考研2005-2012年數(shù)一答案

20052012年研究生入學(xué)考試（數(shù)學(xué)一）試題答案解析

2005年碩士研究生入學(xué)考試（數(shù)學(xué)一）答案解析

-、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）

x211

（1）曲線y=上一的斜漸近線方程為y=-x--.

2x+l”24

【詳解】因?yàn)閍=lim.=lim=L

?98XXT82Xf+X2

-X￡

b-lim[/(x)-tzx]=lim

X—>8X—>002(2x+l)4

于是所求斜漸近線方程為y=；%一

(2)微分方程xy'+2y=xlnx滿足y(l)=的解為y=；xlnx-；x..

【詳解】原方程等價(jià)為

，2.

y+—y=lnx

x9

于是通解為y=eJinx?eJ/Zx+C]=-^-[jx2\nxdx+C]

1,1八1

=—xInxx+C~,

39x2

由y(D=得C=0,故所求解為y=gxlnx—gx.

⑶包

dng.3)3

【詳解】因?yàn)椤??,包=工，于是所求方向?qū)?shù)為

36dz9

du111111V3

~-，I—?“”一，I?,

dng.3)-3733733V33'

V2,

(4)2兀q_爐.

【詳解】\\xdydz+ydzdx+zdxdy=^^idxdydz

SQ

=3jp~dp^s\n(pd(p^d0=2乃(1一^^)7?3.

1.

(5)\B\=2.

【詳解】由題設(shè)，有

B=(a,+a2+a3,at+2a2+4a3,a,+3a2+9a3)

111111

二(%,。2,)123，于是有忸|=|4123=1x2=2.

149149

(6)叩=2}=—

48

【詳解】P{Y=2}=P{X=1}P{Y=2|x=1}+P{X=2}P{y=2|X=2}

+P{X=3}P{V=2X=3}+P{X=4}尸{Y=2X=4}

」x(O+W)=2

423448

二、選擇題(

(7)C]

當(dāng)W<1時(shí)，/(x)=lim，l+kr=1.

【詳解】

當(dāng)國=1時(shí)，/(x)=limVlTl=1；

n-VTi

/(x)=lim|x|3(^-+l)"=|x|3,

當(dāng)W>i時(shí),

-3

—X,X<-1,

即/(x)=v1,—1<x<1,可見f(x)僅在x=±1時(shí)不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C).

X3,X>1.

(8)fA]

【詳解】方法一：任一原函數(shù)可表示為b(x)=[/⑴力+C,且尸(x)=/(x).

當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時(shí)，有E(—x)=F(x),于是尸'(一x)?(-1)=尸(x),即-f(-x)=/(x),

也即/(—x)=—/(x),可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則⑺力為偶函

數(shù)，從而/(x)=[/(f)力+C為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項(xiàng).

方法二：令f(x)=I,則取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x，則取F(x)=-x2,排除(D);

2

故應(yīng)選(A).

1.

(9)[B]

a

【詳解】因?yàn)椤?(p\x+y)+(p\x一y)+w(x+y)-w(x-y)，

dx

—=<p'(x+y)~(p\x-y)+-(x+y)+y/(x-y)，

Sy

于是—y=(p\x+y)+(p\x-y)+i//\x+y}-ii/'[x-y),

dx

VX-=e"(x+y)—(p"(x-y)+夕'(x+y)+U(x-y),

oxoy

粵=(p\x+y)+(p\x-y)+w'(x+y)-y),獸=獸

dydxdy

(10)[D]

【詳解】令F(x,y,z)=xy—zlny+e"—1,則

xz

F'x-y+ezF'.-x-—,上'=-Iny+e*x,

y

且F；(0,l,l)=2,F；(0,l,l)=-l,￡'(0,l,l)=0.由此可確定相應(yīng)的隱函數(shù)x=x(y,z)和

y=y(x,z).故應(yīng)選(D).

(11)[B]

【詳解】方法一：令k{ai+k2A(a1+a2)=0,則

ktat+&24al+七42a2=0,(kl+k2Al)ai+k2A.2a2=0.

由于明,。2線性無關(guān)，于是有

軟+=0,

左2幾2=0.

當(dāng)712Ho時(shí)，顯然有匕=0,七=0,此時(shí)a1，A（O[+%）線性無關(guān)；反過來,

若%,A（%+%）線性無關(guān)，則必然有400（，否則，%與4%+%）=4%線性相關(guān)），

故應(yīng)選（B）.

14

方法二:由于[aA(?,+%)]=[%，4al+Aa]=[a,a]

1522i2o4

14

可見%，A（%+。2）線性無關(guān)的充要條件是2,。0.故應(yīng)選（B）.

0%

1.

(12)[C]

【詳解】由題設(shè)，存在初等矩陣用2(交換n階單位矩陣的第1行與第2行所得)，使

得=B，于是8*=(/&*=A*E*i22T=-4*號(hào)2,即

A*E|2=—8*,可見應(yīng)選(C).

(13)[B]

【詳解】由題設(shè)，知a+b=0.5

又事件｛X=0｝與｛X+Y=l｝相互獨(dú)立，于是有

p{x=o,x+y=1}=P{X=0}P{x+y=1},

即a=(0.4+a)(a+6),山此可解得a=0.4,b=0.1,故應(yīng)選(B).

(14)[D]

【詳解】由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知，十二=6兄~N(0,l),可排除(A);

/4n

又與9=近工~/(〃一1),可排除(C)；-(H-I)S2不能

沏s「

斷定(B)是正確選項(xiàng).

因?yàn)閄；~%2⑴,~%2(〃_1),且X；~%2⑴與fx；~力2(〃_1)相互獨(dú)

i=2i=2

故應(yīng)選(D).

三、解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

(15)(本題滿分11分)

【詳解】令D,={(x,y)|0<x2+y2<l,x>0,y>0},

22

D2={(x,y)|l<x+y<V2,x>0,y>0}.

則|Jxy[l+x2+y2]dxdy=^xydxdy+2^xydxdy

DAD2

=Esin6cos"“ddr+2Esinecos"e『Pdr

(16)(本題滿分12分)

【詳解】因?yàn)閘im("+D(2〃+D+l〃⑵L1)=],所以當(dāng)一〈I時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收

"T8(〃+1)(2〃+1)〃(2〃-1)+1

1.

斂，當(dāng)f>l時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)的收斂半徑為1,收斂區(qū)間為(一1,1)

記

則

M2M-1

8|

S”(x)=X(-l)"T--2=,xe(-l,l).

由于5(0)=0,570)=0,

所以S'(x)=['S\t)dt=[―^—dt=arctanx,

力力1+產(chǎn)

S(x)=￡Sf(t)dt=￡arctantdt=xarctanx-ln(l+x2).

.8丫2

又^(-l)n-'x2n=—

M1+x

X2

從而/(x)=2S(x)+—

1+x

=lxarctanx-ln(l+x2)+-----,xe(-1,1).

l+x

(17)(本題滿分11分

【詳解】由題設(shè)圖形知,f(0)=0,尸(0)=2；f(3)=2,r(3)=—2J"(3)=0.

由分部積分，知

j(，+x)/(x)dx=^(x2+x)df"(x')-(x2+x)/ff(x)|Jf{x}(2x+\)dx

=-f(2x+l)4'(x)=-(2x+l)/'(x)|；+2ff'(x)dx

=16+2[/(3)-/(0)]=20.

(18)(本題滿分12分)

【詳解】⑴令/(x)=/(x)-l+x,則F(x)在[0,1]上連續(xù)，且F(0)=-l<0,F(l)=l>0,

于是由介值定理知，存在存在Je(0,l),使得產(chǎn)《)=0,即/6)=1一2

(II)在［0,目和4,1］上對(duì)f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個(gè)不同的點(diǎn)

1.

77e(0,J)4eC，l)，使得/'(〃)="?一《°)，〃(7)二弋一/4)

〈一。1一4

于是「⑺f")=F■1

(19)(本題滿分12分)

【詳解】(I)

如圖，將C分解為：C=/,+12,另作一條曲線。圍繞原點(diǎn)且與C相接，則

r(P(y)dx+2xydy=r*()>)—+2xydy_(?(p(y)dx+2xydy=

i'-2x2+y4——-2x2+y4設(shè)—2x2+y4

(ID設(shè)尸=_^1^,Q=—P,。在單連通區(qū)域x〉0內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

2x+y2x+y

由(I)知，曲線積分|■絲絲土學(xué)》在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當(dāng)x>0時(shí)，總有

dQ_dP_

dxdy

dQ_2yW+;/)-4x2盯-4。+2y$

~dx~(2x2+/)2-(2x2+y4)2

3P=O'(y)(2x2+y4)-49(y)y3=2》2-(>)+《(y)y，-4p(y)y3

而一(2x2+y4)2—(27+77'

比較①、②兩式的右端，得

(p'(y)=-2y,③

g〈y)y4一4夕(>))，3=2y5.④

由③得例y)=-y2+c,將夕(y)代入④得2)戶—4cV=2/,

所以c=0,從而夕(y)=—V.

(20)(本題滿分9分)

【詳解】(I)二次型對(duì)應(yīng)矩陣為

1.

1-a1+a0

A1+al-a0

002

l-a1+a0

由二次型的秩為2,知|A|-1+al-a0—0,得a=0.

002

110

(II)這里A110可求出其特征值為4=%=2,4=o.

002

0

解(2E—A)x=0,得特征向量為:

1

解(0E—A)x=0,得特征向量為:

由于%,%已經(jīng)正交，直接將%,%，單位化，得:

7,

令。=[%%]，即為所求的正交變換矩陣，由*=(3丫，可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形:

a2

f(x,,x2,x3)=2y^+2y].

(Ill)由f(xl,x2,x3)=2yf+2y；=0,得y1—0,y2=0,y3—k(k為任意常數(shù)).

從而所求解為：x=Qy=M%為任意常數(shù).

(21)(本題滿分9分)

【詳解】由AB=O知,B的每一列均為Ax=0的解,且r(A)+r(6)<3.

(1)若1<工9,貝IIr(B)=2,于是r(A)Wl,顯然r(A)21,故r(A)=l.可見此時(shí)Ax=0的基

礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為3-r(A)=2,矩陣B的第一、第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系,

1.

乩,…

4V)

(2)若k=9,則r(B)=l,從而14r(A)42.

I）若r（A）=2,則Ax=O的通解為:x，占為任意常數(shù).

2）若r（A）=l,則Ax=O的同解方程組為：ax1+法2+CX3=°，不妨設(shè)。7°，則其通解

為x2為任意常數(shù).

（22）（本題滿分9分）

【詳解】（I）關(guān)于X的邊緣概率密度

'dy,O<X<l,

fx(%)=f(x,y)dy=<J)

0,其他?

2x,0<x<1,

=\o,其他

關(guān)于Y的邊緣概率密度

￡dx,0<y<2,

0,其他

l_2,0<y<2,

o2其他

(ID令尸Z(Z)=P{Z4Z}=P{2X-24Z}，

1)當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)z(z)=P{2X-Y<z}=0x

2)當(dāng)0?z<2時(shí)，F(xiàn)z(z)=P{2X-Y<z}

3)當(dāng)z22時(shí)，F(xiàn)z(z)=P{2X-Y<z}=i.

1.

°，z<0,

1-

2

即分布函數(shù)為：Fz(z)="z--z,0<z<2,

1,z?2.

I_J_70<z<2,

故所求的概率密度為：/z(z)=42廿八

0,其他

(23)(本題滿分9分)

【詳解】由題設(shè)，知X1,X2,…,*"(”>2)相互獨(dú)立，且

EXi=0,OX‘=1(/=1,2,???,?),￡X=0.

(I)DYt=D(Xi-X)=Z)[(l-1)X,.--VX.]

ii"

=(>—)2￡>Xj+uXOX,

(〃一I/1,八77-1

+--(n-l)=

n~nn

(II)Cov(y,,Yn)=E[(r1-EYi)(F?-EYn)]

=￡(y1y?)=F[(x1-x)(x?-x)]

=E(X1X〃-xK-x“T+*)

=E(X1X,)-2E(X漢)+EX2

2〃__

=0--E[X,2+Y++(EX)2

n>2

=--21-1=--1.

nnn

2006年碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題及答案解析

二、填空題：1—6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線匕

xln(l+x)

(1)iim--------=2.

xf01-cosx一

,,王也、rxln(l+x)XXc

【詳解】hm--------=hm-——=2.

1-cos

x-1X2

2

i.

(2)微分方程>'=史二?的通解是》=。猊7(》00).

x---------------

【詳解】原方程等價(jià)為

兩邊積分得Iny=Inx—x+q,整理得

y=Cxex.(C=eC|)

(3)Ij.rdydz+2ydzdr+3(z-l)dxdy=2乃.

E

【詳解】設(shè)4：z=l(x2+y2<l),取上側(cè)，則

JJxdydz+2ydzdr+3(z-Ddrdy

jjxdydz+2ydzdr+3(z-l)dxd),-JJ.xdydz+2ydzcLx+3(z-l)dxdy.

E+E]S|

而JJxdydz+2ydzdx+3(z-l)drdy=jj16dv=6j~d^J'rdrjdz24，

S+S|v

jjxdydz+2)也dr+3(z-l)dxdy=0.

所以JJxdydz+2ydzdx+3(z-l)dxdy=27r.

(4)點(diǎn)(2,1,0)到平面3%+4y+5z=0的距離d=五.

【詳解】d=喀上3s

V32+42+52

【詳解】由題設(shè)，有

B(A-E)=2E

11..

于是有\(zhòng)B\\A-E\=4,而|4_同=1=2,所以忸|=2.

-1

(6)P{max{X,r}<l}=1.

【詳解】由題設(shè)知，x與y具有相同的概率密度

1.

〔0,其他

則尸{max{x,y}?i}=p{x<i,y<1}=p{x<i}p{y<i}

=(P{X?I})2=[*)=，

【評(píng)注】本題屬幾何概型，也可如下計(jì)算，如下圖：

S1

則尸{max{X,y}W1}=P{XWl,y41}=衛(wèi)=—.

S9

二、選擇題：7—14小題，每小題4分，共32分.

(7)[A]

【詳解】由/'。)>0,7"(刈>0知，函數(shù)/3)單y?

J=7(x)

調(diào)增加，曲線y=/(x)凹向，作函數(shù)y=/(x)的圖形如[

右圖所示，顯然當(dāng)Ax>0時(shí)，

,

△y>dy=f'(xn)dx=/(x0)Ar>0,故應(yīng)選(A)-0|x。x0+Axx

(8)[CJ

.【詳解】由題設(shè)可知積分區(qū)域0如右圖所示，顯然是y型域，則

原式=Fdy1/(x,y)dx

4/*

故選(C).

(9)[DJ2

0000

【詳解】由“收斂知\>用收斂，所以級(jí)數(shù)011'

n=ln=l

9氏+"田收斂,故應(yīng)選(D).

占2

或利用排除法:

1.

取a“=(—l)"L,則可排除選項(xiàng)(A),(B)；

n

1

取4=(—1)"則可排除選項(xiàng)(C).故(D)項(xiàng)正確.

yfn

(10)[D1

【詳解】作拉格朗日函數(shù)F(x,y,/l)=/(x,y)+九。(兌y)，并記對(duì)應(yīng)玉),%的參數(shù)幾的

值為4，則

工'(/，加4)=0人’(入0，%)+4化'(/，〉'0)=。

Fy(%,%，4)=0力'(%,為)+4%'(/，%)=0

消去4,得

f'(無0，%)%'(小，%)-fy(%,%)%'(%,%)=0,

整理得f'(x?，%)=----f'(Xo,先)(p：(Xo,%).(因?yàn)?p：(x,y)/0),

%—

若￡(%,%)聲0,則fv'(Xo，%WO.故選(D).

(11)[C]

【詳解】記5=(四,。2,…,a,)，則(Aai.Aa2,…,Aa,)=A8.

所以，若向量組％,a2，…,《線性相關(guān)，則r(8)<s,從而r(A6)Wr(B)<s,向量組

A,,Aa2,…,Aa,也線性相關(guān)，故應(yīng)選(A).

(12)[B]

【詳解】由題設(shè)可得

‘110、4-1Q10>(\-10、

B=010A,C=B010=010A010

110

、00"、0001八00

‘1-10、

而尸7=010則有C=PAP，故應(yīng)選(B).

、。0"

(13)[B]

【詳解】由題設(shè)，知尸(AIB)==1,即尸(AB)=P(A).

1.

又P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A).

故應(yīng)選(C).

(14)[D]

【詳解】由題設(shè)可得

、/b]、％b:

2of—kl>2O(i、

則。?-1,即①—>0)

其中O(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).

又①(X)是單調(diào)不減函數(shù)，貝即

CT|＜72

故選(A).

三、解答題：15—23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

【詳解】積分區(qū)域。如右圖所示.因?yàn)閰^(qū)域。關(guān)于x軸對(duì)稱，

函數(shù)/(x,y)=-7~r是變量y的偶函數(shù)，

l+x~+y-

函數(shù)g(x,y)=---v——？是變量y的奇函數(shù).

l+x+y

則

[(-------ydrdy=2[[----，----AxAy=2pd。

J,Jl+x2+y2-JJl+x2+y2-』)

dxe

?1T人十7)

(16)(本題滿分12分)

【詳解】(I)因?yàn)?＜玉＜萬，則0＜々=sinX]

可推得0＜x,,+|=sinx“K1〈肛〃=1,2,…，則數(shù)列｛%｝有界.

于是&=任幺＜],因當(dāng)x＞0時(shí),sinx＜x),則有x,川＜x“，可見數(shù)列｛xj單

A

1.

調(diào)減少，故由單調(diào)減少有卜界數(shù)列必有極限知極限limx”存在.

設(shè)limX”=/，在x=sinx兩邊令〃r8,得/=sin/,解導(dǎo)/=0,即lim=0.

n—><x>n+lnn->oo

I1

(ID因lim如“=lim空當(dāng)?"，由(I)知該極限為「型，

M—>ooYrt—>coAY-

\7knJ

令f=X“，則〃一而

sin/

i-------1

c-1(sinz八「sinr-rcosr-1-sinr1

又lim------1=hm------=lim-------=lim-----=——

J。rvt)一°rt。3rt。6t6

（利用了sinx的麥克勞林展開式）

=e6.

（17）（本題滿分12分）

YxAB

-----------=-----1----

【詳解】K(2-x)(l+x)2-x1+x

21if?1]__1_____1_

比較兩邊系數(shù)可得A=—,8=-一，即/。)=------------

33312-x1+x3口一可

I2

1818(元丫

而----=e(-1,1)?----=Z彳，X￡(-2,2),

1+Xn=0I——"=012J

2

故

f(x)=一=彳之(一1)"￡」切(—1嚴(yán)(-1,1).

2+x-x231白,￡2"J2"J

（18）（本題滿分12分）

【詳解】（D設(shè)〃=jY+J,則

包=r（〃）T^,包=八"）4=

&7777辦乒了

1.

X2

)野+>2

2

SzXY

222

+yr+y

X2

r(M).___+r(M).T'

)+力5

彖加）.*+小，）.X2

r*

，+疔

2222

物dzdz心x6z,8znza

將旅'廳代入布+凝=°得

/"(〃)+位=0.

u

(II)令r(w)=p,則p'+K=0n^=—包，兩邊積分得

upU

Inp=-InM+InC,>即p=J,亦即/'(〃)=」.

uu

由廣⑴=i可得G=i.所以有/'(〃)=->兩邊積分得

U

f(u)=In”+。2，

由/(1)=0可得。2=°，故/3)=ln”.

(19)(本題滿分12分)

【詳解】/(fx,Zy)=尸/(x,y)兩邊對(duì)f求導(dǎo)得

xf'(tx,ty)+yfy(tx,ty)=-2t~3f(x,y).

令t=l,則xf'(x,y)+yf'Xx,y)=-2f(x,y).①

設(shè)尸(居》)=?(%,>),。(居>)=一4(居》)，則

~=~f(x,y)-猶.'(x,y),%=f(x,y)+yf',{x,y).

dxoy

則由①可得

故由曲線積分與路徑無關(guān)的定理可知，對(duì)。內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L,

都有

LW(X,y)dx-xf(x,y)dy=0.

1.

（20）（本題滿分9分）

【詳解】⑴設(shè)是方程組Ax=￡的3個(gè)線性無關(guān)的解，其中

'1111、-1

A=435-1,p-1

13b,17

則有AQ_%)=0,AQ

則%-a2，/-是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax=O的解，且線性無關(guān).（否則，易推出

線性相關(guān)，矛盾）.

所以n-r(A)>2,即4—尸(A)22nr(A)42.

11

又矩陣A中有一個(gè)2階子式=—1*0,所以?4)W2.

43

因此r(A)=2.

(II)因?yàn)?/p>

111、T11T111

A=435-101-50-11-5

1304—2。

b7、°3—cib-a7、°b+4a-57

又r(A)=2,則

4-2a=0a=2

n<

/?+4a-5=0b=-3

對(duì)原方程組的增廣矩陣A施行初等行變換,

1111-1、02-42、

A435-1-10-15-3

213-31,,000007

故原方程組與下面的方程組同解.

x]=-2X3+4X4+2

x2=x3—5X4-3

選七,甚為自由變量，則

1.

%=—2項(xiàng)+4,j+2

x2=x3-5X4-3

工3=七

X4=x4

故所求通解為

42

-5-3

,占，。為任意常數(shù).

00

0

（21）（本題滿分9分）

【詳解】（I）因?yàn)榫仃嘇的各行元素之和均為3,所以

|T

A1

則由特征值和特征向量的定義知，2=3是矩陣A的特征值，1=（1,1,1尸是對(duì)應(yīng)

的特征向量.對(duì)應(yīng)4=3的全部特征向量為ka,其中k為不為零的常數(shù).

又由題設(shè)知Aa}=0,Aa2=0,即4a?=0-%,Aa?=0，a2，而且線性無

美,所以4=0是矩陣A的二重特征值，是其對(duì)應(yīng)的特征向量，對(duì)應(yīng)九=0的全

部特征向量為匕%+七%，其中配七為不全為零的常數(shù).

（II）因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以a與四,a2正交，所以只需將正交.

取B\=a、,

0-12

-3

-120

6

再將a,笈，△單位化，得

1.

n，I

f而F

aA2AO

同

=-f-w=忑==

1IAI

B瓦_(dá)&L

令。=[7，%，小]，則QT=Q'「，由A是實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化，得

3

QrAQ=0=A.

0

（22）（本題滿分9分）

【詳解】（D設(shè)丫的分布函數(shù)為4⑶），即4（y）=P（YWy）=P（X2?y）,則

1)當(dāng)y<0時(shí),耳（〉）=0；

2)

-dx+

2

,2

3)當(dāng)IKy<4時(shí)，F(xiàn)x(y)=/(X<y)=F(-l<X<

=￡9+-2?

4)當(dāng)yN4,%(y)=l.

所以

/"J"

4(y)=4'(y)=,

0,其他

(ID「f=巾~八4Hx“弓X&

=P(X<--,-2<X<2]=P(-2<X<--

I2JI2J

1.

(23)(本題滿分9分)

【詳解】記似然函數(shù)為L(6),則

L⑻=夕6??…8(1_8>(1叫?(1叫=*一)"”

兩邊取對(duì)數(shù)得

lnL(6)=Nln6+(〃—N)ln(i),

令dinUO)=N__n-N=°,解得d=△.為。的最大似然估計(jì).

6391-0n

2007年碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題及答案解析

一、選擇題：(本題共10小題，每小題4分，共40分.

(1)[B]

【詳解】當(dāng)X—>0.忖，有l(wèi)-e"=-(e"-l)—>/x；J1+V7—1~；

1-cosVx~—(A/X)2=—X.利用排除法知應(yīng)選(B).

22

(2)[D]

【詳解】因?yàn)閘im[L+ln(l+e')]=oo,所以x=O為垂直漸近線：

1。X

又lim[l+ln(l+eJ)]=0,所以y=0為水平漸近線；

IFX

、什止ry1.r1ln(l+e)ln(l+eA)ex1

進(jìn)一步，lim—=lim[—+--------]=rlim--------=rlim------=1,

A：—>4-00尤.r—>-KOxxf+ccJQXTMO]_|_gX

lim[)?-l-x]=lim[—+ln(l+ex)-A-]=lim[ln(l+^v)-x]

X-?+oOXT+oOXXT+OO

=lim[Inex(\+e-x)-x]=limln(l+"*)=0,

XT+oOX—>-KO

于是有斜漸近線：y=x.故應(yīng)選(D).

(3)[C]

【詳解】根據(jù)定積分的幾何意義，知尸(2)為半徑是1的半圓面積：/(2)=，萬，

2

11)33

P(3)是兩個(gè)半圓面積之差：/(3)=—[4?「0一",(—)*■]=—"=—/(2),

2284

/(-3)=f(x)dx=-￡3/(X)JX=[：/(x)dx=F(3)

因此應(yīng)選(C).

(4)[D]

【詳解】(A),(B)兩項(xiàng)中分母的極限為0,因此分子的極限也必須為0,均可推導(dǎo)出式0)=0.

1.

若lim&^存在，則/(0)=0,尸(0)=lim一/(°工lim=0,可見(C)也正確,

一。x-0x-0…。x

故應(yīng)選(D).事實(shí)上，可舉反例：/(x)=W在x=0處連續(xù)，且

lim/①一/(辿=]而凡二臼=0存在，但/(x)=1x1在x=0處不可導(dǎo)。

XTOxXTOx

(5)[D]

【詳解】設(shè)?=/,則/(x)在(0,+oo)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且/"(x)>0,%<的,但

{〃“}={〃2}發(fā)散，排除(C);設(shè)犬》)=，,則加)在(0,+8)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且

X

f"M>O,U]>“，，但{〃“}=山收斂，排除(B);又若設(shè)/(x)=—Inx,則山)在(0,+8)上

n

具有二階導(dǎo)數(shù)，且/"(x)>0,4>/，但{%}={-ln〃}發(fā)散,排除(A).故應(yīng)選(D).

(6)[B]

【詳解】設(shè)M、N點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M(X”M),N(X2，%)，玉<々，必〉巴?先將曲線方

程代入積分表達(dá)式，再計(jì)算有：

j/