專題16 直角三角形綜合檢測(cè)過關(guān)卷（解析版）

專題16直角三角形綜合檢測(cè)過關(guān)卷（考試時(shí)間：90分鐘，試卷滿分：100分）一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列各組線段中的三個(gè)長(zhǎng)度：①9，12，15；②5，12，13；③32，42，52；④1，2，3，其中可以構(gòu)成直角三角形的有（）A．4組 B．3組 C．2組 D．1組【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理知，當(dāng)三角形的三邊關(guān)系為：a2+b2＝c2時(shí)，它是直角三角形，由此可解出本題．【解答】解：①92+122＝152，故可以構(gòu)成直角三角形；②52+122＝132，故可以構(gòu)成直角三角形；③（32）2+（42）2≠（52）2，故不可以構(gòu)成直角三角形；④12+（3）2＝22，故可以構(gòu)成直角三角形；綜上，符合題意的有3組，故選：B．2．（3分）滿足下列條件中的△ABC，不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)2＝b2﹣c2 B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a(chǎn)：b：c＝7：24：25【答案】C【分析】欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長(zhǎng)，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【解答】解：A、a2+c2＝b2，能構(gòu)成直角三角形，故正確；B、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠A為90度，能構(gòu)成直角三角形，故正確；C、根據(jù)內(nèi)角和定理求出三個(gè)角分別為：45°，60°，75°，不能構(gòu)成直角三角形，故錯(cuò)誤；D、有a2+b2＝c2，能構(gòu)成直角三角形，故正確．故選：C．3．（3分）如圖，在等腰直角△ABC中，AD為斜邊上的高，以D為端點(diǎn)任作兩條互相垂直的射線與兩腰相交于E、F，連接EF與AD相交于G，則∠AED與∠AGF的關(guān)系為（）A．∠AED＞∠AGF B．∠AED＝∠AGF C．∠AED＜∠AGF D．不能確定【答案】B【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAD＝∠FED＝45°，從而再利用外角的性質(zhì)可得出∠AED與∠AGF的關(guān)系．【解答】解：根據(jù)△ABC為等腰三角形，DE⊥DF．∵DC＝AD，∴∠C＝∠EAD＝45°，∴∠ADE＝∠CDF，在△AED與△CFD中，∠ADE=∠CDFAD=CD∴△AED≌△CFD（ASA），∴DE＝DF，∴∠FED＝45°，∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝45°+∠AEF，∠AGF＝∠BAD+∠AEF＝45°+∠AEF，∴∠AED＝∠AGF．故選：B．4．（3分）下列各組線段，能組成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2 B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝5 C．a(chǎn)＝2，b＝4，c＝5 D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個(gè)就是直角三角形．【解答】解：A、∵12+22≠22，∴該三角形不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵22+32≠52，∴該三角形不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵22+42≠52，∴該三角形不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵32+42＝52，∴該三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．（3分）如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（）米．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹尖進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【解答】解：兩棵樹的高度差為8﹣2＝6m，間距為8m，根據(jù)勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離=82+故選：C．6．（3分）如圖，在4×4的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B為格點(diǎn)，另取一格點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，以及直角三角形的定義即可求解．【解答】解：如圖所示，共有6個(gè)格點(diǎn)使△ABC為直角三角形．故選：B．7．（3分）下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，11 D．5，12，23【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理逆定理：a2+b2＝c2，將各個(gè)選項(xiàng)逐一代數(shù)計(jì)算即可得出答案．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能構(gòu)成直角三角形，故A錯(cuò)誤；B、∵12+12=22，∴能構(gòu)成直角三角形，故C、∵62+82≠112，∴不能構(gòu)成直角三角形，故C錯(cuò)誤；D、∵52+122≠232，∴不能構(gòu)成直角三角形，故D錯(cuò)誤．故選：B．8．（3分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝32，b＝42，c＝52 B．a(chǎn)：b：c＝5：12：13 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷選項(xiàng)B、C、D是否符合題意，根據(jù)三角形內(nèi)角和，可以判斷選項(xiàng)B是否符合題意，本題得以解決．【解答】解：a＝32，b＝42，c＝52，則a2+b2≠c2，故選項(xiàng)A符合題意；當(dāng)a：b：c＝5：12：13時(shí)，設(shè)a＝5x，b＝12x，c＝13x，則a2+b2＝（5x）2+（12x）2＝c2，故選項(xiàng)B不符合題意；由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故選項(xiàng)C不符合題意；由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．9．（3分）下列各組中的三條線段，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．2，3，2 D．8【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、32+42＝52，能構(gòu)成直角三角形，符合題意；B、42+52≠62，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；C、22+（3）2≠22，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；D、82+152≠162，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意．故選：A．10．（3分）圖中的四邊形均為正方形，三角形為直角三角形，最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則圖中A、B兩個(gè)正方形的面積之和為（）A．28cm2 B．42cm2 C．49cm2 D．63cm2【答案】C【分析】根據(jù)正方形的面積公式，運(yùn)用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：2個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積．【解答】解：由圖形可知2個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積，故正方形A，B的面積之和＝49cm2．故選：C．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）如圖，點(diǎn)A、B、C分別在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格圖頂點(diǎn)，則∠ABC＝45°．【答案】45°．【分析】連接AC，利用勾股定理可分別求得AC、BC、AB的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理可判定△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，由AC＝BC即可求解．【解答】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為1，∴AC=12+22=5∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，故答案為：45°．12．（3分）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交最上方的網(wǎng)格線于點(diǎn)N，則MN的長(zhǎng)是4-7【答案】4-7【分析】連接AN，則AN＝AB＝4，在Rt△ACN中，利用勾股定理求出CN即可得出答案．【解答】解：如圖，連接AN，由題意知：AN＝AB＝4，在Rt△ACN中，由勾股定理得：CN=4∴MN=CM-CN=4-7故答案為：4-713．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若AD＝6，則CP的長(zhǎng)為3．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A＝30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出DE，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD＝DE，根據(jù)角平分線的定義求出∠CBD＝30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝90°﹣60°＝30°，∴DE=12AD=12又∵BD平分∠ABC，∴CD＝DE＝3，∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝2×3＝6，∵P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，∴CP=12BD=12故答案為：3．14．（3分）如圖，小霞將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端12米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約6米，則滑輪到地面的高度為9米．【答案】9．【分析】設(shè)滑輪到地面的高度為x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)滑輪到地面的高度為x米，根據(jù)勾股定理，得x2+122＝（x+6）2，解得：x＝9；答：滑輪到地面的高度為9米．故答案為：9．15．（3分）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形構(gòu)成的大正方形，若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則小正方形的面積為1或4．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】分兩種情況：①5為斜邊時(shí)，由勾股定理求出另一直角邊長(zhǎng)為4，小正方形的邊長(zhǎng)＝4﹣3＝1，即可得出小正方形的面積；②3和5為兩條直角邊長(zhǎng)時(shí)，求出小正方形的邊長(zhǎng)＝2，即可得出小正方形的面積；即可得出結(jié)果．【解答】解：分兩種情況：①5為斜邊時(shí)，由勾股定理得：另一直角邊長(zhǎng)=52∴小正方形的邊長(zhǎng)＝4﹣3＝1，∴小正方形的面積＝12＝1；②3和5為兩條直角邊長(zhǎng)時(shí)，小正方形的邊長(zhǎng)＝5﹣3＝2，∴小正方形的面積22＝4；綜上所述：小正方形的面積為1或4；故答案為：1或4．三．解答題（共8小題，滿分55分）16．（6分）如圖，長(zhǎng)13m的梯子靠在墻上，梯子的底部離墻角5m，求梯子的頂端離地面的距離AB的值．【答案】梯子的頂端離地面的距離AB的值為12m．【分析】直接根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝5m，AC＝13m，∴AB=AC2-B答：梯子的頂端離地面的距離AB的值為12m．17．（6分）已知a，b，c滿足|a﹣36|+（1）a36；b＝7；c＝5；（2）判斷以a，b，c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，此三角形是什么三角形？并求出三角形的面積；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到方程，解方程即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理判斷即可．【解答】解：（1）∵a、b、c滿足滿足|a﹣36|+b-7∴a﹣36=0，b-7=0解得：a＝36，b＝7，c=5（2）∵7＜36＜8，2＜5∴b+c＞a，∴能構(gòu)成三角形，又∵a2＝54，b2+c2＝54＝a2，∴此三角形是直角三角形，面積S=12bc18．（7分）長(zhǎng)清的園博園廣場(chǎng)視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場(chǎng)所，某校七年級(jí)（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得水平距離BD的長(zhǎng)為15米；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．（1）求風(fēng)箏的垂直高度CE；（2）如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】（1）21.6米；（2）8米．【分析】（1）利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，再加上DE的長(zhǎng)度，即可求出CE的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，所以，CD＝20（負(fù)值舍去），所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），答：風(fēng)箏的高度CE為21.6米；（2）由題意得，CM＝12米，∴DM＝8米，∴BM=DM2∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），∴他應(yīng)該往回收線8米．19．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝23，BC＝4，AC＝27．（1）求證：AB⊥BC：（2）如果CA平分∠BCD，且∠D＝30°，求△ACD的面積．【答案】（1）證明過程見解答；（2）△ACD的面積為103．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，從而可得∠ABC＝90°，即可解答；（2）過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，先利用角平分線的性質(zhì)可得AB＝AE＝23，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，再在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出DE的長(zhǎng)，從而求出CD的長(zhǎng)，最后利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】（1）證明：∵AB＝23，BC＝4，AC＝27．∴AB2+BC2＝（23）2+42＝28，AC2＝（27）2＝28，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC；（2）解：過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，∵CA平分∠BCD，AE⊥CD，AB⊥CB，∴AB＝AE＝23，在Rt△ACE中，AC＝27，∴CE=AC在Rt△ADE中，∠D＝30°，∴DE=3AE＝6∴CD＝CE+DE＝10，∴△ACD的面積=12CD?AE=12×10×∴△ACD的面積為103．20．（6分）如圖，在△ABC中，AB的中垂線DE交AC，AB于點(diǎn)D，E，AD2﹣DC2＝BC2．若AD＝10，CD＝6，求BC的長(zhǎng)．【答案】BC＝8．【分析】直接把AD＝10，CD＝6代入到AD2﹣DC2＝BC2進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵AD2﹣DC2＝BC2，AD＝10，CD＝6，∴BC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8．21．（8分）筆直的河流一側(cè)有一旅游地C，河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)A，B，其中AB＝BC，由于某種原因，由C到B的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測(cè)得AC=5千米，CH＝2千米，AH＝1（1）判斷△BCH的形狀，并說明理由；（2）求原路線BC的長(zhǎng)．【答案】（1）△BCH是直角三角形，理由見解析（2）BC=5【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理列方程解答即可．【解答】解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△ACH中，∵CH2+AH2＝22+12＝5，AC∴CH2+AH2＝AC2，∴△ACH是直角三角形且∠CHA＝90°，∴∠CHB＝90°，∴△BCH是直角三角形；（2）設(shè)BC＝x，則BH＝x﹣1，∴CH2+BH2＝BC2，即22+（x﹣1）2＝x2，解得x=5即BC=522．（7分）如圖，圖中數(shù)字代表正方形的面積，∠ACB＝120°，求正方形P的面積．（提示：直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】作AD⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于D，求出CD=12AC＝1，AD=3【解答】解：如圖，作AD⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于D，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝60°，∠DAC＝30°；∴CD=12AC＝∴AD=3在直角三角形ADB中，BD＝BC+CD＝3+1＝4，AD=3根據(jù)勾股定理得：AB2＝AD2+BD2＝3+16＝19；∴正方形P的面積＝AB2＝19．23．（8分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝6cm，點(diǎn)M，N是邊BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿著BC以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿著CB以每秒2cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝1時(shí)，求△AMN的面積；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，∠MAN＝60°．【答案】（1）332cm（2）t＝3-3或3【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AH的長(zhǎng)，再根據(jù)△AMN的面積=1（2）①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇之前，∠MAN＝60°，