蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊第3章：勾股定理章節(jié)復(fù)習(xí) 教案

八年級上期中考試重難點(diǎn)分析一勾股定理

考點(diǎn)歸納G

考點(diǎn)1：直角三角形的判斷

考點(diǎn)2：勾股定理的證明

W甜

超

國

m考點(diǎn)7：求指定邊長

斤點(diǎn)8：最短距離問題（最值問題）

殳點(diǎn)9：勾股定理實(shí)際問題分類大全（所有類型）

考點(diǎn)10：勾股定理逆定理的應(yīng)用

考點(diǎn)11:方格紙（無理數(shù)）畫圖問題

考點(diǎn)12：常考題型（噪聲影響問題）

做

收考點(diǎn)13：旋轉(zhuǎn)問題

怒

回考點(diǎn)14：與圓有關(guān)的運(yùn)用含拓展

考點(diǎn)16：拓展題型（動點(diǎn)、兩點(diǎn)之間距離問題）

考點(diǎn)17：需要添加輔助線的題型

勾：直角三角形較短的直角邊；股：直角三角形較長的直角邊；弦：斜邊。

1、勾股定理：

直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2。

2、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形。

3、勾股數(shù)：

滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù)。

若是勾股數(shù)組，則na、nb.nc也是勾股數(shù)組。

4、簡單運(yùn)用：

⑴勾股定理——常用于求邊長、周長、面積；

理解：①已知直角三角形的兩邊求第三邊，并能求出周長、面積。

②用于證明線段平方關(guān)系的問題。

③利用勾股定理，作出長為的線段

⑵勾股定理的逆定理——常用于判斷三角形的形狀；

理解：①確定最大邊（不妨設(shè)為c）;

②若C2=a2+b2,貝SABC是以NC為直角的三角形；

若a2+b2<c2,則此三角形為鈍角三角形（其中C為最大邊）；

若a2+b2>c2,則此三角形為銳角三角形（其中C為最大邊）

考點(diǎn)1:直角三角形的判斷

例1下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（A）

A.5,6,7B.0.7,2.4,2.5C.1,1,2D.1,,3

例2.下列各數(shù)組中，不是勾股數(shù)組的是（人）

A.5,12,13B.9,40,41C.8,12,15D.3,4,5

例3下列各組數(shù)據(jù)分別是三角形的三邊長，其中不能構(gòu)成直角三角形的是（

A.5cm,12cm,13cmB.1cm,1cm,cm

C.1cm,2cm,cmD.cm,2cm,cm

例4判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形.

（1）a=,b=1,c=;（2）a=40,d=50,c=60;（3）a=35,b-12,c=37

例5滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三內(nèi)角之比為1:2:3B.三邊長的平方之比為1:2:3

C.三邊長之比為3:4:5D.三內(nèi)角之比為3:4:5

例6.下列給出的三條線段的長，能組成直角三角形的是

A.1、2、3B.2、3、4C.、、D.5、12、13

例7下列三角形中，可以構(gòu)成直角三角形的有

A.三邊長分別為2,2,3B.三邊長分別為3,3,5

C.三邊長分別為4,5,6D.三邊長分別為1.5,2,2.5

例8下列各組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）

A.1,2,B.1,2,C.3,4,5D.6,8,12

考點(diǎn)2:勾股定理的證明

例1如圖，將R3ABC繞其銳角頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。得到R3ADE,連接BE,延長DE,BC相交于點(diǎn)F,則有

zBFE=90°,且四邊形ACFD是一個正方形.

(1)判斷AABE的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)用含b的代數(shù)式表示四邊形ABFE的面積；

(3)求證:a2+b2=c2.

例2利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱

為弦圖.觀察圖形，驗(yàn)證：〃=#+

例3一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新

的驗(yàn)證方法.如圖，火柴盒的一個側(cè)面力8C。倒下到力夕。夕

的位置，連接CC',設(shè)AB=a,BC=b,AC=c,請利用四邊形BCCD

的面積驗(yàn)證勾股定理：a2+b2=c2.

DC

AaB

考點(diǎn)3:關(guān)于勾股定理幾個重要的圖形(勾股樹、趙爽弦圖)

例1.如圖，Rt^ABC,zABC=90°,以三邊為邊長向外作正方形，64、400分別為所在正方形的面積，則圖

中字母A所代表的正方形面積是

例2.如圖，以RfABC的三邊向外作正方形，若最大正方形的邊長為7cm,以ZC為邊的正方形的面積為

25cm2,則正方形M的面積為上cm2.

例3如圖，在直線/上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別為1,1.21,1.44,正

放置的四個正方形的面積分別為Si,S2,S3,S4,貝1JS1+2s2+2S3+S4=_±

例4、如圖是“趙爽弦圖”，4ABH、^BCG、zCDF和是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和

都是正方形，如果/8=10,EF=2,那么力”等于

A.8B.6C.4D.5

例5.如圖，在RfABC中/B=90°,AC=25,BC=15O,以為直徑的半圓的面積分別為S1,S2,

則S1-S2=

Si

B

例6.如圖，以RT-ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊AB=6,則圖中陰影部分的面積

之和為.

例7.2002年國際數(shù)學(xué)家大會在北京召開，大會選用了趙爽弦圖作為會標(biāo)的中心圖案.如圖，由四個全等的直

角三角形與一個小正方形拼成一個大正方形.如果大正方形的而積是25,直角三角形較長的直角邊長是a,較

短的直角邊長是b,且（a+b）2的值為49,那么小正方形的面積是

A.2B.0.5C.13D.1

例8.如圖，由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的大正方形圖案是某屆國際數(shù)學(xué)大會的會標(biāo)，如

果大正方形的面積為16,小正方形的面積為3,直角三角形的兩直角邊分別為a和b,那么（a+b）2的值為

A.256B.169C.29D.48

例9“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四

個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長

為b,若（a+b）2=21,大正方形的面積為13,則小正方形的面積

為)

A.3B.4

例10.如圖，這個圖案是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，若圖中四

邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，-ABF、-BCG、^CDH、^DAE是四個全等的直角三角形，若

EF=2QE=B,則的長為.

例11.如圖，由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成一個大正方形.如果大正方形的面積是25，小正

方形的面積是1,直角三角形的兩條直角邊的長分別是a和b,那么（a+b）2的值為

A.49B.25C.13D.1

例12.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方

形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是（）

A.13B.26C.47D.94

例13.如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方

形EFGH、正方形MNKT的面積分別為Si、S2>S3.若Si+Sz+S3=15,則S2的值是（）

1515

A.3B.—C.5

4

例14.如圖，則小正方形的面積S=

例15.勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記

載，如圖(a)是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積驗(yàn)證勾股定理圖，(b)是由圖(a)放

入長方形內(nèi)得到的.

NBAC=90。，AB=3,AC=4,點(diǎn)D,E,F,G,H,I都在

長方形KLMJ的邊上，則長方形KIMJ的面積為

A.90B.100C.110D.121

圖1圖2

例16實(shí)踐與探索

(1)小明在玩積木游戲時，把三個正方形積木擺成一定的形狀，俯視圖如圖①，

問題(1):若此中的三角形ADEF為直角三角形，P的面積為9,Q的面積為15,則M的面積為「。

問題(2):若P的面積為36cm2,Q的面積為64cm2同時M的面積為100cm2,則^DEF為,三角形。

(2)圖形變化：I.如圖②，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個半圓，你能找出這三個半圓的

面積之間有什么關(guān)系嗎？請說明理由。

(3)如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長分別為3和4,以直角三角形的三邊為直徑作半圓，你能利用上面

I中的結(jié)論求出陰影部分的面積嗎？陰影部分面積為▲。(直接寫出答案)

例17在&ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積.小華同學(xué)在解答這道題時，

先畫一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1),再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)AABC(即AABC三個頂點(diǎn)都在小

正方形的頂點(diǎn)處)，如圖①所示.這樣不需要求AABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積，這種方法叫

做構(gòu)圖法.

(1)AABC的面積為

(2)若ADEF三邊的長分別為，2,,請?jiān)趫D①的正方形網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的ADEF,并利用構(gòu)圖法求出它的

面積.

(3)利用第(2)小題解題方法完成下題：如圖②，一個六邊形綠化區(qū)ABCDEF被分割成7個部分，其中

正方形ABQP,CDRQ,EFPR的面積分別為13,20,29,且WQR、^BCQ、^DER、^APF的面積相等，

求六邊形綠化區(qū)ABCDEF的面積.

考點(diǎn)4：折紙問題

例1:如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將^ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重

合，折痕為DE,則BE的長為()

A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm

例2：如圖，在三角形紙片ABC中，NC=90°,AC=6,折疊該紙片使點(diǎn)C落在AB邊上的D點(diǎn)處，折痕

BE與AC交與點(diǎn)E,若AD=BD,求折痕BE的長.

例3：如圖，折疊長方形的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的

長.

例4:一張長方形紙片寬AB=8cm,長BC=10cm.現(xiàn)將紙片折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折

痕為AE），求EC的長.

例5、如圖，長方形ABCD中，/DAB=NB=NC=ND=90。，AD=BC=8,AB=CD=17.點(diǎn)E為射線DC上的

一個動點(diǎn)，AADE與AAD'E關(guān)于直線AE對稱，當(dāng)AADB為直角三角形時，DE的長為

例6如圖，動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3,AD=5.折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A處，

折痕為PQ,當(dāng)點(diǎn)A'在BC邊上移動時，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動.若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊

上移動，則點(diǎn)A，在BC邊上可移動的最大距離為.

例7如圖，矩形紙片ABCD中，AB=5cm,BOAQcm,CD上有一點(diǎn)E,EC=2cm,AD上有一點(diǎn)P,

口=6初，過點(diǎn)尸作PFLAD交8c于點(diǎn)F,將紙片折疊，使尸與￡重合，折痕交尸尸于Q,則線段尸Q的

長是___cm.

例8如圖，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,P為AD上一點(diǎn)，將-ABP沿BP翻折至-EBP,PE與CD相

交于點(diǎn)0,且OE=OD,BE與CD交于點(diǎn)G.

⑴求證:AP=DG;

(2)求線段AP的長.

例9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，長方形紙片48。的邊力司。。，點(diǎn)8坐標(biāo)為(8,4),若把圖形按如圖所示

折疊，使8、。兩點(diǎn)重合，折痕為EF.

(1)求證：為等腰三角形；

(2)求折痕守的長.

考點(diǎn)5:面積相關(guān)(等面積法)

例1:AABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)，DELAB于

點(diǎn)E,DF±AC于點(diǎn)F,BN1AC于點(diǎn)N,貝ijDE、DF、BN三者

的數(shù)量關(guān)系為上；

例2：如圖，在R3ABC中，/ACB=90°,CD是高，AC=5,BC=12,求CD的長度。

D

BC

例3在AABC中，NB=90°,兩直角邊AB=7,BC=24,三角形內(nèi)有一點(diǎn)P到各邊的距離相等，則這個距

離是.

考點(diǎn)6:與完全平方公式有關(guān)

例1:若AABC的三邊長a、b、c滿足求c2c2="-炭，試判斷AABC的形狀.

例2:若&ABC的三邊長a、ac滿足a2+/?2+c2+338=10a+24b+26c，試判斷^ABC的形狀.

例3三邊長為a,b,c滿足a+b=10,ab=18,c=8的三角形是什么形狀？

例4:已知lx-12l+lx+y-25l與z2-10z+25互為相反數(shù)，試判斷以x、y、z為三邊的三角形的形狀。

例5:若AABC的三邊長a、久c滿足（a-Z?）（存+〃-c2）=0,則AABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

考點(diǎn)7:求第三邊的長

例1已知直角三角形的兩邊長為3cm、5cm,則它的第三邊長為—上

例2、已知一個R3的兩直角邊長分別為3和4,則第三邊長是上

例3.若直角三角形的兩邊分別是6、8,則第三邊的長是

考點(diǎn)8:最短距離及相關(guān)問題

例1.如圖，一個高16m,底面周長8m的圓柱形水塔，現(xiàn)制造一個螺旋形登梯，為了減小坡度，要求登梯

繞塔環(huán)繞一周半到達(dá)頂端，問登梯至少多長？

例2.如圖，一圓柱高8cm,底面半徑為2cm,一只螞蚊從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程（TT

取3）是（▲）

A.20cmB.10cmC.14cmD.無法確定

例3.如圖，正方形ABCD的邊長是4,/DAC的平分線交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的

動點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值_________.

例4如圖，A村到公路L的距離AB為6km,C村到公路

L的距離CD為2km，且BD的長為6km.現(xiàn)要在公路

上取一點(diǎn)P,使AC+CP的值最小，則這個最小值

為.

A------------------B

D

例5：如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，到河的距離分別為AC=10千米、BD=30千米，且CD

=30千米，現(xiàn)要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬元，請你在河流

CD邊上選擇水廠的位置M,使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用.

B

例6:“數(shù)學(xué)建模”

(1)模型——小馬喝水問題：直線MN表示一條河流的岸，在河流同側(cè)有A、B兩地，小馬從A地出發(fā)到B

地，中間要在河邊飲水一次，請?jiān)趫D①中用直尺和圓規(guī)作出使小馬行走最短路程的飲水點(diǎn)P的位置.(作在

答題紙上，保留作圖痕跡，并用黑水筆將痕跡描深)

(2)運(yùn)用——和最小問題：如圖②，E是邊長為8的正方形ABCD邊BC上一點(diǎn)，CE=2,P是對角線BD上

的一個動點(diǎn)，求PC+PE的最小值.

B

圖①

圖②

例7如圖，長方體的長為15，寬為10,高為20,點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為5,如果一只螞蟻要沿著長方體的

表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,那么它需要爬行的最短距離是（）

A.5B.25

C.15D.35

10

例8如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm,A和B是這個臺階兩相

對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只昆蟲想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到B點(diǎn)的最短路程是分

米。

A20

例9.如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高AB為4cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，

沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程.

例10如圖，一個圓柱形容器的高為1.2m,底面周長為Im.在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點(diǎn)B處有一只

蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁離容器上沿0.3m與蚊子相對的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為

m(容器厚度忽略不計(jì)).

例11.將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中，如圖①~③所示，

設(shè)筷子露在杯子外面的部分的長為h,則h的取值范圍是什么？

考點(diǎn)9:?？嫉墓垂啥ɡ韺?shí)際問題

例1:.(涉及需要添加輔助線)

如圖，有一塊四邊形花圃ABCD,zADC=90°,AD=4m,AB=13m,BC=12m,DC=3m,該花圃的面積為

m2.

例2:梯子問題

如圖，一架10米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子

的頂端沿墻下滑1米

(1)求它的底端滑動多少米？

(2)為了防止梯子下滑，保證安全，小強(qiáng)用一根繩子連結(jié)在墻角C與梯子的中點(diǎn)D處，你認(rèn)為這樣效果如

何？請簡要說明理由。

例3.機(jī)器人問題

如圖所示，OA’OB,OA=45cm,0B=15cm,一機(jī)器人在B處發(fā)現(xiàn)有一個小球自A點(diǎn)出發(fā)沿著A0方向與

速滾向點(diǎn)0,機(jī)器人立即從B處出發(fā)以相同的速度勻速直線前進(jìn)去攔截小球，在點(diǎn)C處截住了小球，求機(jī)

器人行走的路程BC.

例4.航海問題

中日釣魚島爭端持續(xù)，我海監(jiān)船加大釣魚島海域的巡航維權(quán)力度.如圖，OA±OB,04=36海里，06=12

海里，釣魚島位于。點(diǎn)，我國海監(jiān)船在點(diǎn)8處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自4點(diǎn)出發(fā)沿著方向勻速駛

向釣魚島所在地點(diǎn)。，我國海監(jiān)船立即從8處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點(diǎn)。處

截住了漁船.

(1)請用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)求我國海監(jiān)船行駛的航程8c的長.

0A

例5秋千問題

如圖，小穎和她的同學(xué)蕩秋千，秋千AB在靜止位置時，下端B離地面0.6m,蕩秋千到AB的位置時，下

端B距靜止位置的水平距離EB等于2.4m,距地面1.4m,求秋千AB的長.

考點(diǎn)10：勾股定理逆定理的應(yīng)用

例1.如圖，zADC=90°,AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m求這塊地的面積.

例2:如圖是一塊地的平面圖，其中AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,zADC=90°,求這塊地的

面積.

例3:如圖，在四邊形ABCD中，/BAD=NDBC=90°,若AD=4cm,AB=3cm,BC=12cm,求CD的長及

四邊形ABCD的面積

如圖，在AABC中，AB=17,BC=30,BC邊上的中線AD=8,NB與/C相等嗎？為什么？

例4:如圖所示，在四邊形ABCD中，已知：AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且NB=90°,求/DAB的度

數(shù)。

例5如圖所示的一塊地，NADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求這塊地的面積.

例6.如圖，四邊形ABCD中，NB=ND=90°,/A=30°,AB=5,CD=1.,貝ijBC的長為

A.2B.3C.1+D.

例7.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,AD2+CD2=2AB2,CDxAD.

(1)求證：AB1BC

(2)若AB=5CD,AD=21,求四邊形ABCD的周長

考點(diǎn)11：方格紙相關(guān)(無理數(shù)線段)以及畫圖問題

例1：如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1,每個頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).

(1)在圖(1)中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個面積為10的正方形；

(2)在圖(2)中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個三角形，使三角形三邊長分別為2,,;這個三角形的面積為▲

(1)(2)

例2:

(1)如圖1,利用網(wǎng)格線用三角尺畫圖，在2C上找一點(diǎn)尸，使得尸到48、8c的距離相等；

(2)圖2是4x5的方格紙，其中每個小正方形的邊長均為1cm,每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).請?jiān)趫D2

的方格紙中畫出一個面積為10cm2的正方形，使它的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上；

例3:如圖是規(guī)格為4x6的邊長為1個單位的正方形網(wǎng)格，請?jiān)谒o網(wǎng)格中按下列要求畫頂點(diǎn)在格點(diǎn)的三

角形.

例4.如圖，每個小正方形的邊長都是1