北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-1全冊教案

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四種命題、四種命題的相互關(guān)系

(-)教學(xué)目標

?知識與技能：了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題的

形式和四種命題間的相互關(guān)系，會用等價命題判斷四種命題的真假.

?過程與方法：多讓學(xué)生舉命題的例子，并寫出四種命題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分

析問題、有創(chuàng)造性地解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和思維能力.

?情感、態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生的舉例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，培養(yǎng)他們的辨

析能力以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力.

(二)教學(xué)重點與難點

重點：(1)會寫四種命題并會判斷命題的真假；(2)四種命題之間的相互關(guān)系.

難點：(1)命題的否定與否命題的區(qū)別；(2)寫出原命題的逆命題、否命題和逆否命題;

(3)分析四種命題之間相互的關(guān)系并判斷命題的真假.

教具準備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

教學(xué)設(shè)想：通過學(xué)生的舉例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培

養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力.

(三)教學(xué)過程

學(xué)生探究過程：

1.復(fù)習(xí)引入

初中已學(xué)過命題與逆命題的知識，請同學(xué)回顧：什么叫做命題的逆命題？

2.思考、分析

問題1：下列四個命題中，命題(1)與命題(2)(3)(4)的條件與結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？

(1)若f(x)是正弦函數(shù),則f(x)是周期函數(shù).(2)若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù).

(3)若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù).(4)若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是

正弦函數(shù).

3.歸納總結(jié)

問題?通過學(xué)生分析、討論可以得到正確結(jié)論.緊接結(jié)合此例給出四個命題的概念，(1)

和(2)這樣的兩個命題叫做互逆命題，(1)和(3)這樣的兩個命題叫做互否命題，(1)

和(4)這樣的兩個命題叫做互為逆否命題。

4.抽象概括

定義1:一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和

條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做

原命題的逆命題.

讓學(xué)生舉一些互逆命題的例子。

定義2：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的

否定和結(jié)論的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互否命題.其中-?個命題叫做原命題，另

一個命題叫做原命題的否命題.

讓學(xué)生舉一些互否命題的例子。

定義3：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的

否定和條件的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題.其中一個命題叫做原命題,

另一個命題叫做原命題的逆否命題.

讓學(xué)生舉一些互為逆否命題的例子。

小結(jié)：

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的逆命題：

(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的否命題：

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題就是它的逆否命題.

強調(diào)：原命題與逆命題、原命題與否命題、原命題與逆否命題是相對的。

5.四種命題的形式

讓學(xué)生結(jié)合所舉例子，思考：

若原命題為“若P,則q”的形式，則它的逆命題、否命題、逆否命題應(yīng)分別寫成什么形

式？

學(xué)生通過思考、分析、比較，總結(jié)如下：

原命題：若P,則q.則:

逆命題：若q,則P.

否命題：若rP,則11.(說明符號的含義：符號叫做否定符號.“「p”表示p

的否定；即不是P；非P)

逆否命題：若「q,則「P.

6.鞏固練習(xí)

寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假：

(1)若一個三角形的兩條邊相等，則這個三角形的兩個角相等；

(2)若一個整數(shù)的末位數(shù)字是0,則這個整數(shù)能被5整除；

(3)若x-1,則x=l；

(4)若整數(shù)a是素數(shù)，則是a奇數(shù)。

7.思考、分析

結(jié)合以上練習(xí)思考：原命題的真假與其它三種命題的真假有什么關(guān)系？

通過此間，學(xué)生將發(fā)現(xiàn)：

①原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②原命題為真，它的否命題不一定為真。

③原命題為真，它的逆否命題一定為真。

原命題為假時類似。

結(jié)合以上練習(xí)完成下列表格：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真

假真

假真

假假

由表格學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：原命題與逆否命題總是具有相同的真假性，逆命題與否命題也總

是具有相同的真假性.

由此會引起我們的思考：

一個命題的逆命題、否命題與逆否命題之間是否還存在著一定的關(guān)系呢？

讓學(xué)生結(jié)合所做練習(xí)分析原命題與它的逆命題、否命題與逆否命題四種命題間的關(guān)系.

學(xué)生通過分析，將發(fā)現(xiàn)四種命題間的關(guān)系如下圖所示：

8.總結(jié)歸納

若P,貝Uq.若q,貝UP.

由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間的關(guān)系如下：

(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.

由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明某一個命題為真命題有困難

時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題.

9.例題分析

例4：證明：若江+q=2,則p+qW2.

分析：如果直接證明這個命題比較困難，可考慮轉(zhuǎn)化為對它的逆否命題的證明。

將“若p2+/=2,則p+q<2”視為原命題，要證明原命題為真命題，可以考慮

證明它的逆否命題“若P+q>2,則d+q272”為真命題，從而達到證明原命題為真命題

的目的.

證明：若p+q>2,則

p'+q。=—[(p—q)2+(p+q)35：—(p+q)2>—X2；，=2

222

所以p2+qV2.

這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。

練習(xí)鞏固：證明：若9+2a—4b—3W0,則a—bWl.

10：教學(xué)反思

(1)逆命題、否命題與逆否命題的概念；

(2)兩個命題互為逆否命題，他們有相同的真假性；

(3)兩個命題為互逆命題或互否命題，他們的真假性沒有關(guān)系；

(4)原命題與它的逆否命題等價；否命題與逆命題等價.

充分條件與必要條件

(一)教學(xué)目標

L知識與技能：正確理解充分不必要條件、必要不充分條件的概念；會判斷命題的充分條件、

必要條件.

2.過程與方法：通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷和歸納

的邏輯思維能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良好的思維

品質(zhì)，在練習(xí)過程中進行辯證唯物主義思想教育.

(-)教學(xué)重點與難點

重點：充分條件、必要條件的概念.

(解決辦法：對這三個概念分別先從實際問題引起概念，再詳細講述概念，最后再應(yīng)用概念進

行論證.)

難點：判斷命題的充分條件、必要條件

關(guān)鍵：分清命題的條件和結(jié)論，看是條件能推出結(jié)論還是結(jié)論能推出條件

(三)教學(xué)過程

1.練習(xí)與思考

寫出下列兩個命題的條件和結(jié)論，并判斷是真命題還是假命題？

(1)若x>a'+b，,則x>2ab,

(2)若ab=0,則a=0.

學(xué)生容易得出結(jié)論：命題(1)為真命題，命題(2)為假命題.

置疑：對于命題“若p,則q"，有時是真命題，有時是假命題.如何判斷其真假的？

答：看P能不能推出q,如果P能推出q，則原命題是真命題，否則就是假命題.

2.給出定義

命題“若P，則q”為真命題，是指山P經(jīng)過推理能推出q,也就是說，如果p成立，那

么q-定成立.換句話說，只要有條件p就能充分地保證結(jié)論q的成立，這時我們稱條件p

是q成立的充分條件.

一般地，“若P，則q”為真命題，是指山p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p

可推出q,記作：pnq.

定義：如果命題“若P，則q”為真命題，即p=q,那么我們就說p是q的充分條件；q是p

必要條件.

上面的命題(1)為真命題，即x>a2+b°nx>2ab,

所以“x>a2+b?”是“x>2ab”的充分條件，“x>2ab”是“x>a2+b2w.的

必要條件.

3.例題分析：

例1：下列“若P，則q”形式的命題中，那些命題中的P是q的充分條件？

(1)若x=1,則/-4x+3=0；

(2)若f(x)=x,則f(x)為增函數(shù)；

(3)若x為無理數(shù)，則尤為無理數(shù).

分析：要判斷P是否是q的充分條件，就要看P能否推出q.解略.

例2：下列“若p,則q”形式的命題中，那些命題中的q是p的必要條件？

⑴若x=y,則x2=y2；

(2)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的面積相等；

(3)若a>b,則ac>bc.

分析：要判斷q是否是P的必要條件，就要看P能否推出q.解略.

4.練習(xí)鞏固：5.課堂總結(jié)

充分、必要的定義.

在“若P，則q”中，若pnq,則p為q的充分條件，q為p的必要條件.

注：(1)條件是相互的；

(2)p是q的什么條件，有四種回答方式：

①P是q的充分而不必要條件：

②P是q的必要而不充分條件；

③P是q的充要條件；

④P是q的既不充分也不必要條件.

充要條件

(一)教學(xué)目標

1.知識與技能目標：

(1)正確理解充要條件的定義，了解充分而不必要條件，必要而不充分條件，既不充分也不

必要條件的定義.

(2)正確判斷充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.

(3)通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白對條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假，.

2.過程與方法目標：在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的嚴密性品質(zhì).

3.情感、態(tài)度與價值觀：

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的精神.

(-)教學(xué)重點與難點

重點：1、正確區(qū)分充要條件2、正確運用“條件”的定義解題

難點：正確區(qū)分充要條件.

（三）教學(xué)過程

L思考、分析

已知P：整數(shù)a是2的倍數(shù)；q：整數(shù)a是偶數(shù).

請判斷：P是q的充分條件嗎？P是q的必要條件嗎？

分析：要判斷P是否是q的充分條件，就要看P能否推出q,要判斷P是否是q的必要條件,

就要看q能否推出P.

易知：pnq,故P是q的充分條件；

又q=>p,故P是q的必要條件.

此時，我們說，P是q的充分必要條件

2.類比歸納

一般地,如果既有pnq，又有q=>p就記作

poq.

此時,我們說,那么P是q的充分必要條件，簡稱充要條件.顯然,如果P是q的充要條件,那么q

也是P的充要條件.

概括地說，如果P=q,那么P與q互為充要條件.

3.例題分析

例1：下列各題中，哪些P是q的充要條件？

(1)p:b=O,q:函數(shù)f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù);

(2)p:x>0,y>0,q:xy>0；

(3)p:a>b,q:a+c>b+c；

(4)P：x>5,,q:x>10

(5)p:a>b,q:a2>b2

分析：要判斷P是q的充要條件，就要看P能否推出q,并且看q能否推出P.

解：命題（1）和（3）中，p=q，月.q=>p,即pu>q,故p是q的充要條件;

命題（2）中，p=>q，但qp,故p不是q的充要條件；

命題（4）中，pw>q，但q=>p,故p不是q的充要條件；

命題（5）中，pw>q,且qw>p,故P不是q的充要條件；

4.類比定義

一般地，

若p=q，但qP，則稱P是q的充分但不必要條件；

若pw>q，但q=P，則稱P是q的必要但不充分條件；

若p，>q，且q冷P，則稱P是q的既不充分也不必要條件.

在討論P是q的什么條件時，就是指以下四種之一：

①若pnq,但q豐>p,則p是q的充分但不必要條件;

②若qnp,但Pq,則P是q的必要但不充分條件;

③若p=>q,且qnp,則p是q的充要條件；

④若pK>q,且qH>p,則p是q的既不充分也不必要條件.

5.練習(xí)鞏固：說明：要求學(xué)生回答p是q的充分但不必要條件、或P是q的必要但不充分

條件、或P是q的充要條件、或P是q的既不充分也不必要條件.

6.例題分析

例2：已知：。。的半徑為r,圓心0到直線1的距離為d.求證：d=r是直線1與。0相切的

充要條件.

分析：設(shè)p：d=r,q：直線1與。0相切.要證p是q的充要條件，只需要分別證明充分性（pnq）

和必要性（qnp）即可.

證明過程略.

例3、設(shè)p是r的充分而不必要條件，q是r的充分條件，r成立，則s成立.s是q的充分條

件，問（1）s是r的什么條件？（2）p是q的什么條件？

7.課堂總結(jié)：

充要條件的判定方法

如果“若P，則q”與“若p則q”都是真命題，那么p就是q的充要條件，否則不是.

全稱量詞與存在量詞

（一）教學(xué)目標

1.知識與技能目標

（1）通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見的全稱量詞和

存在量詞.

（2）了解含有量詞的全稱命題和特稱命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號表示含有量詞的命題及

判斷其命題的真假性.

2.過程與方法目標使學(xué)生體會從具體到?般的認知過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力.

3.情感態(tài)度價值觀

通過學(xué)生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良好的思維品質(zhì)，在練習(xí)過程中進

行辯證唯物主義思想教育.

（二）教學(xué)重點與難點

重點:理解全稱量詞與存在量詞的意義難點：全稱命題和特稱命題真假的判定.

教具準備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

教學(xué)設(shè)想：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的

精神.

（三）教學(xué)過程

學(xué)生探究過程：L思考、分析

下列語句是命題嗎？假如是命題你能判斷它的真假嗎？

（1）2x+1是整數(shù)；⑵x>3；

（3）如果兩個三角形全等，那么它們的對應(yīng)邊相等；

（4）平行于同條直線的兩條直線互相平行；

（5）海師附中今年所有高中一年級的學(xué)生數(shù)學(xué)課本都是采用人民教育出版社A版的教科書；

（6）所有有中國國籍的人都是黃種人；（7）對所有的xGR,x>3；

（8）對任意一個xGZ,2x+1是整數(shù)。

1.推理、判斷

（讓學(xué)生自己表述）

（1）、（2）不能判斷真假，不是命題。

（3）、（4）是命題且是真命題。

（5）-（8）如果是假，我們只要舉出一個反例就行。

注：對于（5）-（8）最好是引導(dǎo)學(xué)生將反例用命題的形式寫出來。因為這些命題的反例

涉及到“存在量詞”“特稱命題”“全稱命題的否定”這些后續(xù)內(nèi)容。

（5）的真假就看命題：海師附中今年存在個別（部分）高一學(xué)生數(shù)學(xué)課本不是采用人民教

育出版社A版的教科書；這個命題的真假，該命題為真，所以命題（5）為假；

命題（6）是假命題.事實上，存在一個（個別、部分）有中國國籍的人不是黃種人.

命題（7）是假命題.事實上，存在一個（個別、某些）實數(shù)（如x=2）,x<3.

（至少有一個xeR,xW3）

命題（8）是真命題。事實上不存在某個xWZ,使2x+l不是整數(shù)。也可以說命題：存在

某個xdZ使2x+1不是整數(shù)，是假命題.

3.發(fā)現(xiàn)、歸納

命題（5）—（8）跟命題（3）、（4）有些不同，它們用到“所有的”“任意一個”這樣

的詞語,這些詞語一般在指定的范圍內(nèi)都表示整體或全部，這樣的詞叫做全稱量詞，用符號“V”

表示，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。命題（5）-（8）都是全稱命題。

通常將含有變量”的語句用P（x）,q（x）,r（x）,……表示，變量x的取值范圍用"表

示。那么全稱命題“對"中任意一個x,有0成立"可用符號簡記為：vxeM,p（x）,讀

做“對任意x屬于M,有o（x）成立”。

剛才在判斷命題（5）-（8）的真假的時候，我們還得出這樣一些命題：

（5）-存在個別高一學(xué)生數(shù)學(xué)課本不是采用人民教育出版社A版的教科書；

（6）?存在一個（個別、部分）有中國國籍的人不是黃種人.

（7）,存在一個（個別、某些）實數(shù)x（如x=2）,使xW3.（至少有一個xGR,xW3）

（8）'不存在某個xGZ使2x+1不是整數(shù).

這些命題用到了“存在一個”“至少有一個”這樣的詞語，這些詞語都是表示整體的一部

分的詞叫做存在量詞。并用符號“三”表示。含有存在量詞的命題叫做特稱命題（或存在命題）

命題（5）,一（8）,都是特稱命題（存在命題）.

特稱命題：“存在"中一個必使°成立”可以用符號簡記為：*讀做

“存在一個x屬于四使P（x）成立

全稱量詞相當于日常語言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一個”等；存在量詞相當于日

常語言中“存在一個”，“有一個”，“有些”，“至少有一個”，“至多有一個”等.

4.鞏固練習(xí)

(1)下列全稱命題中，真命題是:

A.所有的素數(shù)是奇數(shù)；B.X/xeR,(x—I)?>0；

C.Vxe7?,x+—>2D.VxG(0,—),sinx+——>2

x2sinx

(2)下列特稱命題中，假命題是：

A.BxeR,x2-2x-3=0B.至少有一個xwZ,x能被2和3整除

C.存在兩個相交平面垂直于同一直線D.mew{x|x是無理數(shù)},丁是有理數(shù).

(3)已知：對Vxe/TMYx+工恒成立，則a的取值范圍是；

X

變式：已知：對WxeR+,——ax+1Y0恒成立，則a的取值范圍是；

(4)求函數(shù)/(x)=-cos2x-sinx+3的值域；

變式：已知：對VxeR,方程cos2x+sinx-3+a=0有解，求a的取值范圍.

5.教學(xué)反思：

(1)判斷下列全稱命題的真假：

①末位是。的整數(shù)，可以被5整除；

②線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；

③負數(shù)的平方是正數(shù)；④梯形的對角線相等。

(2)判斷下列特稱命題的真假：

①有些實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；②有些三角形不是等腰三角形；③有些菱形是正方形。

(3)探究：

①請課后探究命題(5)'-(8),跟命題(5)-(8)分別有什么關(guān)系？

②請你自己寫出幾個全稱命題，并試著寫出它們的否命題.寫出幾個特稱命題，并試著

寫出它們的否命題。

簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(一)或且非

教學(xué)目標：了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義,理解復(fù)合命題的結(jié)構(gòu).

教學(xué)重點：邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義及復(fù)合命題的構(gòu)成.

教學(xué)難點：對“或”的含義的理解；

教學(xué)手段：多媒體

一、創(chuàng)設(shè)情境

前面我們學(xué)習(xí)了命題的概念、命題的構(gòu)成和命題的形式等簡單命題的基本框架。本

節(jié)內(nèi)容，我們將學(xué)習(xí)一些簡單命題的組合，并學(xué)會判斷這些命題的真假。

問題1:下列語句是命題嗎？如果不是，請你將它改為命題的形式

①11>5②3是15的約數(shù)嗎？③0.7是整數(shù)④x>8

二、活動嘗試

①是命題，且為真；②不是陳述句，不是命題，改為③是3是15的約數(shù)，則為真；

③是假命題

④是陳述句的形式，但不能判斷正確與否。改為x220,則為真；

例如，x<2,x-5=3,（x+y）（x-y尸0.這些語句中含有變量x或y,在沒有給定這些變量的

值之前，是無法確定語句真假的.這種含有變量的語句叫做開語句（有的邏輯書也稱之為

條件命題）。我們不要在判斷一個語句是不是命題上下功夫，因為這個工作過于復(fù)雜，只

要能從正面的例子了解命題的概念就可以了。

三、師生探究

問題2：（1）6可以被2或3整除；

（2）6是2的倍數(shù)且6是3的倍數(shù)；

（3）不是有理數(shù)；

上述三個命題前面的命題在結(jié)構(gòu)上有什么區(qū)別？比前面的命題復(fù)雜了，且（1）和（2）

明顯是由兩個簡單的命題組合成的新的比較復(fù)雜的命題。

命題（1）中的“或”與集合中并集的定義：AUB={x|xeA或xGB}的“或”意義相同.

命題（2）中的“且”與集合中交集的定義：ACB={x|xWA且xWB}的“且”意義相同.

命題（3）中的“非”顯然是否定的意思，即“正不是有理數(shù)”是對命題0是有理數(shù)”

進行否定而得出的新命題.

四、數(shù)學(xué)理論

1.邏輯連接詞

命題中的“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.

2.復(fù)合命題的構(gòu)成

簡單命題：不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫做簡單命題.

復(fù)合命題：由簡單命題再加上一些邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)合命題.

3.復(fù)合命題構(gòu)成形式的表示

常用小寫拉丁字母P、q、r、s……表示簡單命題.

復(fù)合命題的構(gòu)成形式是：p或q；p且q；非p.

即:p或q記作pvqP且q記作pAq非p（命題的否定）記作--p

釋義：“p或q”是指p,q中的任何一個或兩者.例如，“xWA或xCB"，是指x可能屬于A

但不屬于B(這里的“但”等價于“且")，x也可能不屬于A但屬于B,x還可能既屬于

A又屬于B(即xCAUB)；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真,

還可能p,q都為真.

"p且q”是指p,q中的兩者.例如，"xCA且KB"，是指x屬于A,同時x也屬于B(即

X^AAB).

“非p”是指p的否定，即不是p.例如，p是“xeA”，則“非p”表示x不是集合A

的元素(即xeq,/).

五、鞏固運用

例1:指出下列復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題：

(1)24既是8的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)；

(2)李強是籃球運動員或跳高運動員；

(3)平行線不相交

解：(1)中的命題是p且q的形式，其中p：24是8的倍數(shù)；q：24是6的倍數(shù).

(2)的命題是p或q的形式，其中p：李強是籃球運動員；q：李強是跳高運動員.

(3)命題是非p的形式，其中p：平行線相交。

例2:分別指出下列復(fù)合命題的形式

(1)827

(2)2是偶數(shù)且2是質(zhì)數(shù);

(3)%不是整數(shù)；

解：(1)是"pvq”形式，p：8>7,q：8=7；

(2)是“0人4”形式，p：2是偶數(shù)，q：2是質(zhì)數(shù)；

(3)是“「p”形式，p：乃是整數(shù)；

例3：寫出下列命題的非命題：

(1)p：對任意實數(shù)x,均有x?—2x+l20；

(2)q：存在一個實數(shù)X,使得X?—9=0

(3)“AB〃CD”且“AB=CD"；

(4)"AABC是直角三角形或等腰三角形”.

解：(1)存在一個實數(shù)x,使得X2-2X+1<0；

(2)不存在一個實數(shù)x,使得X?—9=0；

(3)AB不平行于CD或AB￥CD；

(4)原命題是“p或q”形式的復(fù)合命題，它的否定形式是：^ABC既不是直角三角

形又不是等腰三角形.

復(fù)合命題的構(gòu)成要注意：(1)“p或q”、“p且q”的兩種復(fù)合命題中的p和q可以是

毫無關(guān)系的兩個簡單命題

(2)“非p”這種復(fù)合命題又叫命題的否定；是對原命題的

關(guān)鍵詞進行否定;

F面給出一些關(guān)鍵詞的否定:

正面等至少一至多

或大于小于是都是

語詞于個一個

不不大于不小于

不都一個也至少

否定且等(小于等(大于等不是

是沒有兩個

于于)于)

六、回顧反思

本節(jié)課討論了簡單命題與復(fù)合命題的構(gòu)成，以及邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義。

需要注意的是否命題的關(guān)鍵詞的否定是問題的核心。

七、課后練習(xí)

1.命題“方程x?=2的解是x=±亞是()

A.簡單命題B.含“或”的復(fù)合命題

C.含“且”的復(fù)合命題D.含“非”的復(fù)合命題

2.用“或”“且”“非”填空，使命題成為真命題:

(1)xGAUB,則xCAxGB；

(2)xGAAB,P'lJxGAxSB；

(3)a、bGR,a>0b>0,則ab>0.

3.把下列寫法改寫成復(fù)合命題“p或q”“p且q”或“非p”的形式:

(1)(a-2)(a+2)=0；

(3)a>b20.

4.已知命題p：aGA,q：aGB,試寫出命題“p或g”“p且q”1P”的形式.

5.用否定形式填空：

(1)0>0或6<0；(2)三條直線兩兩相交

(3/是B的子集.(4)a,b都是正數(shù).(5)“是自然

數(shù).(在Z內(nèi)考慮)

6.在一次模擬打飛機的游戲中，小李接連射擊了兩次，設(shè)命題仍是“第一次射擊中飛機”,

命題。是“第二次射擊中飛機”試用p、、小以及邏輯聯(lián)結(jié)詞或、且、非(V,A,D表

示下列命題：

命題S：兩次都擊中飛機；

命題八兩次都沒擊中飛機；

命題t：恰有一次擊中了飛機；

命題s至少有一次擊中了飛機.

八、參考答案：

1.B

2.(1)或(2)且(3)且

3.(1)p：a—2=0或q：a+2=0；

(2)p：x=l且q:y=2

(3)p：a>b且q：b20

4.命題"p或q"：aGA或aGB.“p且q”：aGA且aGB.p"：a^A

5.(1)忘0且6>0

(2)三條直線中至少有兩條不相交

(3/不是B的子集

(4)。，/>不都是正數(shù)

(5比是負整數(shù).

6.(1)/?A<7(2)(3)(pA—><7)v(—Aq)(4)—1(—A—>q)

第二章空間向量與立體幾何

課題：平面向量知識復(fù)習(xí)

教學(xué)目標：

復(fù)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)知識，為學(xué)習(xí)空間向量作準備

教學(xué)重點：平面向量的基礎(chǔ)知識

教學(xué)難點：運用向量知識解決具體問題

教學(xué)過程：

一、基本概念

向量、向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量、相反向量、向量

的加法、向量的減法、實數(shù)與向量的積、向量的坐標表示、向量的夾角、向量的數(shù)量積。

二、基本運算

1、向量的運算及其性質(zhì)

運算類型幾何方法坐標方法運算性質(zhì)

向

量a+b=b+a

的a+b=

1.平行四邊形法則(a+b)+c=夕+(b+c)

加2.三角形法則(X]+》2,%+%)

法AB+BC=AC

向a-h=a-b=a+(-b)

里三角形法則

的(%-12,弘一％)~AB=-：BA

減OB-OA=AB

法

向

量l./lzz是一個向量,滿足：=(AjU)a

的2.4>0時，而與Q同向；(A+〃)Q=+pa

Aa=(Ax,Ay)

乘4<0時，而與々異向；A(a+6)=%7+助

法

%=0時，Aa=0.a//b<^>a=Ab

??

向。?力是一個數(shù)ab=ba

(Aa)?b=a?(Ah)=A(a?b)

里=0或6=0時，

的a?b=

a^b-0(a+b)^c=a^c+b^c

數(shù)

2.QW0且力W0時，玉乙+歹以2a1^\a\2\a\^ylx2+y2

量

a^h=\a\\h\COS(Q,6)

積]a?b\<\a\\b\

2、平面向量基本定理：

如果京,己2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量石，有且只

有一對實數(shù)4,4,使G=；

注意而=;（5+為），麗=2而+。-㈤說的幾何意義

3、兩個向量平行的充要條件：

（1）萬〃B的充要條件是：；（向量表示）

（2）若,=（為,弘）3=（%2，%），則5〃B的充要條件是：；（坐標表示）

4、兩個非零向量垂直的充要條件：

（1）5,5的充要條件是：;（向量表示）

（2）若萬=（巧,為）,6=（*2，為），則的充要條件是：;（坐標表示）

三、課堂練習(xí)

1.O為平面上的定點，489是平面上不共線的三點，若（OB-OC）\OB+OC-2OA}=Q,

則AABC是（）

A.以為底邊的等腰三角形B.以8c為底邊的等腰三角形

C.以48為斜邊的直角三角形D.以8c為斜邊的直角三角形

2.P是AABC所在平面上一點，若西?麗=麗.正=正."，則P是△人8（：的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

3.在四邊形ABCD中，JS=Bc,且就?茄=0,則四邊形八8?。是()

A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形

*—?.—?—?.—?—?.->

4.已知|p|=2近，|夕|二3,p、4的夾角為45。，則以o=5p+2q,b=p-3夕為鄰邊的平

行四邊形的一條對角線長為()

A.15B.V15C.14D.16

5.。是平面上一定點H8,C是平面上不共線的三個點，動點尸滿足--0-尸--=0/+/1A(Rg-+A心C〉)，

|陰\AC\

2e[0,+oo)則P的軌跡一定通過ZU8C的()

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

6.設(shè)平面向量)=(—2,1),b=(k,-1),若[與2的夾角為鈍角，則入的取值范圍是()

A.(——,2)U(2,+00)B.(2,-H?)C.(―D.(—co,——)

7.若Z=(2,3),6=(-4,7),)+工=6,則聯(lián)在反方向上的投影為。

8.向量次=(%」),前=(4,5),1=(-左,10),且4,B,C三點共線，則〃=.

9.在直角坐標系xoy中，已知點A(0,l)和點B(-3,4),若點C在/AOB的平分線kK|OC|=2,

則云=

10.在A48C中，。為中線//上一個動點，若AM=2,則為?(為+5?)的最小值是

課題：空間向量及其線性運算

教學(xué)目標：

1.運用類比方法，經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程;

2.了解空間向量的概念，掌握空間向量的線性運算及其性質(zhì)；

3.理解空間向量共線的充要條件

教學(xué)重點：空間向量的概念、空間向量的線性運算及其性質(zhì)；

教學(xué)難點：空間向量的線性運算及其性質(zhì)。巳［

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情景<電

1,平面向量的概念及其運算法則；JI/

2、物體的受力情況分析/H______

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)/H—，-------

i.空間向量的概念：/"，/

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量.

注：⑴空間的一個平移就是一個向量.

⑵向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示同一或相等的向量.

⑶空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示.

2.空間向量的運算

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下（如圖）

OB=OA+AB=a+b\今，一

BA=OA-OB=a-b

OP=eR)

運算律：

⑴加法交換律：a+b^h+a

⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

⑶數(shù)乘分配律：A(a+b)=^+Ab

平行六面體:

平行四邊形ABCD平移向量不到ARC'D，的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并

記作：ABCD—A，BO,它的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱。

4.共線向量

與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量

叫做共線向量或平行向量.5平行于B記作5〃很.

當我們說向量石、石共線（或5//B）時，表示不、B的有向線段所在的直線可能是同一

直線，也可能是平行直線.

5.共線向量定理及其推論:

共線向量定理：空間任意兩個向量5、b(力#0),方〃6的充要條件是存在實數(shù)人使5

=Xb.

推論：如果/為經(jīng)過已知點N且平行于已知非零向量方的直線，那么對于任意一點。，點

P在直線/上的充要條件是存在實數(shù)，滿足等式OP=OA+fd.其中向量方叫做直線/的方

向向量.

三、數(shù)學(xué)運用

1、例1如圖,在三棱柱Z8C-/4G中，M是84的中點，

化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量：

(1)CB+BA,;

------1.

(2)AC+CB+-AA.;

2'

(3)TA.-TC-CB

解：(1)CB+BA1=CA}

(2)7C+CB+-7A.=7M

21

(3)AAt-7C-CB=BAt

2、如圖，在長方體。WB-。D8中，OA=3,OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=\,點E,F

分別是03,OB的中點，設(shè)O/=i,Q/=J,OK=&,試用向量ij%表示OE和。尸

—3*-*

解：0E=-i+4j

2

OF=-i+4j+2k

3、課堂練習(xí)

已知空間四邊形N8C。，

表達式，*出”簡陋向量:

(1)AB+BC+CD；

(2)AB+^(BD+BC)；(3)就一:(刀+祝).

四、回顧總結(jié)

空間向量的定義與運算法則

五、布置作業(yè)

課題：共面向量定理

教學(xué)目標：

1.了解共面向量的含義，理解共面向量定理；

2.利用共面向量定理證明有關(guān)線面平行和點共面的簡單問題；

教學(xué)重點：共面向量的含義，理解共面向量定理

教學(xué)難點：利用共面向量定理證明有關(guān)線面平行和點共面的簡單問題

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情景

1、關(guān)于空間向量線性運算的理解

C

平面向量加法的三角形法則可以推廣到空間向量，只要圖形封閉，其中的一個向量即可以

用其它向量線性表示。

從平面幾何到立體幾何，類比是常用的推理方法。

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1、共面向量的定義

一般地，能平移到同一個平面內(nèi)的向量叫共面向量；

理解：若)花為不共線且同在平面a內(nèi)，則方與「萬共面的意義是％在a內(nèi)或，/￡

2、共面向量的判定

平面向量中，向量，與非零向量)共線的充要條件是否=，］，類比到空間向量，即有

共面向量定理如果兩個向量［Z不共線，那么向量》與向量)3共面的充要條件是存在

有序?qū)崝?shù)組(x,y),使得p=+

這就是說，向量p可以山不共線的兩個向量。力線性表示。

三、數(shù)學(xué)運用

1,例1如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M,N分別在對角線BD,AE

上，=^BD,AN=^AE.

求證：MN〃平面CDE

證明：MN^MB+^A+AN=-CD+-DE

33

又無與無不共線

根據(jù)共面向量定理，可知加，麗，方共面。

由于MN不在平面CDE中，所以MN〃平面CDE.

2、例2設(shè)空間任意一點0和不共線的三點A、B、C,若點P滿足向量關(guān)系

OP-xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）

試問：P、A、B、C四點是否共面？

解：由OP=+yOB+zOC可以得到AP=yAB+zAC

由A,B,C三點不共線，可知刀與就不共線，所以方，方，就共面且具有公共起點A.

從而P,A,B,C四點共面。

解題總結(jié)：

推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,y使得：

MP=xMA+yMB,或?qū)臻g任意一點0有：OP=OM+xMA+yMB.

3、課堂練習(xí)

（1）已知非零向量?高不共線，如果標=[+晟就=21+8晟赤=3[-3或，求證:

A、B、C、D共面。

（2）已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點0引向量瓦=kOA,OF=kOB,OG=kOC,

OH=kODo求證：（1）四點E、F、G、H共面；（2）平面AC//平面EG。

（3）課本練習(xí)

四、回顧總結(jié)

1、共面向量定理；2、類比方法的運用。

五、布置作業(yè)

課題：空間向量的基本定理

教學(xué)目標：

1.掌握及其推論，理解空間任意一個向量可以用不共面的三個已知向量線性表示，而且

這種表示是唯一的：

2.在簡單問題中，會選擇適當?shù)幕讈肀硎救我豢臻g向量。

教學(xué)重點：空間向量的基本定理及其推論

教學(xué)難點：空間向量的基本定理唯一性的理解

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情景

平面向量基本定理的內(nèi)容及其理解/------------------

如果不是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對_/_

于這一平面內(nèi)的任一向量），有且只有一對實數(shù)4,%,y/

使方=4e2^――-------?-------------/

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1、空間向量的基本定理

如果三個向量1不共面，那么對空間任一向量力，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x,y,z),使p=xet+ye2+ze3

過點。作/=[,而=￡,云=[,而=]&4

過點尸作直線PP平行于OC,交平面于點P；

在平面。48內(nèi)，過點尸'作直線尸W〃。員P'8'〃C%,分別與直線相交于點

A',B',于是，存在三個實數(shù)x,乂z,使

OA=OA=xet,OB=OB=ye-,,OC=OC=ze3

：.0P=0A+0B+0C=x0A+ydB+zdC

所以p=XC|+乎+ze3

(唯一性)假設(shè)還存在x',y,z’使》!

=x%+ye2+z4

!!1

/.xe］+ye2+ze3=xe］+ye2+ze3(x-x)6+(y-y)e2+(z-z)e3=0

不妨設(shè)xwx'即X—X'HO.?.1=-匕匕三―三二

x-xx-x

共面此與已知矛盾???該表達式唯一，綜上兩方面，原命題成立.

由此定理，若三向量［不共面，那么空間的任一向量都可由1線性表示,

我們把｛?，［￡｝叫做空間的一個基底，［gg叫做基向量。

空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底.

如果空間個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底，特別地，當

一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底,通常用上7，%｝表示。

推論：設(shè)0,48,。是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)

x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC.

三、數(shù)學(xué)運用

1、例1如圖，在正方體。4)8-。。8中，，點￡是人8與0口的交點,乂是04與?￡的

交點，試分別用向量而，刃,反表示而和曲

解：