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河南省焦作市沁陽(yáng)第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},則?U(A∪B)=()A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4}參考答案:D【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【分析】根據(jù)A與B求出兩集合的并集,由全集U,找出不屬于并集的元素,即可求出所求的集合.【解答】解:∵A={1,2},B={2,3},∴A∪B={1,2,3},∵全集U={1,2,3,4},∴?U(A∪B)={4}.故選D2.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象
(
)
A.向左平移個(gè)單位
B.向右平移個(gè)單位
C.向右平移個(gè)單位
D.向左平移個(gè)單位參考答案:D略3.已知且,若函數(shù)過(guò)點(diǎn),則的最小值為(
)A、
B、
C、
D、參考答案:A4.來(lái)自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人,剛好碰在一起,他們除懂本國(guó)語(yǔ)言外,每天還會(huì)說(shuō)其他三國(guó)語(yǔ)言的一種,有一種語(yǔ)言是三人都會(huì)說(shuō)的,但沒(méi)有一種語(yǔ)言人人都懂,現(xiàn)知道:①甲是日本人,丁不會(huì)說(shuō)日語(yǔ),但他倆都能自由交談;②四人中沒(méi)有一個(gè)人既能用日語(yǔ)交談,又能用法語(yǔ)交談;③甲、乙、丙、丁交談時(shí),找不到共同語(yǔ)言溝通;④乙不會(huì)說(shuō)英語(yǔ),當(dāng)甲與丙交談時(shí),他都能做翻譯.針對(duì)他們懂的語(yǔ)言正確的推理是()A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英參考答案:A【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.【分析】根據(jù)題干逐一驗(yàn)證即可【解答】解:此題可直接用觀察選項(xiàng)法得出正確答案,根據(jù)第二條規(guī)則,日語(yǔ)和法語(yǔ)不能同時(shí)由一個(gè)人說(shuō),所以B、C、D都錯(cuò)誤,只有A正確,再將A代入題干驗(yàn)證,可知符合條件.故選A5.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為,且滿足(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則(
)A.1
B.-1
C.-e
D.-e-1參考答案:D6.設(shè),那么(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A7.已知a>0,且a≠1,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(
)
A.1 B.2 C.3 D.與a有關(guān)參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn);指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)
B5
B6
B9【答案解析】B解析:由,得,設(shè),這是一個(gè)指數(shù)函數(shù),,這是一個(gè)二次函數(shù),其對(duì)稱(chēng)軸為,開(kāi)口向下,最大值為,與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,當(dāng)時(shí),作出兩個(gè)函數(shù)的圖像(如圖中的紅線部分),顯然此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),作出兩個(gè)函數(shù)的圖像(如圖中的黑線部分),顯然此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖像也有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);綜上,函數(shù)恒有兩個(gè)零點(diǎn),故選:B【思路點(diǎn)撥】把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的交點(diǎn),在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合法觀察兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的情況即可。因?yàn)榈闹挡欢ǎ室诸?lèi)討論。8.實(shí)數(shù)的最大值為
(
)
A.—1
B.0
C.2
D.4參考答案:答案:D9.已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an},滿足a72﹣a3﹣a11=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b6b8=()A.2 B.4 C.8 D.16參考答案:B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì).【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件,得到關(guān)于a7的方程,求出方程的解得到a7的值,即得到b7的值,把所求的式子利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn),將b7的值代入求出值.【解答】解:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得:a3+a11=2a7,a72﹣a3﹣a11=0變?yōu)椋篴72=2a7,解得a7=2,a7=0(舍去),所以b7=a7=2,因?yàn)閿?shù)列{bn}是等比數(shù)列,所以b6b8=a72=4,故選:B.10.已知向量為單位向量,且,則的值為(
)A.1
B.2
C.
3
D.參考答案:A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù),則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________.參考答案:3令,解得,令,解得,所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3,
12.已知函數(shù)f(x)=|x+1|,若f(a)=2a,則a=
.參考答案:113.《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作,約成書(shū)于四、五世紀(jì),傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷,其中下卷“物不知數(shù)”中有如下問(wèn)題:“今有物,不知其數(shù).三三數(shù)之,剩二;五五數(shù)之,剩三;七七數(shù)之,剩二.問(wèn):物幾何?”其意思為:“現(xiàn)有一堆物品,不知它的數(shù)目.3個(gè)3個(gè)數(shù),剩2個(gè);5個(gè)5個(gè)數(shù),剩3個(gè);7個(gè)7個(gè)數(shù),剩2個(gè).問(wèn)這堆物品共有多少個(gè)?”試計(jì)算這堆物品至少有
個(gè).參考答案:2314.命題“x∈R,x2-2ax+1>0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______參考答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)由題意,命題,是假命題,可得出二次函數(shù)與軸有交點(diǎn),又由二次函數(shù)的性質(zhì),可得即,解得或.
15.設(shè)點(diǎn)M是橢圓上的點(diǎn),以點(diǎn)M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點(diǎn)F,圓M與y軸相交于不同的兩點(diǎn)P、Q,若為銳角三角形,則橢圓的離心率的取值范圍為
.參考答案:
16.已知直線l:y=kx+4(k≠±4)交雙曲線C:x2﹣=1于A,B兩點(diǎn),交x軸于Q,交y軸于P,若,且,則k2=
.參考答案:4【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】設(shè)及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),求得P,Q的坐標(biāo),利用,找到λ1和λ2與A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線l的斜率的關(guān)系,再利用A、B兩點(diǎn)是直線和雙曲線的交點(diǎn)以及λ1+λ2=﹣,聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和代入法,化簡(jiǎn)整理,即可求出直線l的k2.【解答】解:l的方程:y=kx+4(k≠±4,且k≠0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則Q(﹣,0),P(0,4),∵,∴(﹣,﹣4)=λ1(x1+,y1)=λ2(x2+,y2),∴λ1==﹣,同理λ2=﹣,所以λ1+λ2=﹣﹣=﹣.即2k2x1x2+5k(x1+x2)+8=0.(*)又y=kx+4以及x2﹣=1,消去y得(3﹣k2)x2﹣8kx﹣19=0.當(dāng)3﹣k2=0時(shí),則直線l與雙曲線得漸近線平行,不合題意,3﹣k2≠0.由韋達(dá)定理有:x1+x2=,x1x2=﹣,代入(*)式得,2k2(﹣)+5k()+8=0,解得k2=4,故答案為:4.17.已知函數(shù)f(x)=x(x-c)3在點(diǎn)x=2處有極小值,則常數(shù)c的值為_(kāi)_______
.參考答案:8∵f′(x)=(x-c)3+3x(x-c)2,
∴f′(2)=(2-c)3+6(2-c)2=0,解得c=2或c=8.
①當(dāng)c=2時(shí),f(x)=x(x-2)3,f′(x)=(x-2)2(4x-2).而x>時(shí),f′(x)≥0總成立,故f(x)在x=2處沒(méi)有取得極小值.②當(dāng)c=8時(shí),f(x)=x(x-8)3,f′(x)=(x-8)2(4x-8).當(dāng)x<2時(shí),f′(x)<0,x>2時(shí),f′(x)>0,
故x=2為f(x)的極小值點(diǎn),故c=8符合題意.
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)().(1)若函數(shù)上帶你處的切線過(guò)點(diǎn)(0,2),求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(2)若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn),求a的最小值.參考答案:(1)∵,∴,∴,又,∴,解得,由,得,∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn),則在上或恒成立,因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立不可能,故要使函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn),只要對(duì)任意的,恒成立,即對(duì),恒成立.令,,則,再令,,則,故在上為減函數(shù),于是,從而,于是在上為增函數(shù),所以,故要使,恒成立,只要,綜上,若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn),則的最小值為.19.已知數(shù)列滿足:(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案:【答案解析】(1)(2).解析:(1)由,得.所以,成等比,公比,首項(xiàng). ┅4分所以,,即. ┅8分(2), ┅10分所以,數(shù)列的前項(xiàng)和 ┅12分. ┅14分【思路點(diǎn)撥】(1)構(gòu)造新數(shù)列,可得數(shù)列是等比數(shù)列,由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可得,它是由兩個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)常數(shù)列的和構(gòu)成的,所以可以用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20.(2017?樂(lè)山二模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N*,若存在實(shí)數(shù)x使得f(x)<2成立.(1)求實(shí)數(shù)m的值;(2)若α,β>1,f(α)+f(β)=6,求證:.參考答案:【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法;絕對(duì)值三角不等式.【分析】(1)|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|,要使|x﹣m|+|x|<2有解,則|m|<2,m∈N*,解得m;(2)α,β>1,f(α)+f(β)=2α﹣1+2β﹣1=6,可得α+β=4.再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.【解答】解:(1)∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|,∴要使|x﹣m|+|x|<2有解,則|m|<2,解得﹣2<m<2.∵m∈N*,∴m=1.(2)證明:α,β>1,f(α)+f(β)=2α﹣1+2β﹣1=6,∴α+β=4,∴+≥(+)(α+β)=(5++)≥(5+2=,當(dāng)且僅當(dāng)=即α=,β=時(shí)“=”成立,故+≥.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.21.(本小題滿分12分)在直三棱柱中,平面,其垂足落在直線上
(1)求證:。;
(2)若,是的中點(diǎn),求三棱錐的體積。參考答案:解:(1)平面,其垂足落在直線上在直三棱柱中,
………5分(2)
………10分略22.已知:三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長(zhǎng)均為2,平面ABC⊥平面AA1C1C,∠A1AC=60°.(1)求證:B1C⊥平面A1BC1;(2)求二面角B1-A1B-C1的大小;
(3)設(shè)O是線段A1C的中點(diǎn),P是△ABC內(nèi)部及邊界上的一動(dòng)點(diǎn),使OP//平面A1BC1,試指出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圖形是什么?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
參考答案:解析:(1)證明:取A1C1的中點(diǎn)M,連CM、B1M∵三棱柱ABC-A1B1C1∴各棱長(zhǎng)均相等,∠A1AC=60°∴△A1CC1與△A1B1C1都是等邊三角形∴∵平面ABC⊥平面AA1C1C,∴平面A1B1C1⊥平面AA1C1C∴B1M⊥平面AA1C1C,由三垂線定理得:B1C⊥A1C1又∵四邊形BCC1B1是菱形,∴B1C⊥BC1而∴B1C⊥平面A1BC1(2)連AB1與A1B交于G點(diǎn),設(shè)B1C與BC1交于H點(diǎn),連GH,則GH取AC的中點(diǎn)N,連BN,A1N,可證AC⊥A1B∴GH⊥A1B又∵四邊形AA1B1B是菱形∴AB1⊥A1B∴∠B1GH就是所求二面角的平面角由(1)知A1C1⊥B1C∴GH⊥B1C設(shè)A1C1=a,則∴即所求二面角的大小為(3)取AB的中點(diǎn)F,BC的中點(diǎn)K,連OF,OK,連AC1必過(guò)O點(diǎn),且O為AC1的中點(diǎn),則OF//BC1∴OF//平面A1BC1∵∴平面OFK//平面A1BC1在線段FK上(含端點(diǎn))任取一點(diǎn)P,連OP,
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