校園停車問題的線性規(guī)劃模型

數(shù)學(xué)建模競賽論文〔指導(dǎo)老師：周永正〕題目：校園停車問題的線性規(guī)劃模型組號(hào)：第六組姓名:金坤鵬姓名:劉堅(jiān)姓名:楊敏校園停車問題摘要：關(guān)于佐治亞理工學(xué)院的校園停車混亂問題，我們首先建立可變系數(shù)線性規(guī)劃模型來解決該問題，在解決該問題的過程中，我們結(jié)合學(xué)校學(xué)生、教師、職工的實(shí)際情況，并且考慮到校外居民的利益，通過假設(shè)多組不同車位的價(jià)格，來改變模型中變量的系數(shù)，最終通過各模型求出每一組不同車位的價(jià)格所對(duì)應(yīng)的利潤，通過利潤的分析和并將現(xiàn)求解后模型中學(xué)生、教工的最大停車費(fèi)用與之前校方規(guī)定的價(jià)格產(chǎn)生的學(xué)生、教工的最大停車費(fèi)用作比照,結(jié)合有利于學(xué)院長期開展的目標(biāo)和車位合理分配的要求，最終確定了一組最正確的車位分配及對(duì)應(yīng)的停車價(jià)格為：零散無限制車位3328個(gè)，短期按天收費(fèi)車位5000個(gè)，鑰匙卡車位800個(gè)，預(yù)定車位700個(gè)，臨時(shí)來訪車位100個(gè)，殘疾人車位60個(gè)，且停車許可證的注冊費(fèi)為100美元，零散無限制車位價(jià)格為有停車許可證即可，短期按天收費(fèi)車位的價(jià)格分為兩種情況，一為辦了停車許可證的，需每天額外交0.4美元。二為沒有辦停車許可證的，需每天交1.5美元。鑰匙卡車位的價(jià)格為每年額外交220美元。預(yù)定車位的價(jià)格為每年額外交200美元。而臨時(shí)來訪車位，殘疾人車位為免費(fèi)提供。這種的價(jià)格和車位的分配盡可能的降低了各類人員的不滿意度，并使得停車與交通經(jīng)費(fèi)有一定的盈余，從而最終解決了校園停車混亂的局面，且使學(xué)生、教工及校外居民都感到滿意。關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃滿意度可變系數(shù)一問題的提出佐治亞理工學(xué)院位于市內(nèi)，目前學(xué)校擁有各類人員的總數(shù)為16000人，分別為住校生4000人，走讀生8000人，教師1600人，職工2400人。學(xué)院內(nèi)僅有9988個(gè)停車位，但學(xué)院的師生職工擁有車數(shù)為14048，顯然供不應(yīng)求。因此為了限制停車數(shù)量和維持正常的經(jīng)費(fèi)開支，實(shí)行停車許可證和年度收費(fèi)政策。另外，這9988個(gè)停車位包括最近新建的兩個(gè)停車平臺(tái)〔即學(xué)生中心停車平臺(tái)〕的1500個(gè)停車位，平均每個(gè)停車位的建設(shè)費(fèi)用高達(dá)4000美元。為了逐步付清這項(xiàng)工程的貸款，該停車平臺(tái)單獨(dú)設(shè)了較高的收費(fèi)，除了原有的每年每車100美元的費(fèi)用，另加收使用費(fèi)每天1.5美元。但這項(xiàng)引起了各方面，特別是學(xué)生的極大不滿，致使有些學(xué)生寧愿把車停在1英里以外，然后步行，或者乘校車，也不愿意付這1.5美元。結(jié)果是全校停車位缺乏，而學(xué)生中心停車平臺(tái)卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)美元停滿，致使學(xué)校的停車和交通經(jīng)費(fèi)預(yù)算短缺100000美元以上，而且導(dǎo)致校外亂停車，使校園北部居民抱怨很大。歸納起來主要有如下一些數(shù)據(jù)：〔1〕住校生4000走讀生8000教師1600職工2400總計(jì)擁有車的人數(shù)308072801552213614048不收費(fèi)情況下，校園停車數(shù)219562611505190112162在該中收費(fèi)制度下，校園停車數(shù)9245460141217929588〔2〕類型數(shù)量〔個(gè)〕收費(fèi)〔每個(gè)車為全年收費(fèi)100美元〕零散無限制車位7100只要有停車許可證短期按天收費(fèi)車位1328假設(shè)有停車許可證，每天加收1.5美元假設(shè)沒有停車許可證，每天加收3美元鑰匙卡車位800每年加收50美元預(yù)定車位600每年加收100美元臨時(shí)來訪車位100免費(fèi)使用殘疾人車位60免費(fèi)使用合計(jì)9988〔3〕全年停車與運(yùn)輸資金預(yù)算包括：年度停車許可注冊費(fèi)約115萬美元；鑰匙卡車場額外收費(fèi)約4萬元；特留車位額外收費(fèi)約6萬美元；學(xué)生中心停車平臺(tái)收取的每日停車費(fèi)全年收入約16萬美元。〔4〕全年校車收費(fèi)35萬美元，但校車運(yùn)輸費(fèi)用也是大約35萬美元。校車是由學(xué)生會(huì)通過并付錢的校園運(yùn)輸效勞來運(yùn)作的?！?〕全年停車與運(yùn)輸總花費(fèi)包括：全年停車場資本費(fèi)用96.6萬美元〔其中包括地表費(fèi)用和對(duì)貸款的歸還〕；全年停車運(yùn)作費(fèi)用72.5萬美元〔包括停車辦公室的管理，制度的執(zhí)行〕?！?〕個(gè)人年收入中間值：住校生5000美元，走讀生10000美元，教師52000美元，職工27000美元。教職工相比學(xué)生有較高的收入，學(xué)生對(duì)停車收費(fèi)師生同價(jià)意見較大。如何在考慮以上方面的根底上，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的方法重新制定校園停車政策，盡量使教工，學(xué)生，校方及校外居民都滿意，并使停車與交通經(jīng)費(fèi)有一定的盈余，有利于長期開展。二問題的分析〔1〕首先我們通過計(jì)算得知不收費(fèi)的情況下有12162輛車將停于校園內(nèi)，而學(xué)校方面只有9988個(gè)停車位，供不應(yīng)求。所以為了限制停車數(shù)量和維持正常的經(jīng)費(fèi)開支，實(shí)行停車許可證和年度收費(fèi)政策?！?〕在目前這種收費(fèi)制度下校內(nèi)停車數(shù)為9588，而學(xué)院擁有的停車位為9988.是什么導(dǎo)致預(yù)算資金短缺及停車混亂的原因？，因?yàn)檫@9988個(gè)停車位包括最近新建的兩個(gè)停車平臺(tái)〔即學(xué)生中心停車平臺(tái)〕的1500個(gè)停車位，我們假設(shè)學(xué)院每年正常上課的時(shí)間為210天，上面我們學(xué)生中心停車平臺(tái)收取的每日停車費(fèi)全年收入約16萬美元，因此有=510,我們可以看出對(duì)于學(xué)生中心停車平臺(tái)的車位，我們只利用了510.將近有1000個(gè)空位，其實(shí)我們實(shí)際利用的車位為只有8998.所以使得問題變得鋒利起來?！?〕由師生及職工的年收入我們得知，以上的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是極不公平的，像鑰匙卡車位，預(yù)定車位它們的年費(fèi)用才為150,200元.相比之下學(xué)生中心平臺(tái)的收費(fèi)，像我們之前的假設(shè)學(xué)院每年正常上課的時(shí)間為210天，通過計(jì)算有100+1.5*210=415元，相比師生及職工的年收入，難免會(huì)使學(xué)生感到不滿意。對(duì)于不同的車位，以及不同收入的群體我們應(yīng)該給出不同的價(jià)格，并且給出的價(jià)格必須合理。因此我們假定學(xué)生中心停車平臺(tái)的1500個(gè)停車位應(yīng)該設(shè)定為鑰匙卡車位和預(yù)定車位兩類?！?〕停車許可證的辦理問題，考慮到在目前這種停車收費(fèi)制度下，有9588個(gè)車位有車停放，我們認(rèn)為這9588個(gè)人對(duì)停車的需求是剛性的。按情理說他們都會(huì)辦理停車許可證，所以我們假設(shè)辦理了停車許可證的人數(shù)為9588人，那么沒有辦理停車許可證的人數(shù)為9988-9588-100-60=240.〔5〕考慮到學(xué)院的長期開展，停車與交通經(jīng)費(fèi)應(yīng)該有一定的盈余，我們應(yīng)該選取適宜的價(jià)格，進(jìn)行合理的車位分配。使教工，學(xué)生，校方及校外居民都盡量滿意。但價(jià)格不能太高，畢竟學(xué)校的停車場不是以盈利為目的。綜上解決問題的關(guān)鍵就是選取適宜的價(jià)格，進(jìn)行合理的車位分配。我們通過建立線性規(guī)劃模型來解決這個(gè)問題。三模型假設(shè)教工和學(xué)生均不停在臨時(shí)來訪車位和殘疾人車位，學(xué)生中心停車平臺(tái)的車位只能由師職人員來停。不考慮各停車場的地區(qū)差異，即不考慮各類人員因到停車場步行距離的差異而產(chǎn)生不滿意的情況；假設(shè)全年上課時(shí)間為210天，車主每天來停車人數(shù)不會(huì)有較大的變動(dòng)；學(xué)校擁有汽車的人數(shù)不會(huì)有大的變動(dòng)?？紤]到各類人員的收入情況，假設(shè)學(xué)生中心停車平臺(tái)的1500個(gè)車位分為鑰匙卡車位和預(yù)定車位兩類。且新增的240個(gè)車位假設(shè)全部給住校生來停。四符號(hào)說明表示第i類車分配給第j類人員的數(shù)目；表示對(duì)于短期收費(fèi)車位，假設(shè)有停車許可證的情況下，每天加收的金額；表示對(duì)于短期收費(fèi)車位，假設(shè)沒有停車許可證的情況下，每天加收的金額；表示第i類車位的數(shù)目i=1,2,3,4;表示第j類人員的數(shù)目j=1,2,3,4；x表示每輛車辦理停車許可證時(shí)所需的費(fèi)用；m表示單位鑰匙卡車位每年所加的金額；n表示單位預(yù)定車位每年所加的金額；g表示全年各種固定資本和運(yùn)作費(fèi)及校車的運(yùn)輸費(fèi)；f表示全年各種固定收費(fèi)之和，包括許可注冊費(fèi)，各種額外加收費(fèi)用，校車費(fèi)用；F表示目標(biāo)函數(shù)，停車與交通經(jīng)費(fèi)的盈余，即利潤。五模型的建立我們建立線性規(guī)劃模型來解決校園停車問題MAX根據(jù)實(shí)際情況并結(jié)合各類人員的收入情況給出各類停車車位的價(jià)格，即給出mnx的價(jià)格。由于要考慮學(xué)校停車場得長遠(yuǎn)開展，給定F值為停車的利潤，從而得出相應(yīng)的各個(gè)車位的價(jià)格。六模型的求解MAX首先我們通過LINGO軟件求出各車位分配如下：從的矩陣我們可以看出。住校生有1164個(gè)車位，走讀生有5460個(gè)車位，教師1412個(gè)車位，職工1792個(gè)車位。如下列圖所示，結(jié)合該校學(xué)生師職工的人數(shù)比例來看，這樣的分配是符合實(shí)際的，而且是比擬合理的。另一方面，我們從各車位類型總數(shù)的角度來看，零散無限制車位共有3828個(gè)，短期按天收費(fèi)車位共有5000個(gè)，鑰匙卡車位共有800個(gè)，預(yù)定車位共有700個(gè)。如下列圖所示鑰匙卡車位，預(yù)定車位共1500個(gè)，這二個(gè)車位是高收費(fèi)車位,正好分配到師職工來停放，結(jié)合各類人員的收入考慮，這樣的分配盡可能的降低了各類人員的不滿意度，到達(dá)了車位合理分配的效果。其次我們根據(jù)實(shí)際情況并結(jié)合各類人員的收入情況假設(shè)出各類停車車位的價(jià)格，如下所示：方案〔1〕：=0.5，=1.5，m=150，n=200，x=100。所以求得：F=f-g=123200類型數(shù)量〔個(gè)〕條件〔每個(gè)車位全年收費(fèi)100美元〕零散無限制車位3328只要有停車許可證短期按天收費(fèi)車位5000假設(shè)有停車許可證，每天加收0.5美元假設(shè)沒有停車許可證，每天加收1.5美元鑰匙卡車位800每年加收200美元預(yù)定車位700每年加收150美元臨時(shí)來訪車位100免費(fèi)殘疾人車位60免費(fèi)合計(jì)9988方案〔2〕：=0.3，=1.3，m=150，n=200，x=100。所以求得：類型數(shù)量〔個(gè)〕條件〔每個(gè)車位全年收費(fèi)100美元〕零散無限制車位3328只要有停車許可證短期按天收費(fèi)車位5000假設(shè)有停車許可證，每天加收0.3美元假設(shè)沒有停車許可證，每天加收1.3美元鑰匙卡車位800每年加收150美元預(yù)定車位700每年加收200美元臨時(shí)來訪車位100免費(fèi)殘疾人車位60免費(fèi)合計(jì)9988F=f-g=-86800不符合實(shí)際舍去。方案〔3〕：=0.4，=1.4，m=220，n=200，x=100。所以求得：類型數(shù)量〔個(gè)〕條件〔每個(gè)車位全年收費(fèi)100美元〕零散無限制車位3328只要有停車許可證短期按天收費(fèi)車位5000假設(shè)有停車許可證，每天加收0.4美元假設(shè)沒有停車許可證，每天加收1.4美元鑰匙卡車位800每年加收220美元預(yù)定車位700每年加收200美元臨時(shí)來訪車位100免費(fèi)殘疾人車位60免費(fèi)合計(jì)9988F=f-g=72200結(jié)果的分析與檢驗(yàn)：方案二中利潤的值為負(fù)，不利于學(xué)院長期開展的利益進(jìn)而舍去。方案一與方案三比擬，對(duì)于住校生而言，方案三在一年中花費(fèi)的最大停車費(fèi)用為100+210*0.4=184,方案一在一年中花費(fèi)的最大停車費(fèi)用為100+210*0.5=205.再者方案三中教師在一年中花費(fèi)的最小停車費(fèi)用為300.，由這些數(shù)據(jù)可知，學(xué)生的最大停車費(fèi)用較教工的最小停車費(fèi)用由較大的差距，從而盡可能的降低了學(xué)生的不滿意度，而且方案三的利潤值比擬符合實(shí)際。所以我們最終選取方案三作為我們的定價(jià)策略。七模型的評(píng)價(jià)與推廣模型的優(yōu)點(diǎn)：在該模型中，我們根據(jù)題意，充分考慮到了各車位的利用率，學(xué)校收益問題及停車學(xué)生、教工等的實(shí)際情況，并大膽的假設(shè)，綜合全面的將各個(gè)因素放入模型，建立了目標(biāo)規(guī)劃模型，然后通過軟件求出了最正確解，得出解之后，我們再次根據(jù)實(shí)際情況，對(duì)最優(yōu)的規(guī)劃模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?，使得最終方案符合各方利益，且符合實(shí)際情況，并具有一定的可行性。模型的缺點(diǎn):首先就是模型的假設(shè)過于理想化，并不能保證車位每天都會(huì)停滿，學(xué)生、教工擁有車輛會(huì)隨著時(shí)間的改變而產(chǎn)生一定的波動(dòng)，在這里我們也沒有將其納入模型的求解，在最后的收入盈余時(shí)，因缺少相關(guān)的數(shù)據(jù)而做了一定的簡化假設(shè)處理。另外我們不能精確的求出停車價(jià)格的最優(yōu)解，只能通過變動(dòng)系數(shù)大概的求出各個(gè)車位的價(jià)格模型的推廣：在社會(huì)資源緊缺的今天，合理利用每一份資源都顯得尤其重要，構(gòu)建節(jié)約型社會(huì)需要從生活的每一個(gè)方面進(jìn)行，合理利用車位，發(fā)揮每個(gè)車位的最大使用價(jià)值，創(chuàng)造恰當(dāng)?shù)纳鐣?huì)財(cái)富，且使得能夠長期的開展，是這個(gè)模型的最終目標(biāo)。該模型的建立很好的解決了該校停車混亂的問題，同時(shí)結(jié)合當(dāng)前情況，本模型也可推廣到其它各個(gè)學(xué)校，公司企業(yè)，或者是居民小區(qū)，這對(duì)構(gòu)建和諧的社會(huì)環(huán)境有著重大意義，其次本模型采用可變系數(shù)的方法，在試用到解決其它場所的停車問題時(shí)，該模型只需改變適當(dāng)?shù)淖兞考由喜粩噙M(jìn)行調(diào)整，就能到達(dá)理想的效果。

參考文獻(xiàn)：[1]馬亮，顏桃為.大學(xué)校園停車規(guī)劃與管理研究[D].南京：南京交通工程學(xué)院，2007.[2]葉其孝.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材[M].湖南教育出版社，2003.[3]萬重飛，許景飛.校園停車政策的數(shù)學(xué)模型[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003.[4]孫曉群，黨林立.數(shù)學(xué)建模簡明教程[M].西安電子科技大學(xué)出版社，2009。附錄：max=9588*x+r1*(5000-240)*210+r2*240*210+(x31+x32+x33+x34)*m+(x41+x42+x43+x44)*n-1671000;x11+x21+x3