重慶市涪陵高級(jí)中學(xué)2024屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

重慶市涪陵高級(jí)中學(xué)2024屆高三開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合，再求交集即可.【詳解】由得，故，所以，又，所以．故選：B．2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上不單調(diào)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的概念判斷即可.【詳解】對(duì)于A，定義域，但，為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，為偶函數(shù)，且在上既有增區(qū)間，也有減區(qū)間，所以在上不單調(diào)，故B正確；對(duì)于C，在單調(diào)遞減，不符合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在單調(diào)遞增，不符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：B3.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對(duì)應(yīng)值的范圍.比較指對(duì)冪形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.4.已知曲線且過定點(diǎn)，若且，則的最小值為（）A.9 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的曲線，求出，再利用“1”的妙用求出最小值作答.【詳解】曲線且中，由，得，因此該曲線過定點(diǎn)，即，于是，又，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為16.故選：C5.已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A.B.C.D.的解集為或【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)不等式與方程的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，求得的關(guān)系，再分析選項(xiàng).【詳解】由不等式和解集的形式可知，，且方程的實(shí)數(shù)根為或，那么，所以，所以，且，故ABC正確；不等式，即，解得:,所以不等式的解集為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC6.已知是上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由分段函數(shù)兩段都是減函數(shù)，以及端點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系可得答案．【詳解】因?yàn)槭巧系膯握{(diào)遞減函數(shù)，所以，解得．故選：C．7.設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性求參數(shù)，然后求函數(shù)值即可.【詳解】由已知可得，則．因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，因?yàn)椋獾?，所以，所?故選：D．8.已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則方程根的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由解析式畫出在上的圖象，再結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性即可知定義域上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】要求方程根的個(gè)數(shù)，即為求與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由題設(shè)知，在上的圖象如下圖示，∴由圖知：有3個(gè)交點(diǎn)，又由在上是偶函數(shù)，∴在上也有3個(gè)交點(diǎn)，故一共有6個(gè)交點(diǎn).故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想及偶函數(shù)的對(duì)稱性求交點(diǎn)的個(gè)數(shù).二、多選題9.當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖像在直線的下方，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，可得，由此可得解.【詳解】根據(jù)題意得當(dāng)時(shí)，，可知，故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由不等式得出是解題關(guān)鍵.10.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，下列說法正確的有（）A.圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.C.的最小正周期為4 D.對(duì)任意都有【答案】ABD【解析】【分析】由奇偶性知的對(duì)稱中心為、對(duì)稱軸為，進(jìn)而推得，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由的對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸為，則也關(guān)于直線對(duì)稱且，A、D正確，由A分析知：，故，所以，所以的周期為4，則，B正確；但不能說明最小正周期為4，C錯(cuò)誤；故選：ABD11.下列說法正確的是（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)锽.的最大值為C.的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱D.的遞減區(qū)間是【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，由求解判斷，對(duì)于B，利用換元法根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷，對(duì)于C，對(duì)函數(shù)變形后，利用反比例函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)圖象變換規(guī)律分析判斷，對(duì)于D，利用換元法分析判斷【詳解】對(duì)于A，由題意得，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以A正確，對(duì)于B，令，則，因?yàn)椋以诙x域內(nèi)遞減，所以，所以最小值為，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)椋允怯煞幢壤瘮?shù)向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到的，因?yàn)榈膶?duì)稱中心為，所以的對(duì)稱中心為，所以C正確，對(duì)于D，由，得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，因?yàn)樵谏线f減，在上遞增，且在上遞增，所以在上遞減，在上遞增，所以D錯(cuò)誤，故選：AC12.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式和不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】根據(jù)基本不等式可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；因?yàn)椋?，變形得，所以?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以，故B錯(cuò)誤；由，，，所以，即，故C正確；由，可得，根據(jù)前面分析得，即，所以，即，故D正確．故選：ACD三、填空題13.若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】由原命題是假命題知它的否定命題是真命題，由此求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】“，”是假命題，則它的否定命題：“，”是真命題；所以,，恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．14.若函數(shù)滿足，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)，分別令，求解.【詳解】因?yàn)椋羁傻茫?，①令可得：，②?lián)立①②可得：，故答案為：1.15.已知函數(shù)是定義在[-5,5]上的偶函數(shù)，且在區(qū)間是減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】利用奇偶性及單調(diào)性將原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為，從而解該不等式組即可求得正解.【詳解】由已知可得原不等式等價(jià)于，結(jié)合單調(diào)性可得．故答案為：16.已知函數(shù)，的最大值為，最小值為，則______.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造，定義判斷奇偶性，利用對(duì)稱性有，即可求結(jié)果.【詳解】令，且，，所以為奇函數(shù)，且在上連續(xù)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性：在上的最大、最小值關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，故.故答案為：四、解答題17.計(jì)算：（1）；（2）.【答案】（1）4（2）【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】原式.18.已知集合，．（1）若，求m的取值范圍；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，由得到，得到不等式組，求出m的取值范圍；（2）根據(jù)充分不必要條件得到是的真子集，分與兩種情況進(jìn)行求解，求得m的取值范圍.【小問1詳解】，解得：，故，因?yàn)?，所以，故，解得：，所以m的取值范圍是.【小問2詳解】若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則是的真子集，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，需要滿足：或，解得：綜上：m的取值范圍是19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；（2）若函數(shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將函數(shù)在上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為在恒成立，即，然后求最值即可；（2）將函數(shù)與有且只有一個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)根，再轉(zhuǎn)化為的圖象與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，然后根據(jù)圖象求的范圍即可.【小問1詳解】，，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，即，，的最小值為．【小問2詳解】與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即只有一個(gè)根，只有一個(gè)根，令，所以的圖象與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，，令，解得或，令，解得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，的圖象如下所示：，又的圖象與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，.20.新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外的所有其他能源汽車，被認(rèn)為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來越受到消費(fèi)者的青睞，新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).某機(jī)構(gòu)從某地區(qū)抽取了500名近期購買新能源汽車的車主，調(diào)查他們的年齡情況，其中購買甲車型的有200人，統(tǒng)計(jì)得到如下的頻率分布直方圖.（1）將年齡不低于45歲的人稱為中年，低于45歲的人稱為青年，購買其他車型的車主青年人數(shù)與中年人數(shù)之比為.完成下列列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān)？青年中年合計(jì)甲車型其他車型合計(jì)（2）用分層抽樣方法從購買甲車型的樣本中抽取8人，再從中隨機(jī)抽取4人，記青年有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見詳解，能認(rèn)為購買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān).（2）分布列見詳解，【解析】【分析】（1）根據(jù)分布列和已知條件求出購買甲車型和其他車型的青年、中年人數(shù)，可得列聯(lián)表，然后計(jì)算卡方，查表可作出判斷；（2）先計(jì)算各層所抽取人數(shù)，然后由超幾何分布概率公式求概率可得分布列，再根據(jù)期望公式可解.【小問1詳解】由直方圖可知，購買甲車型的青年人數(shù)為人，中年人數(shù)為人，購買其他車型的青年人數(shù)為人，中年人數(shù)為人，于是的列聯(lián)表：青年中年合計(jì)甲車型12575200其他車型22575300合計(jì)350150500因?yàn)?，所以，有的把握認(rèn)為購買甲車型新能源汽車與年齡有關(guān).【小問2詳解】用分層抽樣方法從購買甲車型的樣本中抽取8人，則青年有人，中年有人，所以X的可能取值為1,2,3,4.，，，，得分布列：X1234P所以21.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（2）若，①判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；②若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)是上的增函數(shù)，證明見詳解；（2）①函數(shù)為奇函數(shù)，證明見詳解；②【解析】【分析】（1）利用單調(diào)性的定義證明，任取，設(shè)，然后，再分析判斷其符號(hào)即可.（2）當(dāng)時(shí)，①，直接利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；②利用函數(shù)是奇函數(shù)，將，轉(zhuǎn)化為，再利用是上的單調(diào)增函數(shù)求解.【小問1詳解】函數(shù)是增函數(shù)，定義域：，任取，不妨設(shè)，，，∵，∴.又，∴，即，∴函數(shù)是上的增函數(shù).【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，①，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，∴函數(shù)是定義域內(nèi)的奇函數(shù).②等價(jià)于，∵是上的單調(diào)增函數(shù)，∴，即恒成立，∴，解得.22.已知函數(shù)，.（1）若在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線互相平行，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）2（2）[，+∞）【解析】【分析】（1）分別求得和，根據(jù)，列出方程，即可求解；（2）將不等式變形轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性和最值，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】依題意，，，則，，因?yàn)樵邳c(diǎn),處的切線與在點(diǎn),處的切線互相平行，所以，又因?yàn)?，所以【小?詳解】由，得，即，即，設(shè)，則，，由，設(shè)，可得，所以時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所