向量的數(shù)量積高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第六章平面向量及其應(yīng)用向量的數(shù)量積教學(xué)目標(biāo)

理解平面向量數(shù)量積的含義并會計(jì)算（重點(diǎn)）

01

理解a在b上的投影向量的概念（重點(diǎn)）

02

理解平面向量夾角、模的定義，并會求向量的夾角和模（難點(diǎn)）

03

掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律，并會應(yīng)用04實(shí)數(shù)加法減法向量加法減法數(shù)乘線性運(yùn)算向量＋向量=向量向量－向量=向量實(shí)數(shù)×向量=向量向量與向量能否相乘？乘法類比類比類比問題

前面我們學(xué)習(xí)了向量的加法、減法運(yùn)算.類比數(shù)的運(yùn)算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義？問題

回顧之前學(xué)習(xí)向量線性運(yùn)算的過程，我們都是按照怎樣的路徑學(xué)習(xí)的？物理模型性質(zhì)運(yùn)算律應(yīng)用路徑：概念向量的加法位移合成力的合成“向量乘法”?問題探究引

入問題

①在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功

，其中θ是F與s的夾角．功是一個(gè)_____，它由力和位移兩個(gè)向量來確定.問題

②功是一個(gè)矢量還是標(biāo)量？它的大小由哪些量確定？

這給我們一種啟示，能否把“功”看成是兩個(gè)向量“相乘”的結(jié)果呢？標(biāo)量探究新知問題

如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個(gè)一般向量，其結(jié)果又該如何表述？兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積因?yàn)榱ψ龉Φ挠?jì)算公式中涉及力與位移的夾角，所以我們先要定義向量的夾角概念.探究新知1.向量的夾角已知兩個(gè)非零向量

，O是平面上的任意一點(diǎn)，作

則∠AOB＝θ(

)叫做向量

的夾角．OABθ顯然，當(dāng)θ=0時(shí)，同向.當(dāng)時(shí)，垂直，記作.當(dāng)θ=π時(shí)，反向.記作:<

>θ∈[0，π]范圍：0≤θ≤π課堂練習(xí)50°ABC45°85°1.在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°，求下列向量的夾角：

(1)45°130°85°45°130°85°(2)(3)問題

兩個(gè)向量的夾角與兩條直線的夾角有何區(qū)別？向量

與

之間的夾角θ的取值范圍是[0,π],注意:必須共起點(diǎn).兩直線夾角的范圍

是不一樣的(向量有方向).可以平移實(shí)現(xiàn).探究新知2.平面向量數(shù)量積的定義

已知非零向量與，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量叫作

與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即規(guī)定規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即

向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量②一種新的運(yùn)算.①“·”不能省略不寫，也不能寫成“×”.③數(shù)量積a·b的結(jié)果為實(shí)數(shù)，不是向量.（數(shù)量積運(yùn)算是非線性運(yùn)算）注意:例題講解例1

已知解：例2

解：

由

，得∵

∴

.知三求一探究新知問題

向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？0°≤θ＜90°

=90°

兩個(gè)非零向量的數(shù)量積，符號由夾角θ決定：注意:90°＜θ≤180°

?

是非零向量

⑤當(dāng)

時(shí)，夾角θ范圍是_______________；當(dāng)

時(shí)，夾角θ范圍是_______________;當(dāng)

時(shí)，夾角θ_______.探究新知3.投影向量設(shè)

是兩個(gè)非零向量，

，過

的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作

所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到

，我們稱這種變換為向量

向向量

投影，

叫做向量

在向量

上的投影向量．

我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作.過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量同起點(diǎn)原則探究新知問題

如圖，設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為θ，那么

與，，θ之間有怎樣的關(guān)系？所以當(dāng)θ為直角時(shí)，λ=0，所以當(dāng)θ為銳角時(shí)，與

方向相同，探究新知所以當(dāng)θ為鈍角時(shí)，與

方向相反，當(dāng)θ=0時(shí)，λ=，所以當(dāng)θ=

時(shí)，λ=，所以綜上可知，對任意的都有:1.已知

,為單位向量,且

的夾角為θ=45°,90°,135°求向量

在

上的投影向量.解：向量

在

上的投影向量為牛刀小試特殊向量：零向量，單位向量.(1)零向量與任一向量的數(shù)量積為零，即.問題

當(dāng)向量特殊時(shí)，它們的數(shù)量積有怎樣的特殊性？所以，由數(shù)量積的定義可得交換性(2)設(shè)

是非零向量，

是單位向量，它們的夾角是θ.探究新知向量

垂直向量

共線問題

當(dāng)兩向量的位置關(guān)系特殊時(shí)，它們的數(shù)量積有怎樣的特殊性？反之成立嗎？特別地

或

.

求向量的模的工具(1)向量

同向(2)向量

反向探究新知問題

設(shè)

是非零向量，與有怎樣的大小關(guān)系？所以．由

，可得因?yàn)?，即，探究新知設(shè)

是非零向量，它們的夾角是θ，

是與

方向相同的單位向量，則常常記作(1)．(2)．(4)．(3)當(dāng)

與

同向時(shí)，；當(dāng)

與

反向時(shí)，；特別地，或．如果,是否有

或

？4.數(shù)量積的性質(zhì)探究新知向量夾角的概念：平面向量的數(shù)量積的定義投影向量的定義是向量

在向量

上的投影向量，則向量

與

的夾角θ

，記作

，范圍是0°≤θ

≤180°課堂小結(jié)設(shè)

是非零向量，它們的夾角是θ，

是與

方向相同的單位向量，則常常記作(1)．(2)．