線平行的方法進(jìn)行說理是重點(diǎn)也是難點(diǎn).

教學(xué)過程

一、畫圖實(shí)踐活動(dòng)

1.回憶怎樣用移動(dòng)三角尺的方法畫兩條平行線的，其中直尺和三角尺的作用是什

么？

24

師生交流后得出:直尺與已知直線構(gòu)成等于三角尺度數(shù)的角N1,確定第三條直線

即截線的位置，移動(dòng)三角尺再形成一個(gè)與N1相等的同位角N2.

2.教師提出問題:學(xué)習(xí)了平行線后，大家還能想出過一點(diǎn)畫一條直線的平行線的新方

法嗎？

學(xué)生思考、小組交流,教師根據(jù)學(xué)生的想法在全班交流每種畫法的方法步驟、定義.

如果學(xué)生沒有想到的，教師可按課本P36李強(qiáng)、張明、王玲同學(xué)的做法,組織學(xué)生分析

做法要點(diǎn)和合理性，正確性.

對(duì)于李強(qiáng)畫法，教師使學(xué)生明白,畫過點(diǎn)P的直線b是確定直線b的位置和確定N1

的大小，其次點(diǎn)P為頂點(diǎn)，作與N1相等的同位角N2,從而畫出過點(diǎn)P的直線c,根據(jù)平

行判定1,可知c〃a.

對(duì)于張明做法，學(xué)生應(yīng)明確本做法就畫一個(gè)一邊在直線a的長(zhǎng)方形PQRS,由于長(zhǎng)方

形的對(duì)邊平行，從而b〃a.

對(duì)于王玲做法，學(xué)生應(yīng)明確第?次折紙是過點(diǎn)P作直線a的垂線b.第二次折紙是過

點(diǎn)P作直線b的垂線c,至于a〃c的理由在例題講解中說明.

3.教師再提出問題:你還有其他方法嗎?動(dòng)手試一試與同學(xué)們交流一下.

教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生新的做法,組織學(xué)生交流，并歸納新的方法主要是：

(1)用尺規(guī)畫過點(diǎn)P的與N1相等的內(nèi)錯(cuò)角N3,達(dá)到作c〃a;

(2)再尺規(guī)畫有別于李強(qiáng)的其他對(duì)同位角，達(dá)到作c〃a;

(3)用直尺、三角尺畫出與王玲一樣的線條，達(dá)到作?！ㄐ?/p>

在解釋學(xué)生做法的合理性時(shí)，要求學(xué)生能利用“同位角相等，兩直線平行”或“內(nèi)錯(cuò)角

相等，兩直線平行”去說明.

二、例題講解

例:在同?平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同?條直線，那么這兩條直線平行嗎?為什

么？

p

教師:這個(gè)問題的研究，就是回答了王玲折線方法的合理性.

首先王玲對(duì)折直線a,使折線過點(diǎn)P,于是把一個(gè)平角分成兩個(gè)相等的Nl、Z2,因?yàn)?/p>

N1+22=180°,所以N1=N2=9O°.

其次王玲再對(duì)折折線b,使折線c過點(diǎn)P,很顯然N3=90。.

由垂直定義，可知a±b,c±b.

以I:分析使學(xué)生明了垂直與直角總聯(lián)系在一起.至于要判定兩條直線是否平行，先

考慮學(xué)過哪些判定平行線的方法，題中的條件與某種判定方法的條件是否相同？

C

學(xué)生先口述判斷與理由，教師糾正.并規(guī)范板書兩步推理過

程：

如課本P17圖5.2-10.

因?yàn)閎±a,c±a,

所以Nl=N2=90。，

從而b//c.

教師說明:這個(gè)道理過程有兩個(gè)因?yàn)椤缘谝粋€(gè)“因?yàn)椤薄八浴笔歉鶕?jù)垂

直定義，第二個(gè)只寫出“所以”的內(nèi)容b〃c,中間省略一個(gè)“因?yàn)椤钡膬?nèi)容，這個(gè)內(nèi)容

就是第一個(gè)“所以”中的N1=N2.這樣處理是使說理表達(dá)更簡(jiǎn)練，第二個(gè)“因?yàn)椤薄ⅰ八?/p>

以”是根據(jù)同位角相等，兩直線平行.

例題講解后,師提問:你還能利用其他方法說明b〃c嗎？

教師鼓勵(lì)學(xué)生模仿課本方法用圖(1)內(nèi)錯(cuò)角相等的方法寫出理由，用圖(2)同旁內(nèi)角

互補(bǔ)的方法寫出理由.

26

117

——=1-r—a——=1-a

2

(1)(2)

如果N1,N2不是同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，如圖(3),教師啟發(fā)學(xué)生用化歸

思想將它轉(zhuǎn)化為已知問題來解決，并且有條理地陳述理由：

如圖⑶，

因?yàn)閍±b,c±a,

所以Nl=900,N2=90。.

32

Ea

1

bc

因?yàn)镹3=N1=9O。，

從而b〃c(同位角相等，兩直線平行).(3)

三、鞏固練習(xí)

1.課本P18思考,教師要求學(xué)生說出盡可能多的判別方法和理由.

2.已知:如圖，直線a、b被直線c所截，且/1+N2=18O。,那么直線a與b平行嗎？為什么?

f2

b

四、作業(yè)

1.課本作業(yè)P19.5,6,8,9,10,12.

2.補(bǔ)充作業(yè)：

一、填空題.

1.如圖，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BA上,G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

（1）若NA=N1,則可判斷〃，因?yàn)?

（2）若N1=Z則可判斷AG〃BC,因?yàn)?

（3）若N2+N=180。,則可判斷CD〃AB,因?yàn)?

（第1題）（第2題）

2.如圖，一個(gè)合格的變形管道ABCD需要AB邊與CD邊平行，若一個(gè)拐角NABC=72。,

則另個(gè)拐角ZBCD=時(shí),這個(gè)管道符合要求.

二、選擇題.

1.如圖，下列判斷不正確的是（）

A.因?yàn)镹1=N4,所以DE〃AB

B.因?yàn)镹2=N3,所以AB/7EC

C.因?yàn)镹5=NA,所以AB〃DE

D.因?yàn)閆ADE+ZBED=180°,所以

AD〃BE

2.如圖，直線AB、CD被直線EF所截，使

/1=/2#9