第5講 有理數(shù)的混合運(yùn)算-基礎(chǔ)班

第5講有理數(shù)的混合運(yùn)算

［計(jì)算(常規(guī)計(jì)算

［規(guī)律型

有理數(shù)的混合運(yùn)算<［實(shí)際應(yīng)用

應(yīng)用，流程圖

新定義

知識(shí)點(diǎn)1常規(guī)計(jì)算

有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：

1、先乘方，再乘除，最后加減；

2、同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

3、如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)的順序依次進(jìn)行.

【典例】

1.計(jì)算：(1)(-1)3-興2-(-3)4;

(2)-22+|5-81+244-(-3)xl;

(3)—永(-2)3+(-2)2-2x|(-1)237x》l］.

【解析】解：(1)原式=7-(2-9)=-I-?(-7)=-1+￡；

(2)原式=-4+|-3|-24x|x1=-4+3-1=-y.

(3)原式=(-8)^4-2x|(-1)x^+l|=lxl-2x1=1--J.

8444424

【方法總結(jié)】

根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算即可.本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌

握有理數(shù)的混合運(yùn)算的順序和法則是解題的關(guān)鍵.

注意：絕對(duì)值符號(hào)有括號(hào)的作用.

【隨堂練習(xí)】

1.(2017秋?徐州期末)計(jì)算：

(1)-120,8+|-4|+2x(-3)；

()(■備)x(2)

【解答】解：(1)原式=-1+4-6=-3；

(2)原式=15+4-14=5.

2.(2017秋?大余縣期末)計(jì)算：

(1)23x(1-1)x0.5

4

(2)-22+[18-(-3)x2]+4

【解答】解：(l)23x(l-1)x0.5

4

=8XWX_L

42

=3；

(2)-22+[18-(-3)x2]+4

=-4+[18+6]+4

=-4+24+4

=-4+6

=2.

3.(2017秋?沾化區(qū)期末)計(jì)算題

(1)(-5)2x(^-)+32-^(-2)2X(-1Y)

54

(2)I-(l-A)-鼻(-4)2

9353'

【解答】解：(1)原式=-15+8x(-?)

4

=-15+(-10)

-25；

(2)原式=-17+(-17)-(-1)

5

=-34+1

5

=-33烏.

5

知識(shí)點(diǎn)2運(yùn)算律、規(guī)律計(jì)算

有理數(shù)的混合運(yùn)算中，常用的運(yùn)算律有：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合

律、乘法對(duì)加法的分配律、加法對(duì)乘法的分配律.

【典例】

1.計(jì)算：

(1)十一(|一找)x24；

(2)-x(-5)+(--)x9--x8；

v7222222

(3)|4?4如(-1+|-[)+告-2?-(+5)?

【解析】解：(1)原式=7-(1x24-：x24+324)=-l-(16-18+4)=-1-2

346

=-3.

(2)原式=(《)x5+(3)x9+(W)x8=-^x(5+9+8)=-步2=-7；

(3)原式=|的+()x12-4-5手(-qxl2+,x12+(6)x12-47

ZZooNN3o

=i-6+8-2-4-5=-8-.

22

【方法總結(jié)】

本題主要考察了有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和分配律的使用，(1)和(3)是乘法分配律的

正用，(2)是乘法分配律的逆用，熟練掌握運(yùn)算律的使用是解本題的關(guān)鍵.

2.探索規(guī)律：觀察下面由※組成的圖案和算式，并解答問(wèn)題.

1+3=4=22；

1+3+5=9=32;

1+3+5+7=16=42;

1+3+5+7+9=25=52;

(1)試猜想1+3+5+7+9+...+19=;

(2)試猜想1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+l)+(2n+3)=

故答案為100.

(2)1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+l)+(2n+3)

_(l+2n+3)2

=(n+2)2;

故答案為：(n+2)2;

(3)1001+1003+1005+...+2009+2017,

/1+2017、,,1+999、,

=(-*—LT~，

=10092一5(X)2,

=1018081-250000,

=768081.

【方法總結(jié)】

通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)，從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)的和等于首尾兩個(gè)奇數(shù)的和的一半的平方，根據(jù)此

規(guī)律可解答(1)(2)兩題；用從1開(kāi)始到2011的和減去從1開(kāi)始到999的和，然后列式進(jìn)

行計(jì)算即可得第(3)題的答案.

本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出平方的底數(shù)與等式左邊首尾兩個(gè)奇數(shù)的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

【隨堂練習(xí)】

1.(2018?包河區(qū)二模)觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：

①2x0+1",

②4x2+1=32,

③8x6+1=72,

④16x14+1=152;

(1)請(qǐng)按規(guī)律寫出第⑤個(gè)式子：；

(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n個(gè)等式，并驗(yàn)證其正確性.

【解答】解：(1)律寫出第⑤個(gè)式子為：32x30+1=312；

故答案為：32x30+1=312；

(2)根據(jù)題意得：第n個(gè)等式為2n(2n-2)+1=(2n-1)2；

左邊=22n-2n+1+l,右邊=22n-2n+1+l,

???左邊=右邊，

/.2n(2n-2)+1=(2n-1)2.

2.(2017秋嘟城縣期末)閱讀材料,求1+3+32+33+34+……+3?"7的值.

解:設(shè)S=l+3+32+33+34+...+32°"......①

①x3得:3S=3+32+33+34+35+...+32018.........②

②-①得：2s=32018-1

20181

所以s=Q%工

請(qǐng)你仿上述方法計(jì)算：

23

(I)1+2+2+2+...+220I7

(2)1+5+52+53+……+5n(其中n為正整數(shù)).

【解答】解：(1)設(shè)S=l+2+2?+23+……+22。17①,

則有2s=2+22+23+...+2238②,

②-①得：S=22018-1,

23

則1+2+2+2+...+22017=22018-1；

(2)設(shè)S=l+5+52+53+...+5n0,

則有5s=5+52+53+...+5向②,

②-①得：4S=5n+1-1,

貝!J1+5+52+53+...+5n=l(5n+l-1).

4

3.(2018春?工業(yè)園區(qū)期末)觀察下列等式：

①lx3+l=4；②3x5+1=16；③5x7+1=36；...

根據(jù)上述式子的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：

(1)第④個(gè)等式為；

(2)寫出第n個(gè)等式，并驗(yàn)證其正確性.

【解答】解：(1)???第①個(gè)等式為lx3+l=4xp,

第②個(gè)等式為3x5+1=16=4x22,

第③個(gè)等式為5x7+1=36=4x32,

，第④個(gè)等式為7x9+1=4x42=64,

故答案為：7x9+1=64；

(2)由(1)知第n個(gè)等式為：(2n-1)(2n+l)+1=4/,

?左邊=4/-1+1=4/=右邊,

(2n-1)(2n+l)+l=4n2.

知識(shí)點(diǎn)3求代數(shù)式的值

重要結(jié)論：

互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0,相反數(shù)等于自身的數(shù)是0；

互為倒數(shù)的兩數(shù)積為I,倒數(shù)等于自身的數(shù)有-11，倒數(shù)等于自身的自然數(shù)是1；

最大的負(fù)整數(shù)是-1,最小的正整數(shù)是I,絕對(duì)值最小的有理數(shù)是0；

【典例】

1.已知a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，X是最大的負(fù)整數(shù)，m是絕對(duì)值最小的數(shù).試求

x2+(a+b+cd)x+(a+b)2017+(-cd)2017-m2°i7的值.

【解析】解：Ya,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，x是最大的負(fù)整數(shù)，m是絕對(duì)值最小的

數(shù)，

a+b=O,cd=l,x=-1,m=0,

/.x2+(a+b+cd)x+(a+b)2017+(-cd)2017-m2017

=(-1)2+(0+1)(-1)+o2O17+(-1)2017-o2017

=1-1+0-1-0

=-1

【方法總結(jié)】

首先根據(jù)a,b互為相反數(shù),c,d互為倒數(shù)，x是最大的負(fù)整數(shù)，m是絕對(duì)值最小的數(shù)，可

得：a+b=O,cd=l,x=-1,m=0；然后代入代數(shù)式計(jì)算即可.

此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算）11頁(yè)序和運(yùn)算法則.

【隨堂練習(xí)】

1.（2017秋?岳池縣期中）小明參加“趣味數(shù)學(xué)”選修課，課上老師給出一個(gè)問(wèn)題，

小明看了很為難，你能幫他一下嗎？已知a,b互為相反數(shù),c,d互為倒數(shù),|m|=2,

則包也+l+m-cd的值為多少?

in

【解答】解：■,b互為相反數(shù),C,d互為倒數(shù).

/.a+b=0,cd=l

又

/.m=2或-2

當(dāng)m=2時(shí)，原式=0+1+2-1=2,

當(dāng)m=-2時(shí)，原式=0+1-2-1=-2.

2.（2017秋?瀾滄縣期中）已知：a和b互為相反數(shù)，c和d互為倒數(shù)，m是絕對(duì)

值最小的數(shù).求：代數(shù)式給+2017cd-m2018的值.

【解答】解：因?yàn)閍、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m是絕對(duì)值最小的數(shù)，

所以a+b=0,cd=1,m=0,

所以原式=0+2017-0=2017.

3（2017秋?臨澤縣校級(jí)期中）已知:有理數(shù)m所表示的點(diǎn)到原點(diǎn)距離4個(gè)單位，

a,b互為相反數(shù)，且都不為零，c,d互為倒數(shù).

求：2(a+b)-(且-3cd)7ml的值.

b

【解答】解：?有理數(shù)m所表示的點(diǎn)到原點(diǎn)距離4個(gè)單位，

，m=4或-4；

根據(jù)題意得：a+b=O,cd=l,

當(dāng)m=4時(shí)，原式=-2；當(dāng)m=-4時(shí)，原式=-2,

則原式的值為-2.

知識(shí)點(diǎn)4實(shí)際應(yīng)用

利用有理數(shù)混合運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：

1.審：審清題意,找出數(shù)量關(guān)系；

2.歹11：根據(jù)所找的數(shù)量關(guān)系列出算式；

3.算：根據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算出算式的結(jié)果；

4.答：給出題目要求的答案.

【典例】

1.小明的媽媽在某玩具廠工作，廠里規(guī)定每個(gè)工人每周要生產(chǎn)某種玩具140個(gè)，平均每天生

產(chǎn)20個(gè)，但由于種種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入.下表是小明媽媽某周的

生產(chǎn)情況(超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù))：

—

-四五六日

增減產(chǎn)值+10-12-4+8-1+60

(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知小明媽媽星期三生產(chǎn)玩具_(dá)_________個(gè)；

(2)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知小明媽媽本周實(shí)際生產(chǎn)玩具個(gè)；

(3)該廠實(shí)行“每日計(jì)件工資制”，每生產(chǎn)一個(gè)玩具可得工資5元，若超額完成任務(wù),則超

過(guò)部分每個(gè)另獎(jiǎng)3元；少生產(chǎn)一個(gè)則倒扣3元，那么小明媽媽這一周的工資總額是多少元？

(4)若將上面第(3)問(wèn)中“實(shí)行每日計(jì)件工資制”改為“實(shí)行每周計(jì)件工資制”，其他條件不

變，在此方式下小明媽媽這一周的工資與按日計(jì)件的工資哪一個(gè)更多？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】解：(1)20-4=16(個(gè))；

故答案為：16.

(2)V(+10)+(-12)+(-4)+(+8)+(-1)+(+6)+0

=10-12-4+8-1+6

=7,

.-.140+7=147(個(gè)).

故本周實(shí)際生產(chǎn)玩具147個(gè)；

故答案為：147.

(3)147x5+(10+8+6)x3+(12+4+1)x(-3)

=735+24x3+17x(-3)

=735+72-51

=756(元).

故小明媽媽這一周的工資總額是756元；

(4)147x5+7x3

=735+21

=756(元).

故小明媽媽這一周的工資與按日計(jì)件的工資一樣多.

【方法總結(jié)】

(1)根據(jù)記錄可知，小明媽媽星期三生產(chǎn)玩具20-4=16(個(gè))；(2)先分別把增減的量都

相加，然后根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再加上計(jì)劃生產(chǎn)量即可；(3)先計(jì)算每天

的工資，再相加即可求解；(4)先計(jì)算超額完成了幾個(gè)玩具，然后再計(jì)算工資.

本題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)、有理數(shù)加減混合運(yùn)算，讀懂表格數(shù)據(jù)、根據(jù)題意準(zhǔn)確列式是解題的

關(guān)鍵.

【隨堂練習(xí)】

1.(2017秋?資中縣期中)國(guó)慶黃金周期間，小明一家去峨眉山旅游.現(xiàn)已知峨

眉山地區(qū)海拔每升高50米，氣溫就下降0.3C，位于峨眉山山腳的報(bào)國(guó)寺海拔高

度約為530米，峨眉山山頂?shù)慕痦敽０胃叨燃s為3080米，某天山腳的報(bào)國(guó)寺最

低氣溫為14℃,此時(shí)山頂?shù)慕痦敋鉁貫槎嗌伲?/p>

【解答】解：由題意可得，

此時(shí)山頂?shù)慕痦敋鉁貫椋?4+(3080-530)+50x(-0.3)=-1.3(℃),

答：此時(shí)山頂?shù)慕痦敋鉁貫?1.3℃.

2.(2017春?膠州市期中)在地球某地，溫度T(℃)與高度d(m)的關(guān)系可以

近似地用T=10-』來(lái)表示，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

(1)若在該地有一座600m高的小山，則山頂?shù)臏囟仁嵌嗌伲?/p>

(2)若在某處測(cè)得溫度為7.6C,則該項(xiàng)處的高度約為多少？

(3)在該地隨著高度的升高，每升高1m,溫度是怎樣變化的？

【解答】解：(1)根據(jù)題意得：T=10-典=10-4=6℃；

150

(2)根據(jù)題意得：7.6=10-,解得：d=360m；

150

（3）由題意得：（10-得）-（10-2）=J-℃,

150150150

則每升高1m,溫度會(huì)降低.

150

3.（2017秋?衛(wèi)輝市期中）參加某保險(xiǎn)公司的醫(yī)療保險(xiǎn)，住院治療的病人可享受

分段報(bào)銷，保險(xiǎn)公司規(guī)定的報(bào)銷細(xì)則如下表.

住院醫(yī)療費(fèi)（元）報(bào)銷率（%）

不超過(guò)500元的部分0

60

超過(guò)500至1000元的部分

80

超過(guò)1000至3000元的部分

①某人住院治療花去醫(yī)療費(fèi)800元，那么此人能得到保險(xiǎn)公司報(bào)銷的金額是多少

元？

②某人今年住院治療后得到保險(xiǎn)公司報(bào)銷的金額是1260元，那么此人的實(shí)際醫(yī)

療費(fèi)是多少元？

【解答】解：①（800-500）x60%=180（元）；

所以，此人能得到保險(xiǎn)公司報(bào)銷的金額是180元；

②設(shè)此人的醫(yī)療費(fèi)為x元.

如果醫(yī)療費(fèi)是3000元，報(bào)銷金額就是500x60%+2000x80%=1900（元）；

如果醫(yī)療費(fèi)是1000元，報(bào)銷金額就是500x60%=300（元）

所以此人住院的醫(yī)療費(fèi)1000<x<3000,

報(bào)銷金額500x60%+(x-1000)x80%=1260,

解得x=2200.

此人住院的醫(yī)療費(fèi)是2200元.

知識(shí)點(diǎn)5流程圖計(jì)算

初中階段的流程圖一般由方框和帶箭頭的線(直線和折線)組成.方框里是邏輯運(yùn)算，箭頭

表示進(jìn)行運(yùn)算的順序.

箭頭指向某個(gè)方框說(shuō)明需要將上一步的結(jié)果進(jìn)行方框里的邏輯運(yùn)算.

【典例】

1.如圖，是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算程序，當(dāng)輸入的值為5,則輸出的結(jié)果為

|輸入|

【解析】解:把5代入計(jì)算程序中得：［5+(-1)R(-2)=4-(-2)=-2<0,

把-2代入計(jì)算程序中得：［(-2)+(-1)R(-2)=-3-(-2)=|>0,

則輸出的結(jié)果為弓,

故答案為|.

【方法總結(jié)】

此題主要考查了流程圖的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于弄懂流程圖每一步是做什么運(yùn)算.

注意：流程圖的每個(gè)邏輯運(yùn)算都是獨(dú)立的，一定要按箭頭方向一步一步計(jì)算.將流程圖轉(zhuǎn)化

為算式的時(shí)候，應(yīng)該加括號(hào)的地方要補(bǔ)上括號(hào)，不要弄錯(cuò)運(yùn)算順序.

【隨堂練習(xí)】

1.(2018?湘西州)按照如圖的操作步驟,若輸入x的值為2,則輸出的值是

一.（用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算或筆算）

輸入X[=>|平方|=>|乘以3|=>卜咸去10|=>|輸出

【解答]解:將x=2代入得：3x（2）2-10=12-10=2.

故答案為：2.

2.（2018?朝陽(yáng)區(qū)二模）如圖，程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九

章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行程序框圖，如果輸入a,b的值分別為3,9,

那么輸出a的值為一.

【解答】解：當(dāng)a=3、b=9時(shí),b=9-3=6；

此時(shí)a=3、b=6,b=6-3=3,

則a=b=3,

所以輸出a的值為3,

故答案為：3.

知識(shí)點(diǎn)6新定義

定義新運(yùn)算是指用一個(gè)符號(hào)和已知運(yùn)算表達(dá)式表示一種新的運(yùn)算.

解定義新運(yùn)算問(wèn)題，關(guān)鍵是要正確地理解新定義運(yùn)算的算式含義，然后嚴(yán)格按照新定義運(yùn)算

的計(jì)算程序，將數(shù)值代入,轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四則運(yùn)算算式進(jìn)行計(jì)算.

【典例】

1.閱讀下列內(nèi)容，并完成相關(guān)問(wèn)題：

小明說(shuō)：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫米（加乘）運(yùn)算.”然后他寫出了一些按照米（加乘）

運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：

（+4）米（+2）=+6；（-4）*（-3）=+7；

（-5）※（+3）=-8；（+6）※（-7）=-13；

（+8）※0=8；（-9）=9.

小亮看了這些算式后說(shuō)：“我知道你定義的米（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則了.”

聰明的你也明白了嗎？

（1）歸納米（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則：

兩數(shù)進(jìn)行米（加乘）運(yùn)算時(shí).

特別地。和任何數(shù)進(jìn)行加加乘應(yīng)算或任何數(shù)和0進(jìn)行在加乘應(yīng)算,_________________

（2）計(jì)算：［（-2）米（+3）］米［（72）米0］（括號(hào)的作用與它在有理數(shù)運(yùn)算中的作用一

致）

（3）我們知道加法有交換律和結(jié)合律，這兩種運(yùn)算律在有理數(shù)的米（加乘）運(yùn)算中還適用

嗎？請(qǐng)你任選一個(gè)運(yùn)算律,判斷它在米（加乘）運(yùn)算中是否適用，并舉例驗(yàn)證.（舉一個(gè)例

子即可子

【解析】解：（1）歸納米（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則：

兩數(shù)進(jìn)行米（加乘）運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正、異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加.

特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行來(lái)（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行米（加乘）運(yùn)算，都得這個(gè)數(shù)

的絕對(duì)值,

故答案為：同號(hào)得正、異號(hào)得負(fù)，用巴絕對(duì)值相加；都得這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.

（2）原式=（-5）米12=-17；

（3）加法的交換律仍然適用，

例如：（-3）米（-5）=8,（-5）米（-3）=8,

所以（-3）米（-5）=（-5）米（-3）,

故加法的交換律仍然適用.

【方法總結(jié)】

（1）根據(jù)題目給出的米（加乘）運(yùn)算的算式，結(jié)合之前所學(xué)的加減乘除四則運(yùn)算的運(yùn)算法

則，即可歸納出來(lái)（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法.

（2）根據(jù)（1）中總結(jié)出的米（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算方法，

即可求出［（-2）米（+3）怦［（-12）米0］的值.

（3）加法有交換律和結(jié)合律，這兩種運(yùn)算律在有理數(shù)的※（加乘）運(yùn)算中還適用，任取兩

個(gè)數(shù)a,b,通過(guò)計(jì)算說(shuō)明a+Kb=b^a（或任取三個(gè)數(shù)a,b,c,通過(guò)計(jì)算說(shuō)明a米b※c=a米

（b^c））即可.

此題主要考查了定義新運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序并注

意運(yùn)算定律的應(yīng)用.

【隨堂練習(xí)】

1.（2017秋?寧江區(qū)期末）用“☆”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b,規(guī)

定a^"b=ab?+2ab+a.如：1^3=lx32+2xlx3+l=16.

（1）求（-2）笊的值；

（2）若（等常）=8,求a的值.

【解答】解：(1)(-2)侖3=-2X32+2X(-2)x3+(-2)=-32；

(2)也☆3=^X32+2X_S±LX3+包=8a+8=8,

2222

解得：a=0.

2.(2017秋?漳州期末)對(duì)于有理數(shù)a、b,定義運(yùn)算：a?b=ab-2a-2b+l.

(1)計(jì)算:5十4的值；

(2)計(jì)算：[(-2)十6]十3的值；

(3)定義的新運(yùn)算“十”交換律是否還成立？請(qǐng)寫出你的探究過(guò)程.

【解答】解：(1)5?4=5x4-2x4-2x5+1

=20-8-10+1

=21-18

=3；

(2)原式=[-2x6-2x(-2)-2x6+1]?3

=(-12+4-12+1)?3

=-19十3

=-19x3-2x(-19)-2x3+1

=-24；

(3)成立，

???a十b=ab-2a-2b+l、-2b-2a+l,

，a十b=b十a(chǎn),

???定義的新運(yùn)算“十咬換律還成立.

3.(2017秋?樂(lè)陵市期末)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“乘方”和“開(kāi)方”運(yùn)算，下面給同學(xué)們

介紹一種新的運(yùn)算，即對(duì)數(shù)運(yùn)算.

定義:如果ab=N(a>0,a^l,N>0)，則b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN=b.

例如：因?yàn)?3=125,所以log5125=3；因?yàn)?2=121,所以log”121=2.

(1)填空：log66=,log381=.

(2)如果log2(m-2)=3,求m的值.

(3)對(duì)于“對(duì)數(shù)”運(yùn)算，小明同學(xué)認(rèn)為有“l(fā)ogaMN=k)gaM?logaN(a>0,a/1,M>

0,N>0)”，他的說(shuō)法正確嗎？如果正確，請(qǐng)給出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)

說(shuō)明理由，并加以改正.

【解答】解：(1).??61=6,34=81,

.■.loge6=l,log381=4,

故答案為：1、4；

(2)Iog2(m-2)=3,

/.m-2=23,解得：m=10；

(3)不正確，

設(shè)ax=M,ay=N,

則logaM=x,logaN=y(a>0,a#l,M、N均為正數(shù)),

Vax*ay=ax+y,

.\ax+y=M?N,

/.logaMN=x+y,

即logaMN=logaM+logaN.

綜合集訓(xùn)

1.如圖是T數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的示意圖，若輸入X的值為2,輸入y的值為-2，則輸出的結(jié)果為

【解析】解：[2x3+(-2)2]內(nèi)

=[6+4]+5

=10+5

=2.

故答案為：2.

2.如圖，這是一個(gè)運(yùn)算的流程圖，輸入正整數(shù)x的值，按流程圖進(jìn)行操作并輸出y的值.例

如，若輸入x=10,則輸出y=5.若輸出y=3,則輸入的x的值為.

【解析】解：若x為偶數(shù),可得*3,即x=6；

若X為奇數(shù)，可得|(x+1)=3,即x=5,

故答案為：5或6

3.若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值為2,則m-cd若值為

【解析】解:根據(jù)題意得:a+b=O,cd=l,m=2或-2,

當(dāng)m=2時(shí),原式=2-1+0=1；

當(dāng)m=-2時(shí)，原式=-2-1+0=-3,

故答案為1或.3.

4.計(jì)算：(1)-1-7+11+3-2+(1)；

(2)(--+-)-?(--)xZ；

'/'637'12,2

(3)-I4-(1-0.5)4X[2-(-3)4;

(4)(-2)3-13+[儲(chǔ)溝

I)0.125x8+[—32x(-2)「

【解析】解：(1)原式=T-6|+3-2x(-3)

=-6+3+6

=3；

(2)原式=小(后)xgl;

(3)原式=-1《彩x(2-9)

=-1-1x7x(2-9)

-1-1x7x(-7)

-1-(■竺)

='2)

149

-1+T

47

,2

(4)原式=-8-135)_

')爾30.125x8+(l-9x(-2)]

_-8+13x4

-1+(1+18)

_-8+52

―1+19

_44

~20

=2.2.

5.閱讀下面的文字，完成后面的問(wèn)題，我們知道嗯=1-1戰(zhàn)W-［短W

4,4X545

那么：

1

(I)

2016x2017

(2)用含有n(n為正整數(shù))的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律_______

111,1

(3)計(jì)算:——d-------1--------1-

1x22x33x42017X2018

【解析】解：(1)1_11

2016乂2017—20162017

(2)根據(jù)題意得：標(biāo)%W1

n+1

(3)原式=1—=11_2017

223201720182018~2018

6.觀察下列各式：I']2'p+23=32;13+23+33=62；13+23+33+43=102；...

(1)請(qǐng)寫出第5條等式;

(2)說(shuō)出等式左邊各個(gè)幕的底數(shù)與右邊幕的底數(shù)之間有什么關(guān)系？

(3)利用上述規(guī)律，計(jì)算P+23+33+43+...+10()3的值.

【解析】解：(1)13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102,

.,.13+23+33+43+53=152.

(2)左邊各個(gè)幕的底數(shù)之和等于右邊幕的底數(shù).

(3)13+23+33+43+...+1003

=(1+2+3+4+...+100)2

=50502

=25502500.

7.為了保護(hù)環(huán)境節(jié)約水資源，我市按照居民家庭年用水量實(shí)行階梯水價(jià)，水價(jià)分檔遞增.居

民用戶按照以下的標(biāo)準(zhǔn)執(zhí)行：第一階梯上限180立方米，水費(fèi)價(jià)格為5元/每立方米；第二

階梯為181-260立方米之間水費(fèi)價(jià)格7元/每立方米第三階梯為260立方米以上用水量，

水價(jià)為9元/每立方米.如表所示：

供水類型階梯戶年用水量水價(jià)其中

(立方米)7K要水資源要污水處理要

第一階梯0-180（含）52.071.571.36

第二階梯181-260（含）74.07

第三階梯260Utt96.07

根據(jù)以上材料解決問(wèn)題：

若小明家在2017年共用水200立方米，準(zhǔn)備1000元的水費(fèi)夠用嗎？說(shuō)明理由.

【解析】解：180x5+(200-180)x7,

=900+140,

=1040(元).

V1040>1000,

，準(zhǔn)備1000元的水費(fèi)不夠.

8.【概念學(xué)習(xí)】

規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)(均不等于0)的除法運(yùn)算叫做除方，如2+2+2,(-3)+(-

3)+(-3)+(