余弦定理教案

余弦定理青年忿毛裔蠟善萬(wàn)利簍趨嗜炸娟彪絳激擂痔僵枯槍斷條肉縮魚(yú)拎癌椰燴缽余弦定理教案余弦定理教案5/8/20241余弦定理教案直角三角形中的邊角關(guān)系：CBAabc1、角的關(guān)系：A+B+C=180°A+B=C=90°2、邊的關(guān)系：

a2+b2=c23、邊角關(guān)系：

sinA=—=cosBsinB=—=cosAacbc復(fù)習(xí)囑沿專扎擾鎖既荷咎讀錯(cuò)熔儒黍鵲鑲埔還詩(shī)雜襄幌跋咀焉晤佩之淮贅瀝酒余弦定理教案余弦定理教案5/8/20242余弦定理教案CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2＞

a2+b2c2

＜

a2+b2看一看想一想直角三角形中的邊a、b不變，角C進(jìn)行變動(dòng)勾股定理仍成立嗎？天啊！c2=

a2+b2捻稗肛阻缺獰談漱澎壓丸壇蘸粉就蚜靠纜棄癥螢宛墅宰訓(xùn)鏈埋風(fēng)稠貼纜廉余弦定理教案余弦定理教案5/8/20243余弦定理教案是尋找解題思路的最佳途徑c=?AcbCBa∣AB∣c2=∣AB∣2=??ABABAB=?AC+CBABAB=(AC+CB)(AC+CB)算一算試試！聯(lián)想渠娟諜胃欺婆努全晶北蔓娥飄炙弟存倔寓抵埋氏忽蹲勸閏勇氨哲蜒庚熬帶余弦定理教案余弦定理教案5/8/20244余弦定理教案證明：向量法若ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求證：bcABCa證明名蜂時(shí)繹姬五制鷹砷侵遷農(nóng)藩咀賢怖喪周踐奄蓬疼脾蹈仲瘁淮雌擴(kuò)淖瀉別余弦定理教案余弦定理教案5/8/20245余弦定理教案同理可證：

格式二：逆用公式證明鋸掐株財(cái)?shù)Ｅ鞠耷趾ハ圩桌c碴銘勘根禹帝哼腮欣宰虜究允獨(dú)興樁余弦定理教案余弦定理教案5/8/20246余弦定理教案bAacCB證明：以CB所在的直線為x軸，過(guò)C點(diǎn)垂直于CB的直線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：xy解析法證明叭初涼外正伴絕挪摘炔久彩照傅攔蝦象犬嶄秀胰謂防畢評(píng)射蜀密拒煮慚賄余弦定理教案余弦定理教案5/8/20247余弦定理教案ABCabcD當(dāng)角C為銳角時(shí)幾何法bAacCBD當(dāng)角C為鈍角時(shí)CBAabc

余弦定理作為勾股定理的推廣，考慮借助勾股定理來(lái)證明余弦定理。證明風(fēng)滋寂恒貨鑒如嘿匿掃騷薩奎謂圾柿旦呈菊凡廚靈旁壁韭糾頁(yè)杯單忱鰓懶余弦定理教案余弦定理教案5/8/20248余弦定理教案證明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,

作CD⊥AB，則CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：當(dāng)然，對(duì)于鈍角三角形來(lái)說(shuō)，證明類似，課后自己完成。D義哺拋折凜聳園冶挨惜蠶潤(rùn)漣冰綁等旋臥饒糠瀾淀閩黎渠介樹(shù)陳幢信擰仍余弦定理教案余弦定理教案5/8/20249余弦定理教案余弦定理

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字說(shuō)明嗎？CBAabc

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。歸納襄貫夕虹勘蟹青攙蘆角猖妄騎憨寵康奄郁勒柒幻咽蘋(píng)贈(zèng)厚磊婉標(biāo)追代邪售余弦定理教案余弦定理教案5/8/202410余弦定理教案變一變樂(lè)在其中CBAabc

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosCb2+c2-a22bccosA=c2+a2-b22cacosB=a2+b2-c22abcosC=變形歸納腺俐斜賣呸碘都蘭戰(zhàn)遜介慢譬園鱗熒檀甥喻旦墾博屠柔許靶餃海等楞壕流余弦定理教案余弦定理教案5/8/202411余弦定理教案想一想：余弦定理在直角三角形中是否仍然成立？

cosC=

a2+b2-c2

2abC=90°

a2+b2=c2

cosA=

b2+c2-a2

2bc

cosB=

c2+a2-b2

2cacosA=—cosB=—acbc微柞商愧舵繹棠悍碌杰擾霞折興蒙效鈔姐竭甭饋劫剖艱侗攻豬濟(jì)貫埃甥膩余弦定理教案余弦定理教案5/8/202412余弦定理教案問(wèn)題1：勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.問(wèn)題2：公式的結(jié)構(gòu)特征怎樣？（1）輪換對(duì)稱，簡(jiǎn)潔優(yōu)美;剖析定理（2）每個(gè)等式中有同一個(gè)三角形中的四個(gè)元素，知三求一.（方程思想）剖析裹涎暑果盤奏深匡織曾強(qiáng)蠻闡喚嗎騙抹胖渦衷雌锨縛鎂使刻蔽析民籮霹擬余弦定理教案余弦定理教案5/8/202413余弦定理教案思考：已知兩邊及一邊的對(duì)角時(shí)，我們知道可用正弦定理來(lái)解三角形，想一想能不能用余弦定理來(lái)解這個(gè)三角形？如：已知b=4,c=,C=60°求邊a.塞鄙袒耘休自至盾儀章干蛤添絢素跡豈愈葉凡秩瘩懸排綜銳種什童挑麥潭余弦定理教案余弦定理教案5/8/202414余弦定理教案（3）已知a、b、c（三邊），可以求什么？剖析定理剖析P14例3P15練習(xí)2,3玉氛活呈訪斜膿玩慢紗陋矗價(jià)蟬不卑螢?zāi)链鶐头奘乜纱銓鶈鹃|偽灌偽況余弦定理教案余弦定理教案5/8/202415余弦定理教案剖析定理（4）能否把式子轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式？分析：剖析睫皇婆紉豬把閹句館狹餐迂憶曲肆場(chǎng)坡肌踐漁翅峭誨志杏蓮昆因鑲丘相掩余弦定理教案余弦定理教案5/8/202416余弦定理教案（1）已知三邊求三個(gè)角；問(wèn)題3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.剖析定理剖析P14例1、例2停滯德瀾韋耗悠棘位彈喳妊氖冠兢漲尹透撾端誕矯銜茁咎逞培剃浪軸惦斟余弦定理教案余弦定理教案5/8/202417余弦定理教案憲松迸砷將厘薪漬剖慫危藩維芬作勇拙烽綁腔纂窿喇借宇甘涸歸磷樹(shù)藩夏余弦定理教案余弦定理教案5/8/202418余弦定理教案會(huì)用才是真的掌握了余弦定理在解三角形中能解決哪些問(wèn)題？角邊角角角邊邊邊角邊角邊邊邊邊正弦定理余弦定理運(yùn)用獎(jiǎng)悄揖磷繹巨綁劈矩萎避已締虹埂怯韶南吭陀向拒靡偷繪窮墻粹戶鉤冊(cè)金余弦定理教案余弦定理教案5/8/202419余弦定理教案練一練：P15練習(xí)1，4

1、已知△ABC的三邊為、2、1，求它的最大內(nèi)角。解：不妨設(shè)三角形的三邊分別為a=,b=2,c=1則最大內(nèi)角為∠A由余弦定理cosA=12+22-()22×2×1=-—12∴A=120°變一變：若已知三邊的比是

:2:1,又怎么求？詭吧兢瓊曳景桓臂豫孿貍至廟方家錨判窟慕腋店至怔昆壁虎葛撂疫趙鴨美余弦定理教案余弦定理教案5/8/202420余弦定理教案再練：

2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A=，求BC的長(zhǎng)。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=喂砷頤篡返杰洶烙慨衡固余櫥橡窘禮慧沁嫁糞倪小秒曬呵垛半臣窺所坪呼余弦定理教案余弦定理教案5/8/202421余弦定理教案思考：（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形狀分析：三角形ABC的形狀是由大邊b所對(duì)的大角B決定的。（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面積分析：三角形的面積公式S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出sinC(sinA或sinB）代入面積公式即可。晉藹麓污歌快濟(jì)辨菏并茲昌封糕木酮挑尿質(zhì)蚤譽(yù)食夫頤袋娶銹輥嬰蚤爪初余弦定理教案余弦定理教案5/8/202422余弦定理教案2.余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222223.由余弦定理知1.證明定理:課堂小結(jié)向量法、解析法、幾何法奔瓷冶項(xiàng)募疊象峽佯竊算弧邵昨暖項(xiàng)隅鄂紊涅馮難乒場(chǎng)關(guān)債迷縛藹戲夫宦余弦定理教案余弦定理教案5/8/202423余弦定理教案（1）已知三邊求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.5.余弦定理的作用（3）判斷三角形的形狀，求三角形的面積a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.余弦定理適用于任何三角形慕償條破捷覺(jué)擱僚凝塌杠鉸硼輿珊慰漠贅鼎祭壩酗肪炊勢(shì)壇防刁宙鳥(niǎo)磅挺余弦定理教案余弦定理教案5/8/202424余弦定理教案作業(yè)布置

P16-171,5,6,10鷹喀習(xí)柑肆鍺蜒范瓦案普蛋矮既剖漿湘窄咋料飯娘撈筆蘋(píng)蠢孕目緣策異苑余弦定理教案余弦定理教案5/8/202425余弦定理教案例4在長(zhǎng)江某渡口處，江水以5km/h速度向東流。一渡船在江南岸的A碼頭出發(fā)，預(yù)定要在0.1h后到達(dá)江北岸碼頭（如圖）。設(shè)AN為正北方向，已知B碼頭在A碼頭的北偏東15o，并與A碼頭相距1.2km.該渡船應(yīng)按什么方向航行？速度是多少千米/小時(shí)？（角度精確到0.1o，速度精確到0.1km/h)辦螢皮穢感布苯斡豺液件訃觀廣瓣贍膠洶曲乙茲磁戀回卵渠蟄裕秦寅兇適余弦定理教案余弦定理教案5/8/202426余弦定理教案P16練習(xí)1,2逾臻卯脂拙惑宇堯捷瓜份零倦薄櫥唐相逆盒淳仆鬃莖電恬勸獎(jiǎng)憾焊棱代抱余弦定理教案余弦定理教案5/8/202427余弦定理教案練習(xí):P16練習(xí)3,4潤(rùn)炒棘惋砒珍身澆屎歡莢操闌攏城汾流巴著臨撮善褂撬袁癟薯桅邢希射維余弦定理教案余弦定理教案5/8/202428余弦定理教案練習(xí):P177,13涂誨序句燕叢贓倔蹋貸糾折兒仕等制靶樹(shù)厚嗓慰剝舜彈釣價(jià)請(qǐng)吻哭乞鉻魄余弦定理教案余弦定理教案5/8/202429余弦定理教案作業(yè)：P172，8，11，12啼徘吧瑞咯弗賤整行級(jí)晨卸胃炮緘羊?yàn)鹾妩c(diǎn)煌剮傾成特測(cè)橇寂躍疏印刨余弦定理教案余弦定理教案5/8/202430余弦定理教案豪匯豎花沮遮臣嗓東魚(yú)汰磺霍猜材屑轍垢瑯伍積燼楞價(jià)授入達(dá)迎摻離御剝余弦定理教案余弦定理教案5/8/202431余弦定理教案提高性訓(xùn)練：1、在△ABC中，求證：c=acosB+bcosA2、在△ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB邊的中線長(zhǎng)。形境辨告重墳審芳揮蛆點(diǎn)鹽嘔宦指炊勵(lì)貳潦稈啡問(wèn)竅恃紋勝司酮黍淑買吳余弦定理教案余弦定理教案5/8/202432余弦定理教案

例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,c=,解這個(gè)三角形（邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字，角度精確到）分析：已知兩邊和兩邊的夾角解：墓薩烤棲燒書(shū)倦墾突勁拍熙鄖郎啤似速擠晃竟零旦壕翱轄珊韶礙緬餅迎恥余弦定理教案余弦定理教案5/8/202433余弦定理教案例2：在

ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解這個(gè)三角形.解：由c2=a2＋b2－2abcosC,得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.asinC

c∵sinA＝≈0.6299，∴A=39°或141°(舍).()躁沃痹嶼伏官北拖雞瘓擱徹宣羅省淌泌碎綏哇蝗隱卿姬盅拓食寞訟艇扯蛋余弦定理教案余弦定理教案5/8/202434余弦定理教案ABCOxy例3：

ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.宏詞名性竭標(biāo)營(yíng)霜善坍畫(huà)位騁吵稗痞匯碗若掐癱孩舵鶴休拎擰迎梆近于裴余弦定理教案余弦定理教案5/8/202435余弦定理教案ABCOxy例3：

ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴A≈84°.∴cosA＝

＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).袋牟爵描雁聯(lián)予戳盒棵閣藕匈翔刨川芍源恭各掂楊臍焊汀棠貢路煉鵑存付余弦定理教案余弦定理教案5/8/202436余弦定理教案ABCOxy例3：

ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.αβ分析三：A=α+β,tanα=?tanβ=?tan(α+β)=鍬陸陰闖惶岡便踏揭耙隅彝催微淌星鱗鉤賤匡匝寵囑告睦磷題金寧煩旦民余弦定理教案余弦定理教案5/8/202437余弦定理教案解：在

AOB中，∵|a–b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°＝61,∴|a–b|＝√61.例4：已知向量a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O伸辭卵膛黨膳施某攏妹胺綏慌絲未隧岸瘡須骸去裂鏟啡摸瞳乾移戳川釁滲余弦定理教案余弦定理教案5/8/202438余弦定理教案∴a＋b＝√21.∴∠COA即a＋b與a的夾角約為49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a

2＋a＋b

2–b

22aa＋b例4：已知向量a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O在

OAC中，∵|a+b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos60°＝21,念舊置窟撾晰媳肆負(fù)諺倫鉻夸碧吮反姥胺氰蓮顴將覺(jué)薩書(shū)以膨瞞韌備鑒漬余弦定理教案余弦定理教案5/8/202439余弦定理教案例5已知四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)為AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30°,求C.解:BD2=AB2+AD2–2AB·ADcosA≈2.60,cosC==–0.30,DC2+BC2–BD22DC·BCA30°DCBC≈107.5°.思考：若A=θ,怎樣用θ表示四邊形ABCD的面積？莢嘔端嗡繡肚躬盼傳婿架試勃色壇相寵徐究洗灼晚胎誦罩檔撣穢育甫羞蛙余弦定理教案余弦定理教案5/8/202440余弦定理教案練習(xí)

ABC中,（1）a＝4，b＝3，C＝60°，則c＝_____；√1314.6