中考數(shù)學(xué)中的折疊問題

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中考數(shù)學(xué)中的折疊問題

近年來，在各地中考數(shù)學(xué)命題時(shí)，十分重視對圖形語言、文字語音、符號(hào)語言的理解運(yùn)用及相互之間的關(guān)系，相互之間的轉(zhuǎn)化能力以及動(dòng)手操作能力的考查。這樣，圖形的折疊問題就成為一個(gè)亮點(diǎn)，有關(guān)翻折的考題日趨增加。翻折問題的解決方法，抓住翻折后與翻折的圖形是以折痕為軸的軸對稱圖形這一關(guān)鍵，并運(yùn)用代數(shù)方程，一般均可求得。下面我們以中考題為例，談?wù)劮蹎栴}的幾例類型及解法，供大家參考。一、以矩形為母體的翻折這種類型最多，以折痕的不同位置又可分下面幾種：1、沿對角線翻折例1、(2000年山西省)已知：如圖1，將矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C’處，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面積。分析：因?yàn)锽D是對稱軸，∴∠CBD=∠C’BD，又AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，得：∠C’BD=∠ADB，∴ED=EB設(shè)ED=x，∴AD=8-x在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即42+(8-x)2=x2，∴x=5，∴ED=EB=5又BD=∴S△BED==10方法2：過E作EF⊥BD，垂足F，在得到BE=5，BD=4后，在Rt△BEF中，EF=，得S△BED=BD×EF=×4×=10方法3：∵Rt△BEF∽R(shí)t△BDC’，∴EF：DC’=BF：BC’，得EF==(以下略)2、沿一直線翻折，使一頂點(diǎn)落在對邊上例2、(2000年山東省)已知矩形ABCD的兩邊AB與BC的比為4：5，E是AB上一點(diǎn)，沿CE將△EBC向上翻折，若B點(diǎn)恰好落在邊AD上的F點(diǎn)，如圖2，則tg∠DCF=______。A、B、C、D、分析：因?yàn)镃F=CB，∴CF：CD=5：4，得CD：DF=4：3，∴tg∠DCF==，應(yīng)選(A)。例3、(1998年臺(tái)州市)如圖3，矩形ABCD的長、寬分別為5和3，將頂點(diǎn)C折過來，使它落在AB上的C’點(diǎn)(DE為折痕)，那么陰影部分的面積是______。分析：由題意知，DC’=DC=5，C’E=EC在Rt△ADC’中，AC’==4，得C’B=5-4=1設(shè)EC=x，∴C’E=x，BE=3-x在Rt△BEC’中，C’E2=C’B2+BE2，即x2=12+(3-x)2，得x=，即EC=∴S陰影=2××EC·DC=×5=例4、(2001年寧波市)如圖4，矩形紙片ABCD沿DF折疊后，點(diǎn)C落在AB上的E點(diǎn)，DE、DF三等分∠ADC，AB的長為b，則梯形ABFD的中位線長為______。A、不能確定B、2C、D、+1分析：由翻折知DE=DC=6。又∵DE、DF三等分∠ADC，∴∠ADE=∠FDC=30°?！郃D=DE·cos30°=6×=3，CF=DC·tg30°=6×=2。FB=BC-CF=∴梯形ABFD的中位線為：(AD+FB)=(3+)=23、沿一直線翻折，使折痕與邊交已知角例5、(2001年吉林省)如圖5，把一張長方形ABCD的紙片，沿EF折疊后，ED與BC的交點(diǎn)為G，當(dāng)D、C分別落在D’、C’的位置上，若∠EFG=55°，求∠1=∠2的度數(shù)。分析：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=555°，又∵∠DEF=∠FEG，∴∠1=180°-2×55°=70°，∠2=110°。4、沿一直線翻折，使對角頂點(diǎn)重合例6、(1997年北京數(shù)學(xué)競賽)如圖6，矩形紙片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，現(xiàn)將A、C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為EF，則重疊部分△AEF的面積為______。分析：設(shè)AF=x，則FD=4-x，由折疊知，AD’=DC=3cm，D’F=FD=4-x?！嘣赗t△AD’F中，AF2=AD’2+D’F2，則x2=32+(4-x)2，∴x=S△AEF=AF·AB=××3=二、以三角形為母體的翻折1、沿三角形的中線翻折例7、(2001年山西省)如圖7，AD中△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿AD對折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C’的位置，則BC’與BC之間的數(shù)量關(guān)系是______。分析：由翻折知，∠CDA=∠ADC’=45°，∴C’D⊥BC。且C’D=DC=BD=BC。在Rt△BDC’中，BC’=·BD=BC，得BC=BC’。例8、(2000年廣東省)如圖8，在Rt△ABC中，E是斜邊AB上的一點(diǎn)，把△ABC沿CE折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)B重合，如果AC=4cm，那么AB=______cm。分析：因?yàn)檠刂芯€CE折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，∴CE是∠ACB的角平分線，∠ACE=45°。又AE=EC=AB，∴△AEC為Rt△，∴AC=AE=AB，∴AB=AC=4cm2、沿三角形的角平分線翻折例9、(2000年濟(jì)南市)如圖9，折疊矩表紙片ABCD，先折出折痕(對角線)BD，再折疊使AD落在對角線AD上，得折痕DG，若AB=2，BC=1，則AG=______。分析：(1)過G點(diǎn)作BE⊥DB，E為垂足，∴AG=GE，設(shè)AG=x，由S△DAB=DA·AB=1，S△DAG=×1×x=，S△DGB=GE·BD=·，∴+()=1，x=，得AG=(2)由AB=AG+GB=1及。3、沿三角形的高線翻折例10、(2001年上海市)在邊長為2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE為BC上的高，將△ABE沿AE所在直線翻折得△AB’E，那么△AB’E與四邊形AECD重疊部分的面積是______。分析：解答本題首先要按題意畫出圖形，如圖10。在Rt△ABE中，∵∠B=45°，AB=2，∴BE=由翻折知△AB’E≌△ABE，EB’=EB，B’C=BB’-BC=2-2，S△ABE=()2=1又