第7講循環(huán)群和置換群

Lagrange定理Lagrange定理：|G|=|H|[G:H]證明：令G的不同的陪集為Ha1,Ha2,…,Har,|G|=|Ha1|+|Ha2|+…+|Har|=|H|r=|H|[G:H]2024/5/71Lagrange定理推論推論(1)群的元素的階是群的階的因子.證明：構(gòu)造子群<a>，|<a>|=|a|.(2)素?cái)?shù)階群一定是交換群（實(shí)際上是循環(huán)群）.證明：|G|=p,p>1,存在非單位元a,|a|的階是p的因子，只能是|a|=p.故G=<a>.2024/5/72循環(huán)群定義10.7:設(shè)G是群，若在G中存在一個(gè)元素a,使得G中的任意元素都是a的冪，則稱該群為循環(huán)群，元素a為循環(huán)群G的生成元。記G=<a>.2024/5/732024/5/74例10.14(1-3)(1)<Z,+>整數(shù)加群,1,-1都是生成元(2)<Zp,+p>模p整數(shù)加群除0外，每個(gè)元都是生成元(3)<Zn,+n>模n整數(shù)加群與n互素的元都是生成元

生成元不唯一2024/5/742024/5/75例10.14(4-6)(4)<Mn(R),+>n階實(shí)矩陣加群(5)<Mn(R),

>n階實(shí)可逆矩陣乘法群；(6)集合A={1,2,3}上所有的雙射函數(shù)關(guān)于映射復(fù)合構(gòu)成群S3={f1,f2,f3,f4,f5,f6}，H1={f1,f2}H2={f1,f5,f6}f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}f6={<1,3>,<3,2>,<2,1>}2024/5/75循環(huán)群必是阿貝爾群性質(zhì):任何一個(gè)循環(huán)群必為阿貝爾群。

證：設(shè)G為一個(gè)循環(huán)群，其生成元為a,則x,y∈G，必r,s∈Z,s.t.x=ar,y=as

而且，x*y=ar*as=ar+s=as+r=as+ar=y*x

因此，G為一阿貝爾群2024/5/76階數(shù)有限群G的階數(shù)——集合G的元素個(gè)數(shù).群G的階數(shù)記作|G|=n

元素a的階數(shù)——r是使ar=e成立的最小正整數(shù),此時(shí)稱r為元素a的階.2024/5/77循環(huán)群分類生成元的階無限，則G為無限循環(huán)群生成元a為n階元，則G={e,a,a2,?,an?1}為n階循環(huán)群，循環(huán)群的階和生成元的階相等。實(shí)例<Z,+>為無限循環(huán)群<Zn,+n>為n階循環(huán)群2024/5/78循環(huán)群的生成元定理10.11G=<a>是循環(huán)群(1)若G是無限循環(huán)群，則G的生成元是a和a?1;(2)若G是n階循環(huán)群，則G有

(n)個(gè)生成元，當(dāng)n=1時(shí)G=<e>的生成元為e；當(dāng)n>1時(shí),?r(r∈Z+∧r<n),ar

是G的生成元?(n,r)=1.2024/5/79Euler函數(shù)Eulerφ函數(shù)φ(n)：當(dāng)n＝1時(shí)，φ(1)＝1；當(dāng)n>1時(shí)，它的值φ(n)等于比n小而與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。考慮群(Zn*,×)，Zn*

是Zn中所有可逆元組成的集合，則|Zn*|=φ(n)2024/5/7102024/5/711例10.14(1-3)(1)<Z,+>整數(shù)加群,1,-1都是生成元(2)<Zp,+p>模p整數(shù)加群除0外，每個(gè)元都是生成元(3)<Zn,+n>模n整數(shù)加群與n互素的元都是生成元

生成元不唯一2024/5/711證明思路：(1)證明a?1

是生成元證明若存在生成元b，則b=a或a?1.(2)只需證明(r,n)=1,則ar

是生成元反之，若ar

是生成元，則(r,n)=1.2024/5/712證明2024/5/713循環(huán)群的子群定理10.12

G=<a>是循環(huán)群，那么(1)G的子群也是循環(huán)群(2)若G是無限階，則G的子群除{e}外也是無限階(3)若G是n階的，則對(duì)于n的每個(gè)正因子d,在G中有且僅有一個(gè)d階子群.2024/5/714證明思路：(1)子群H中最小正方冪元am

為H的生成元(2)若子群H=<am>有限，a≠e,則推出|a|有限.(3)<an/d>是d階子群，然后證明唯一性.2024/5/715證明2024/5/716證明(續(xù))2024/5/717例10.16G=<a>為r階循環(huán)群，證明|at|=r/(t,r)證：令|at|=s,(t,r)=d?t=dp,r=dq?r/(t,r)=r/d=q只要證s=q(at)q

=(at)r/d

=(ar)t/d=ep

=e

s|q(at)s=e?ats=e?r|ts?q|ps

q|s（p,q互素）2024/5/718實(shí)例(1)<Z12,⊕>,求生成元、子群.生成元為與12互質(zhì)的數(shù)：1,5,7,1112的正因子為1,2,3,4,6,12，子群：<0>,<1>,<2>,<3>,<4>,<6>(2)G=<a2>為12階群，求生成元和子群.生成元為a2,a10,a14,a22G的子群：<e>,<a2>,<a4>,<a6>,<a8>,<a12>2024/5/719實(shí)例(3)<a>為無限循環(huán)群，求生成元和子群.生成元為a,a?1；子群為<ai>，i=0,1,2,…；(4)G=<Z,+>，求生成元和子群.生成元：1,?1;子群nZ,n=0,1,…,2024/5/720置換定義：設(shè)A是一個(gè)非空有限集合，從集合A到A的一個(gè)雙射稱為A的一個(gè)置換A上的n元置換：|A|=n時(shí)A上的一一變換置換的表示法：令A(yù)={1,2,…,n},2024/5/7212024/5/7例10.14(6)(6)集合A={1,2,3}上所有的雙射函數(shù)關(guān)于映射復(fù)合構(gòu)成群S3={f1,f2,f3,f4,f5,f6}，f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}f6={<1,3>,<3,2>,<2,1>}2024/5/722置換舉例eg:A={1,2,3,4}

f:A

A

1

2

23

34

41

則f1,f2,f3,

f4

2024/5/723置換的表示法2-k階輪換輪換:(i1

i2…ik)不交輪換的分解式：σ

=τ1τ2…τt,其中τ1,τ2,…,τt,為不交輪換(1234),(13)(24),(1432),(1)2024/5/724置換的表示法2(132)(5648)2024/5/725n元置換的輪換表示性質(zhì)：

任何n元置換都可以表成不交的輪換之積，并且表法是唯一的.

=

1

2…

t

=

1

2…

l

{

1,

2,…,

t}={

1,

2,…,

l}2024/5/726置換的表示法3對(duì)換分解式：對(duì)換(ij)=(ji)(i1

i2…ik)=(i1

i2)…(i1

ik-1)(i1

ik)(12)(13)(14),(13)(24),(14)(13)(12),(1)2024/5/727置換的表示法3(132)(5648)=(13)(12)(56)(54)(58)2024/5/728n元置換的對(duì)換表示任意輪換都可以表成對(duì)換之積對(duì)換可以有交表法不唯一，但是對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性不變2024/5/729奇置換、偶置換奇置換：表成奇數(shù)個(gè)對(duì)換之積偶置換：表成偶數(shù)個(gè)對(duì)換之積奇置換與偶置換之間存在一一對(duì)應(yīng)，因此各有n!/2個(gè)

2024/5/730置換的乘法與求逆置換的乘法：函數(shù)的復(fù)合例如：8元置換

=(132)(5648)，

=(18246573),則

=(15728)(3)(4)(6)=(15728)置換求逆：求反函數(shù)

=(132)(5648)，

-1=(8465)(231),

2024/5/731對(duì)稱群、置換群、交錯(cuò)群令Sn為{1,2,…,n}上所有n元置換的集合.Sn關(guān)于置換乘法構(gòu)成群，稱為n元對(duì)稱群.Sn的子群稱為n元置換群.所以偶置換的集合做成Sn的子群稱為n元交錯(cuò)群An.

例3元對(duì)稱群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}3元交錯(cuò)群A3={(1),(123),(132)}2024/5/732置換群舉例eg:A={1,2,3,4}

f:A

A

1

2

23

34

41

則f1,f2,f3,

f4

對(duì)f復(fù)合做成一個(gè)置換群.(1234),(13)(24),(1432),(1)2024/5/733置換群中元素的階元素的階k階輪換(i1

i2…ik)的階為kσ=τ1τ2…τl

是不交輪換的分解式，則|σ|=[|τ1|,|τ2|,…,|τl|]2024/5/734置換群子群{(1)},Sn，n元交錯(cuò)群An2元子群,……2024/5/735置換群子群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}子群6個(gè)<(1)>,S3,<(12)>,<(13)>,<(23)>,A3=<(123)>2024/5/736置換群子群S4={(1),(12),(13),(14),(23)