廣東省梅州市陂東中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省梅州市陂東中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，函數(shù)的圖象只可能是（

）

參考答案：B2.下列四個(gè)圖象中，不是函數(shù)圖象的是(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【專題】規(guī)律型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，在y是x的函數(shù)中，x確定一個(gè)值，y就隨之確定唯一一個(gè)值，體現(xiàn)在函數(shù)的圖象上的特征是，圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)，從而對照選項(xiàng)即可得出答案．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的定義知：y是x的函數(shù)中，x確定一個(gè)值，y就隨之確定一個(gè)值，體現(xiàn)在圖象上，圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)，對照選項(xiàng)，可知只有B不符合此條件．故選B．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的圖象，正確理解函數(shù)的定義是關(guān)鍵．3.若函數(shù)．若是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，則的取值范圍是

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略4.已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，若，則△ABC的形狀為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等邊三角形參考答案：A【分析】由已知結(jié)合正弦定理可得利用三角形的內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式可得，整理可得從而有結(jié)合三角形的性質(zhì)可求【詳解】解：是的一個(gè)內(nèi)角，，由正弦定理可得，又，，即為鈍角，故選：A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形的內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)試題．5.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則下列一定成立的是（▲）A.若,則

B.若,則C.若,則

D.若.則參考答案：C略6.設(shè)函數(shù)f（x）=，則f（f（3））=(

)A． B．3 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】計(jì)算題．【分析】由條件求出f（3）=，結(jié)合函數(shù)解析式求出f（f（3））=f（）=+1，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：函數(shù)f（x）=，則f（3）=，∴f（f（3））=f（）=+1=，故選D．【點(diǎn)評】本題主要考查利用分段函數(shù)求函數(shù)的值的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出f（3）=，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

()A．a(chǎn)>1，b<0

B．0<a<1，b>0C．a(chǎn)>1，b>0

D．0<a<1，b<0參考答案：D8.一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖12－14所示，則這個(gè)空間幾何體的表面積是()A．4π

B．4π＋4

C．5π

D．6π圖12－14

參考答案：B9.（5分）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（） A． f（x）=2sin（2x+） B． f（x）=2sin（x+） C． f（x）=2sin（2x+） D． f（x）=2sin（x+）參考答案：B考點(diǎn)： 正弦函數(shù)的圖象．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 根據(jù)圖象確定A，ω和φ的值即可求函數(shù)的解析式解答： 由圖象知函數(shù)的最大值為2，即A=2，函數(shù)的周期T=4（）=2，解得ω=1，即f（x）=2sin（x+φ），由五點(diǎn)對應(yīng)法知+φ=π，解得φ=，故f（x）=2sin（x+），故選：B點(diǎn)評： 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，根據(jù)條件確定A，ω和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．要要求熟練掌握五點(diǎn)對應(yīng)法．10.已知函數(shù)，則的值為（

）A．

B．

C．

D．1參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為，其中x為銷售量（單位：輛）．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為

萬元． 參考答案：45.6【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】先根據(jù)題意，設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售（15﹣x）輛，再列出總利潤S的表達(dá)式，是一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)，最后求此二次函數(shù)的最大值即可． 【解答】解：依題意，可設(shè)甲銷售x（x≥0）輛，則乙銷售（15﹣x）輛， ∴總利潤S=5.06x﹣0.15x2+2（15﹣x）=﹣0.15x2+3.06x+30=﹣0.15（x﹣10.2）2+45.606． 根據(jù)二次函數(shù)圖象和x∈N*，可知當(dāng)x=10時(shí)，獲得最大利潤L=﹣0.15×102+3.06×10+30=45.6萬元． 故答案為：45.6． 【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用配方法求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)建函數(shù)解析式． 12.函數(shù)的定義域?yàn)?---

.參考答案：13.在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，則AC=

參考答案：略14.（5分）無論實(shí)數(shù)a，b（ab≠0）取何值，直線ax+by+2a﹣3b=0恒過定點(diǎn)

．參考答案：（﹣2，3）考點(diǎn)： 恒過定點(diǎn)的直線．專題： 直線與圓．分析： 把已知直線變形為，然后求解兩直線x+2=0和y﹣3=0的交點(diǎn)得答案．解答： 由ax+by+2a﹣3b=0，得a（x+2）+b（y﹣3）=0，即，聯(lián)立，解得．∴直線ax+by+2a﹣3b=0恒過定點(diǎn)（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．點(diǎn)評： 本題考查了直線系方程，關(guān)鍵是掌握該類問題的求解方法，是基礎(chǔ)題．15.已知定義在上的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且，則

.參考答案：設(shè)，令，則由題意得：，即；再令，則由題意得：，即，，∵函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)，解得：，即16.某校高中部有三個(gè)年級，其中高三有學(xué)生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為185的樣本，已知在高一年級抽取了75人，高二年級抽取了60人，則高中部共有_

__學(xué)生。參考答案：370017.（5分）已知a＞0且a≠1，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)P，若P在冪函數(shù)f（x）的圖象上，則f（8）=

．參考答案：考點(diǎn)： 對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 利用loga1=0（a＞0且a≠1），即可得出函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)P，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入冪函數(shù)f（x）=xα即可得出．解答： 當(dāng)x=2時(shí)，y==（a＞0且a≠1），∴函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)P．設(shè)冪函數(shù)f（x）=xα，∵P在冪函數(shù)f（x）的圖象上，∴，解得．∴f（x）=．∴f（8）=．故答案為：．點(diǎn)評： 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、冪函數(shù)的解析式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知圓，是直線上的動點(diǎn)，、與圓相切，切點(diǎn)分別為點(diǎn)、．

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求切線、的方程；

（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求直線的方程．參考答案：（1）由題意可知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）時(shí)，切線的斜率存在，可設(shè)切線方程為.………1分則圓心到切線的距離，即，， …………3分∴切線、的方程為.

…………5分(2)設(shè)切線、的切點(diǎn)為.∵，則切線的斜率為，

…………6分則切線的方程為.

…………7分化簡為，即∵點(diǎn)在圓上，得 …………8分又∵在切線上，∴① …………9分同理得② …………10分由①②可知直線過點(diǎn)∴直線的方程為 …………12分特別當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)切線的方程為，解得，得切點(diǎn)此時(shí)的方程為上式也成立當(dāng)時(shí)得經(jīng)檢驗(yàn)方程也成立綜上所述直線的方程為 …………14分19.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，Sn=n2+n．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè){}的前n項(xiàng)和為Tn，求證Tn＜1．參考答案：【考點(diǎn)】8K：數(shù)列與不等式的綜合；85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】（1）利用公式an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），得當(dāng)n≥2時(shí)an=2n，再驗(yàn)證n=1時(shí)，a1=2×1=2也適合，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）裂項(xiàng)得=﹣，由此可得前n項(xiàng)和為Tn=1﹣＜1，再結(jié)合∈（0，1），不難得到Tn＜1對于一切正整數(shù)n均成立．【解答】解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．∵n=1時(shí)，a1=2×1=2，也適合∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n．（2）==﹣∴{}的前n項(xiàng)和為Tn=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=∵0＜＜1∴1﹣∈（0，1），即Tn＜1對于一切正整數(shù)n均成立．【點(diǎn)評】本題給出等差數(shù)列模型，求數(shù)列的通項(xiàng)并求前n項(xiàng)和對應(yīng)數(shù)列的倒數(shù)和，著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和、數(shù)列與不等式的綜合等知識，屬于中檔題．20.是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）=cos2x+2asinx+3a﹣1在閉區(qū)間上的最大值為4，若存在，則求出對應(yīng)的a值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】化簡函數(shù)f（x），分a≤﹣1時(shí)，﹣1＜a＜1時(shí)，a≥1時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案．【解答】解：f（x）=cos2x+2asinx+3a﹣1=1﹣sin2x+2asinx+3a﹣1=﹣sin2x+2asinx+3a=﹣（sinx﹣a）2+3a+a2，sinx∈[﹣1，1]，令sinx=t，t∈[﹣1，1]，∴f（t）=﹣（t﹣a）2+3a+a2對稱軸為t=a，當(dāng)a≤﹣1時(shí)，函數(shù)f（t）在[﹣1，1]上是減函數(shù)，∴f（x）max=f（﹣1）=a﹣1=4，解得a=5，舍去當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（t）在[﹣1，a]上為增函數(shù)，在（a，1）上為減函數(shù)，∴f（x）max=f（a）=3a+a2=4，解得a=1或a=﹣4，舍去，當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（t）在[﹣1，1]上是增函數(shù)，∴f（x）max=f（1）=5a﹣1=4，解得a=1，綜上所述，存在實(shí)數(shù)a=1，使函數(shù)f（x）=cos2x+2asinx+3a﹣1在閉區(qū)間上的最大值為421.曲線C是平面內(nèi)到點(diǎn)F（0，1）和直線l：y=4的距離之和等于5的點(diǎn)P的軌跡。（I）試判斷點(diǎn)M（1，2），N（4，4）是否在曲線C上，并說明理由；（II）求曲線C的方程，并畫出其圖形；（III）給定點(diǎn)A（0，a），若在曲線C上恰有三對不同的點(diǎn)，滿足每一對點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對稱，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案：（I）點(diǎn)N在曲線C上；（II）見解析；（III）（，4）【分析】（I）設(shè)，利用題目所給已知條件列方程，并用坐標(biāo)表示出來，由此求得曲線C的軌跡方程.將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入軌跡方程，由此判斷出是否在曲線上.（II）化簡曲線方程為，進(jìn)而畫出曲線圖像.（III）首先考慮過平行于軸的直線，可形成一對關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，且對稱點(diǎn)在同一段拋物線上.當(dāng)對稱點(diǎn)在不同一段的拋物線上時(shí)，設(shè)其中一個(gè)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得其關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入對應(yīng)拋物線的方程，根據(jù)解的個(gè)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】解：（I）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則|PF|+d=5，即.發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M的坐標(biāo)（1，2）不滿足方程，故點(diǎn)M不在曲線C上，而點(diǎn)N的坐標(biāo)（4，4）滿足方程，故點(diǎn)N在曲線C上；（II）由得所以=曲線C如圖所示（III）顯然，過點(diǎn)A與x軸平行的直線與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對稱，且這兩個(gè)點(diǎn)在同一段拋物線上；當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)在同一段拋物線時(shí)，也只有當(dāng)這兩點(diǎn)所在直線與x軸平行，才存在關(guān)于點(diǎn)A對稱的兩點(diǎn)：當(dāng)對稱的兩點(diǎn)分屬兩段拋物線時(shí)，不妨設(shè)其中一個(gè)點(diǎn)為P（x1，y1），其中y1=，且－4≤x1≤4，則其關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為Q（－x1，2a－y）所以2a－y1=－+5即2a=y1－+5=－+5=+5，考慮到直線PQ不與x軸平行，所以－