格林互易定理在求解靜電學(xué)奧賽題中的應(yīng)用

例析格林互易定理在求解靜電學(xué)奧賽題中的應(yīng)用金彪〔浙江省春暉中學(xué)浙江紹興312353〕在靜電場(chǎng)中，有一組固定的n個(gè)導(dǎo)體系統(tǒng)，n個(gè)導(dǎo)體上的電荷為它們的電勢(shì)分別為當(dāng)?shù)膎個(gè)導(dǎo)體的電荷變?yōu)樗鼈兊碾妱?shì)那么必有成立。上面的定理叫做格林互易定理，其嚴(yán)格證明超出了中學(xué)物理的范圍，但在求解有關(guān)靜電感應(yīng)的一些中學(xué)物理競(jìng)賽問(wèn)題時(shí),假設(shè)用格林互易定理的方法來(lái)求解,那么可以起到事半功倍的效果，下面就來(lái)看幾個(gè)往年競(jìng)賽真題。例1：〔第13屆預(yù)賽第5題〕在靜電復(fù)印機(jī)里，常用如下圖的電路來(lái)調(diào)節(jié)A、C兩板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，從而用來(lái)控制復(fù)印件的顏色深淺．在操作時(shí)，首先對(duì)由金屬平板A、B組成的平行板電容器充電．該電容器的B板接地，A、B板間填充有介電常數(shù)為的電介質(zhì)，充電后兩板間的電勢(shì)差為U．而后，斷開(kāi)該充電電源，將連接金屬平板C和可調(diào)電源E的開(kāi)關(guān)K閉合．這樣，A、C兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度將隨可調(diào)電源E的電動(dòng)勢(shì)變化而得以調(diào)節(jié)．C板與A板很近，相互平行，且各板面積相等．A、B板間距離為dl，A、C板間距離為d2，A、C板間空氣的介電常數(shù)取為1．試求；當(dāng)電源E的電動(dòng)勢(shì)為U0時(shí)，A、C兩板間某點(diǎn)P處的電場(chǎng)強(qiáng)度．解：先求出上下兩電容器的電容：A、C兩板間EMBEDEquation.KSEE3的電容為 A、B兩板間的電容為對(duì)由金屬平板A、B組成的平行板電容器充電后，由條件可的C、A、B三塊板的電勢(shì)分別為所帶電量分別為 當(dāng)斷開(kāi)該充電電源，連接金屬平板C和可調(diào)電源E的開(kāi)關(guān)K閉合后，A板總電量不變，電勢(shì)變化，設(shè)此時(shí)A板電勢(shì)為；B板電量變化而電勢(shì)仍為零，設(shè)B板電量為；C板電勢(shì)變?yōu)?，電量可以根?jù)A、C兩板的電勢(shì)差求得那么C、A、B三塊板的電勢(shì)分別為所帶電量分別為 將變化前的電勢(shì)與變化后的電量相乘，變化前的電量與變化后的電勢(shì)相乘，由格林互易定理可得上式消去得：左右兩邊都減去，可得可得：那么P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為例2：(第12屆決賽第3題)如下圖，正四面體ABCD各面均為導(dǎo)體，但又彼此絕緣．帶電后四個(gè)面的靜電勢(shì)分別為、、和，求四面體中心O點(diǎn)的電勢(shì)。解：由題意，設(shè)四個(gè)面與中心O的電荷量分別為、、、、0同時(shí)，四個(gè)面與中心的電勢(shì)分別為、、、、現(xiàn)將外面四個(gè)面接地，中心放一個(gè)電量為Q的點(diǎn)電荷，中心電勢(shì)為U，而四個(gè)面產(chǎn)生的感應(yīng)電荷都相等，為，那么此時(shí)四個(gè)面與中心O的電荷和電勢(shì)分別為、、、、、、、、由格林互易定理可得：即可得 例3：〔第14屆決賽第7題〕有100塊平行放置的正方形大導(dǎo)體板，每塊邊長(zhǎng)均為，相鄰兩板彼此相對(duì)的兩個(gè)外表的間距均為，，將這些導(dǎo)體板從左至右順次編號(hào)為1，2，...100.開(kāi)始每板上都帶有凈電荷，第1塊板上的凈電量為〔設(shè)〕，第n塊板上的凈電量為，今將第1塊和第100塊導(dǎo)體板接地，如下圖.忽略邊緣效應(yīng).問(wèn)：從第1塊和第100塊導(dǎo)體板上流入大地的電量和各為的多少倍？上述兩板接地后哪塊板上的電勢(shì)最高？其電勢(shì)是多少？解：當(dāng)?shù)?塊和第100塊導(dǎo)體板接地后，這兩塊板電量發(fā)生改變，所有極板的電勢(shì)也發(fā)生了改變，那么可設(shè)極板的總電量和電勢(shì)分別為：現(xiàn)改變各導(dǎo)體板電量。變化一：使極板電量都變?yōu)?，而1板電量為，100板電量為，且假設(shè)1板接地，100板電勢(shì)為〔其中C為相鄰兩板間的電容〕。那么極板的電量和電勢(shì)分別為：將變化后的電勢(shì)與電量和題給條件的電勢(shì)與電量結(jié)合，由格林互易定理可得：那么可以求得第100塊板流入大地的電荷為：變化二：使極板電量都變?yōu)?，1板電量為，100板電量為，且假設(shè)100板接地；1板電勢(shì)為〔其中C為相鄰兩板間的電容〕。那么極板的電量和電勢(shì)分別為：將變化后的電勢(shì)與電量和題給條件的電勢(shì)與電量結(jié)合，由格林互易定理可得：那么可以求得第100塊板流入大地的電荷為：變化三：使第極板帶電量為，極板帶電量為且接地，其它極板都不帶電。那么極板電勢(shì)皆為，極板電勢(shì)皆為零，那么極板的電量和電勢(shì)分別為：將