復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)省公開(kāi)課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

《復(fù)變函數(shù)》介紹復(fù)變函數(shù)：自變量在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值函數(shù)與高等數(shù)學(xué)類(lèi)似，研究微分和積分應(yīng)用領(lǐng)域：信號(hào)與系統(tǒng)，電磁學(xué)，光學(xué)，控制論，空氣動(dòng)力學(xué)，流體力學(xué)，彈性力學(xué)等等成績(jī)：卷面70%（作業(yè)，出勤，課堂表現(xiàn)）30%11/75第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算1.2復(fù)數(shù)幾何表示1.3復(fù)數(shù)乘冪與方根1.4復(fù)數(shù)在幾何上應(yīng)用舉例1.5復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)第1節(jié)復(fù)數(shù)概念與運(yùn)算22/751.1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算1.定義：33/752.相等虛部為零復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)虛部不為零復(fù)數(shù)稱(chēng)作虛數(shù)虛部不為零，實(shí)部為零復(fù)數(shù)稱(chēng)作純虛數(shù)

44/753.共扼復(fù)數(shù)4.任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小55/755.代數(shù)運(yùn)算兩復(fù)數(shù)和:兩復(fù)數(shù)積:兩復(fù)數(shù)商:66/75例1解77/75例2

解88/75例3解99/751.2復(fù)數(shù)幾何表示復(fù)數(shù)可看作平面上點(diǎn)實(shí)軸虛軸注：1.復(fù)數(shù)點(diǎn)表示1010/752.復(fù)數(shù)模(或絕對(duì)值)顯然以下各式成立1111/753.復(fù)數(shù)輻角說(shuō)明輻角不確定.1212/75輻角主值定義:1313/751414/754.利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)和差兩個(gè)復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算與對(duì)應(yīng)向量加減法運(yùn)算一致.1515/75利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系復(fù)數(shù)能夠表示成復(fù)數(shù)三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)能夠表示成復(fù)數(shù)指數(shù)表示式5.復(fù)數(shù)三角表示和指數(shù)表示1616/75復(fù)數(shù)五種表示(1)代數(shù)表示法(2)點(diǎn)表示(幾何表示)(3)向量表示(5)指數(shù)表示(4)三角表示1717/75例4將以下復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解：1818/75例5將以下復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為指數(shù)表示式為1919/75故三角表示式為指數(shù)表示式為2020/751.復(fù)數(shù)乘積與商定理一兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積模等于它們模乘積;兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積輻角等于它們輻角和.1.3復(fù)數(shù)乘冪與方根2121/75兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量分別為2222/752323/75定理二兩個(gè)復(fù)數(shù)商模等于它們模商;兩個(gè)復(fù)數(shù)商輻角等于被除數(shù)與除數(shù)輻角之差.2424/75例6解2525/752.乘冪:2626/75棣莫佛公式2.棣莫佛公式2727/75例7解即2828/752929/751.4復(fù)數(shù)在幾何上應(yīng)用舉例

利用復(fù)數(shù)及其運(yùn)算幾何意義，很多平面圖形能用適當(dāng)復(fù)數(shù)形式方程（或不等式）來(lái)表示，另首先，也能有給定復(fù)數(shù)形式方程（或不等式）來(lái)確定它所表示平面圖形。3030/75例8求以下方程所表示曲線:解3131/75化簡(jiǎn)后得3232/751.5復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)1.南極、北極定義3333/75球面上點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.我們能夠用球面上點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).我們要求:復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一“無(wú)窮大”與復(fù)平面上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng),記作∞.因而球面上北極N就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大∞幾何表示.球面上每一個(gè)點(diǎn)都有唯一復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng),這么球面稱(chēng)為復(fù)球面.2.復(fù)球面定義3434/753.擴(kuò)充復(fù)平面定義包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)復(fù)平面稱(chēng)為擴(kuò)充復(fù)平面.不包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)復(fù)平面稱(chēng)為有限復(fù)平面,或簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)平面.對(duì)于復(fù)數(shù)∞來(lái)說(shuō),實(shí)部,虛部,輻角等概念均無(wú)意義,它模要求為正無(wú)窮大.復(fù)球面優(yōu)越處:能將擴(kuò)充復(fù)平面無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)顯著地表示出來(lái).3535/753636/751.復(fù)數(shù)定義2.復(fù)數(shù)五種表示3.復(fù)數(shù)模、輻角、共軛復(fù)數(shù)4.棣莫弗公式5.復(fù)數(shù)冪與方根6.復(fù)數(shù)形式方程表示平面圖形

總結(jié)

熟練掌握以下內(nèi)容：3737/75

作業(yè)3838/752.1復(fù)平面上區(qū)域2.2復(fù)變函數(shù)概念2.3復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)性第2節(jié)復(fù)變函數(shù)及其極限與連續(xù)性3939/751.鄰域:2.1復(fù)平面上區(qū)域4040/752.去心鄰域:4141/753.內(nèi)點(diǎn):4.開(kāi)集:假如G內(nèi)每一點(diǎn)都是它內(nèi)點(diǎn),那末G稱(chēng)為開(kāi)集.4242/755.區(qū)域:假如平面點(diǎn)集D滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件,則稱(chēng)它為一個(gè)區(qū)域.(1)D是一個(gè)開(kāi)集；(2)D是連通,就是說(shuō)D中任何兩點(diǎn)都能夠用完全屬于D一條折線連結(jié)起來(lái).6.邊界點(diǎn)、邊界:

設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)一個(gè)區(qū)域,假如點(diǎn)P不屬于D,但在P任意小鄰域內(nèi)總有D中點(diǎn),這么P點(diǎn)我們稱(chēng)為D邊界點(diǎn).4343/75D全部邊界點(diǎn)組成D邊界.說(shuō)明(1)區(qū)域邊界可能是由幾條曲線和一些孤立點(diǎn)所組成.(2)區(qū)域D與它邊界一起組成閉區(qū)域4444/75以上基本概念圖示區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界7.有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域:4545/758.連續(xù)曲線:平面曲線復(fù)數(shù)表示:4646/759.光滑曲線:由幾段依次相接光滑曲線所組成曲線稱(chēng)為按段光滑曲線.4747/7510.簡(jiǎn)單曲線:

沒(méi)有重點(diǎn)曲線C稱(chēng)為簡(jiǎn)單曲線(或若爾當(dāng)曲線).4848/75換句話(huà)說(shuō),簡(jiǎn)單曲線本身不相交.簡(jiǎn)單閉曲線性質(zhì):任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交點(diǎn)集.內(nèi)部外部邊界4949/7511.單連通域與多連通域定義:復(fù)平面上一個(gè)區(qū)域B,假如在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線,而曲線內(nèi)部總屬于B,就稱(chēng)為單連通域.一個(gè)區(qū)域假如不是單連通域,就稱(chēng)為多連通域.單連通域多連通域5050/75例10指明以下不等式所確定區(qū)域,是有界還是無(wú)界,單連通還是多連通.是角形域,無(wú)界單連通域(如圖).5151/75無(wú)界多連通域.5252/75例11滿(mǎn)足以下條件點(diǎn)集是什么,假如是區(qū)域,指出是單連通域還是多連通域?是多連通域.5353/75應(yīng)了解區(qū)域相關(guān)概念:鄰域、去心鄰域、內(nèi)點(diǎn)、開(kāi)集、邊界點(diǎn)、邊界、區(qū)域、有界區(qū)域、無(wú)界區(qū)域了解單連通域與多連通域.5454/752.2復(fù)變函數(shù)概念注意：復(fù)變函數(shù)與一元實(shí)變函數(shù)定義完全一樣,只要將后者定義中“實(shí)數(shù)”換為“復(fù)數(shù)”就行了.5555/751.單(多)值函數(shù)定義:2.定義集合和函數(shù)值集合:5656/753.復(fù)變函數(shù)與自變量之間關(guān)系:比如,5757/755858/754.映射定義:5959/756060/756161/75為了方便，以后不再區(qū)分函數(shù)、映射和變換.6262/75例.解：(1)還是線段.6363/75解：(2)6464/75仍是扇形域.解：(3)6565/751.函數(shù)極限定義:注意:2.3復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)性6666/75注意:復(fù)變函數(shù)極限定義與一元實(shí)變函數(shù)極限定義即使在形式上相同,但在實(shí)質(zhì)上有很大差異,它較之后者要求苛刻得多.6767/752.極限計(jì)算定理定理一說(shuō)明6868/75定理二與實(shí)變函數(shù)極限運(yùn)算法則類(lèi)似.6969/753.復(fù)變函數(shù)連續(xù)性連續(xù)定義:7070/75定理三比如,7171/75定理四7272/75特殊:(1)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)(2)