-2024年“極光杯”線上考試（一） 答案

2024年“極光杯”線上測試（一）數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題二、選擇題三、填空題16．1；(,)u(,)四、解答題若g(x)在區(qū)間(0,π)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則y=sinx在區(qū)間(,2aπ+)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，因此解得a的取值范圍是(,].2024年測試（一）參考答案第1頁（共4頁）（1）由題設(shè)知Y服從二項(xiàng)分布B(50,0.6)，所以（i）統(tǒng)計(jì)量A反映了未受益于新治療方案的患者數(shù)，理由如下：若患者i受益于新治療方案，則其指標(biāo)I的值xi滿足f(xi)=0，否則|f(xi)|=1，會被統(tǒng)計(jì)量A計(jì)入，且每位未受益于新治療方案的患者恰使得統(tǒng)計(jì)量A的數(shù)值加1.統(tǒng)計(jì)量B反映了未受益于新治療方案且指標(biāo)I偏高的患者數(shù)量，理由如下：若患者i接受新治療方案后指標(biāo)I偏低或正常，則其指標(biāo)I的值xi滿足f(xi)[f(xi)+1]=0，若指標(biāo)I偏高，則f(xi)[f(xi)+1]=2，=1，會被統(tǒng)計(jì)量B計(jì)入，且每位未受益于新治療方案且指標(biāo)I偏高的患者恰使得統(tǒng)計(jì)量B的數(shù)值加1.（ii）由題設(shè)知新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案等價(jià)于一次試驗(yàn)中X的觀測值大于Y當(dāng)50A>30，即A<20時(shí)，認(rèn)為新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案；當(dāng)50A=30，即A=20時(shí)，認(rèn)為新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案相當(dāng)；當(dāng)50A<30，即A>20時(shí)，認(rèn)為新治療方案劣于標(biāo)準(zhǔn)治療方案.（1）取CF中點(diǎn)M，DE中點(diǎn)N，連結(jié)AM，BN，MN.因?yàn)榈酌鍯DEF是矩形，AB//底面CDEF，平面ABCDn底面CDEF=CD，所以AB//CD//EF，而MN//CD，所以A，B，M，N共面.由題設(shè)知△ACF，△BDE都是正三角形，所以CF」AM，DE」BN.因?yàn)榈酌鍯DEF是矩形，所以CF//DE，則CF」BN，CF」平面ABMN.記A在MN，CD，EF上的射影分別為A1，A2，A3，則CF」AA3，且MN」AA3，所以AA1=1．而A1A2=A1A3=MC=又因?yàn)锳A2」EF，所以AA2」CD，從而AA2」平面ABCD.而AA2一平面ABEF，所以平面ABCD」平面ABEF.2024年測試（一）參考答案第2頁（共4頁）（2i）因?yàn)镃F//DE，所以CF//平面BDE.由線面平行的性質(zhì)可知，CF//l，其中l(wèi)平面ACFn平面BDE.而l底面CDEF，所以l//底面CDEF.（ii）由（1）知A，B，M，N共面，所以AM和BN有交點(diǎn)，記為G.所以Gl，l到底面CDEF的距離等于G到底面CDEF的距離.因?yàn)锳MBN3，所以四邊形ABNM是等腰梯形，AMNBNM，由幾何關(guān)系可知MA1MA2AA2，MNAB2MA1222，代入計(jì)算得d1.113，當(dāng)q（2）a11a1q10，令f(q)，q1.f(q)，令f(q)0得q0，f(q)在(1,)單調(diào)遞減，在(,)單調(diào)此時(shí)a116，a220，a325．a(chǎn)3不是偶數(shù)，所以a4A5.4nA(n5).（1）設(shè)A(4t2,4t)，t0，則|AB|2(4t21)2(4t4)216t424t232t17.設(shè)f(t)16t424t232t17，f(t)16(4t33t2)16(2t1)(2t2t2).因?yàn)?t2t22(t)20，所以令f(t)0得t0，f(t)在(,)單調(diào)遞減，在(,)單調(diào)遞增，故f(t)的最小值為f()8，|AB|的最小值為22.43（2）由題可知tan43 |t|t2 2 2；4343；綜上，tan經(jīng)ACB的取值范圍是[,)u(,]. 2 2（1）f,(x)=1x，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t))處切線l的斜率為1t.tetettt故曲線y=f(x)平行于直線y=x+2的切線只有一條，即在(0,0)處的切線y=x.（2）因?yàn)間(x)=g(x+2π)，所以g(x)的一個(gè)周期是2π.,sinxcosxcosxsinxsinx+cosxsinx+cosxg(x)=ecosxesinx=(ecosxesinx)e=e[f(c而esinx+cosx>0