常微分方程63省公開(kāi)課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

6.3奇點(diǎn)1/13

李雅普諾夫創(chuàng)建了處理穩(wěn)定性問(wèn)題兩種方法：

第一方法要利用微分方程級(jí)數(shù)解，在他之后沒(méi)有得到大發(fā)展；

第二方法是在不求方程情況下，借助一個(gè)所謂李雅普諾夫函數(shù)V(x)和經(jīng)過(guò)微分方程所計(jì)算出來(lái)導(dǎo)數(shù)符號(hào)性質(zhì)，就能直接推斷出解穩(wěn)定性，所以又稱為直接法.本節(jié)主要介紹李雅普諾夫第二方法.

(5.11)2/13函數(shù)分類3/13零解穩(wěn)定性態(tài)4/135/136.2.2二次型V函數(shù)結(jié)構(gòu)定理6假如一階線性微分方程6/131.2.1(8):相空間、奇點(diǎn)和軌線相空間：不含自變量、僅由未知函數(shù)組成空間稱為相空間。微分方程解在相空間中軌跡稱為軌線,軌線也可定義積分曲線在相空間中投影。對(duì)于方程組

解稱為平衡解（駐定解、常數(shù)解），又稱為奇點(diǎn)（平衡點(diǎn)）。7/13下面轉(zhuǎn)入介紹平面定性理論。本節(jié)考慮駐定微分方程組是線性情形下其軌線在相平面上性態(tài)?？紤]二維(平面)一階駐定微分方程組可將方程組(6.33)改寫成或方程(6.34)或(6.35)滿足存在唯一性定理?xiàng)l件,它們?cè)贠xy平面積分曲線可看成是方程組(6.33)在Oxy相平面上軌線。

所以,在相平面上,方程組(6.33)軌線不能相交。在相平面上,方程組(6.33)軌線不能相交。8/13

下面考慮駐定微分方程組是線性情形下其軌線在相平面上性態(tài)，即考慮方程組對(duì)于駐定微分方程組能夠經(jīng)過(guò)坐標(biāo)平移將奇點(diǎn)移到原點(diǎn)(0,0)，此時(shí),X(0,0)=Y(0,0)=0.我們依據(jù)奇點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)軌線分布不一樣性態(tài)來(lái)區(qū)分奇點(diǎn)不一樣類型。9/13考慮線性駐定微分方程組我們依據(jù)奇點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)軌線分布不一樣性態(tài)來(lái)區(qū)分奇點(diǎn)不一樣類型。則此奇點(diǎn)還是唯一。微分方程組(6.36)可化成標(biāo)準(zhǔn)形式，其系數(shù)矩陣為以下四種形式之一：10/13下面僅標(biāo)準(zhǔn)形式線性方程組討論奇點(diǎn)類型。按特征根為相異實(shí)根、重根或共軛復(fù)根，分五種情形進(jìn)行討論。情形I同號(hào)相異實(shí)根情形II同號(hào)相異實(shí)根情形III重根或11/13情形IV非零實(shí)部復(fù)根情形V純虛根