數(shù)學(xué)（北師大版必修4）練習(xí)活頁作業(yè)12向量的加法

活頁作業(yè)(十二)向量的加法基礎(chǔ)鞏固1．在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→)) D.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0解析：在平行四邊形ABCD中，應(yīng)有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，故C項(xiàng)錯誤．答案：C2．在正方形ABCD中，邊長為1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝()A．1 B．2C．3 D．0解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1.答案：A3．已知向量m與n不共線，且|m|＝1，|n|＝4，則|m＋n|的取值范圍是()A．(1,3) B．(3,5)C．(3,4) D．(4,5)解析：由于m與n不共線，所以有||m|－|n||＜|m＋n|＜|m|＋|n|，即3＜|m＋n|＜5.答案：B4．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))解析：如圖，eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)·2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).答案：A5.如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))解析：eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).答案：D6.如圖所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，且AC與BD相交于點(diǎn)O，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝__________.解析：eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).答案：eq\o(OD,\s\up6(→))7．已知D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，△ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，則eq\f(|\o(PD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)的值為__________.解析：如圖，四邊形PBAC是平行四邊形，D為BC的中點(diǎn)，所以D為PA的中點(diǎn)．所以eq\f(|\o(PD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)的值為1.答案：18．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧AB的兩個三等分點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝__________.解析：連接OD，CD，由題意可得，四邊形AODC為平行四邊形，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.答案：eq\f(1,2)a＋b9．化簡下列各式：(1)eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→)))＋(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→)).10．一艘船在水中航行，水流速度與船在靜水中航行的速度均為5km/h.如果此船實(shí)際向南偏西30°方向行駛2km，然后又向西行駛解：如圖，用eq\o(AC,\s\up6(→))表示船的第一次位移，用eq\o(CD,\s\up6(→))表示船的第二次位移，根據(jù)向量加法的三角形法則知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))可表示兩次位移的和位移．由題意知，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，則BC＝eq\f(1,2)AC＝1，AB＝eq\r(3).在等腰三角形ACD中，AC＝CD＝2，所以∠D＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠ACB＝30°.所以∠BAD＝60°，AD＝2AB＝2eq\r(3).所以兩次位移的和位移的方向是南偏西60°，位移的大小為2eq\11.如圖所示，小船要從A處沿垂直河岸AC的方向到達(dá)對岸B處，此時水流的速度為6km/h，測得小船正以8km/h解：由題知小船的行駛速度的大小為8km/h，方向與eq\o(AB,\s\up6(→))一致，水流速度的方向與eq\o(AC,\s\up6(→))一致，大小為6km/h.如圖，連接BC，過點(diǎn)B作AC的平行線，過點(diǎn)A作BC的平行線，兩條平行線交于點(diǎn)D，則四邊形ACBD為平行四邊形.eq\o(AB,\s\up6(→))可以看成水流速度eq\o(AC,\s\up6(→))與船在靜水中的速度eq\o(AD,\s\up6(→))的合速度．在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8km/h，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝6km/h，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(AC,\s\up6(→))|2))＝10(km/h)．∵∠DAB＝∠ABC，∴tan∠DAB＝tan∠ABC＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4).答：小船在靜水中的速度的大小為10km/h，沿eq\o(AD,\s\up6(→))且夾角滿足tan∠DAB＝eq\f(3,4)的方向行駛．12．已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AO＝OC，DO＝OB.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：根據(jù)向量加法的三角形法則，有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，又∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴AB∥DC，且AB＝DC.∴四邊形ABCD是平行四邊形．智能提升13．如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且BP＝QC，求證：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).證明：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→)).∵eq\o(PB,\s\up6(→))和eq\o(QC,\s\up6(→))大小相等，方向相反，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).14．輪船從A港沿東偏北30°方向行駛40km到達(dá)B處，再由B處沿正北方向行駛40km到達(dá)C處，解：如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))分別表示輪船發(fā)生的位移，輪船到達(dá)C處可由eq\o(AC,\s\up6(→))確定，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\o(AC,\s\up6(→))表示輪船的合位移．在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝40km，∴|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝20km，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝20eq\r(3)在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝60km，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up6(→))|2＋|\o(DC,\s\up6(→))|2))＝eq\r(20\r(3)2＋602)＝40eq\r(3)(km)．∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up6(→))|，∴∠CAD＝60°.∴輪船此時位于A港東偏北60°，且距A港40eq\r(3)15．三個大小相同的力a，b，c作用在同一物體P上，使物體P沿a方向做勻速運(yùn)動，設(shè)eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，判斷△ABC的形狀．解：由題意得|a|＝|b|＝|c|