2019年高考理數(shù)真題試卷（全國Ⅱ卷）(+答案+解析)

2019年高考理數(shù)真題試卷(全國I[卷)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.

1.設(shè)集合A={X|X2-5X+6>0},B={X|X-1<0},貝l]AnB=()

A.(-8,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D,(3,+8)

2.設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC1=1,則樂?就=()

A.-3B.-2C.2D.3

4.2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大

成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問

題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星"鵲橋"，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行.人點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位

于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為Mi,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,打點(diǎn)到月球的距離

為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：

徐+裳=(R+r)胃.設(shè)a=(,由于a的值很小，因此在近似計(jì)算中謨?nèi)?a3，則「的

近似值為()

5.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)

最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是()

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差

6.若a>b,則()

A.ln(a-b)>0B,3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|

7.設(shè)a,B為兩個(gè)平面，則allB的充要條件是()

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與B平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與B平行

C.a,B平行于同一條直線D.a,B垂直于同一平面

8.若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓^+—=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=()

3。p

A.2B.3C.4D.8

9.下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(;,)單調(diào)遞增的是()

A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|

10.已知a￡(0,今，2sin2a=cos2a+l,貝Usina二()

A.iB.—C.—D.—

5535

11.設(shè)F為雙曲線C：m―寫=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。尸為直徑的圓與圓

a2b2v'

x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若\PQ\=\OF\,則C的離心率為()

A.V2B.V3C.2D.V5

12.設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,滿足/(%+i)=2/(%)，且當(dāng)工￡(0,1]時(shí)，/(%)=%(%-1).若

對(duì)任意久6(-8,7n|,都有/(%)>-1，則m的取值范圍是()

97KH

A.(―0°,-]B.(―0°,-]C.(―0°,-]D.(―0°,-]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97,有20

個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98,有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估

計(jì)值為.

14.已知/(%)是奇函數(shù)，且當(dāng)久<0時(shí)，/(%)=飛。*.若f(1n2)=8,貝!Ja=.

15.AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B，則AABC的面積為.

16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南

北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是"半正多面體"(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍

成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一

個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長為.

圖1圖2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.如圖，長方體ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AAi上，BEXECi.

(1)證明：BE_L平面EBiCi：

(2)若AE=AiE,求二面角B-EC-Ci的正弦值.

18.U分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲

勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的

概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.

(1)求P(X=2)；

(2)求事件"X=4且甲獲勝”的概率.

19.已知數(shù)列同｝和｛bn｝滿足ai=l,bi=0,4a"+i=3an—bn+4,4bn+1—3bn—an—4.

(1)證明:｛an+bn｝是等比數(shù)列，｛a「bn｝是等差數(shù)列;

(2)求｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式.

20.已知函數(shù)/(x)=lnx-詈.

(1)討論f(X)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

x

(2)設(shè)Xo是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(xo,InXo)處的切線也是曲線y-e的切線.

-1

21.己知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為--.記M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PELx軸，垂足為E,連結(jié)QE并延長交C

于點(diǎn)G.

(i)證明：APQG是直角三角形；

(ii)求APQG面積的最大值.

四、選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］在極坐標(biāo)系中，0為極點(diǎn)，點(diǎn)M(po,Oo)(po>0)在曲線C:p=4sind

上，直線I過點(diǎn)力(4,0)且與0M垂直，垂足為P.

(1)當(dāng)時(shí)，求Po及I的極坐標(biāo)方程；

(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段0M上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

23.［選修4-5：不等式選講］已知f(x)=\x-a\x+|x—2|(x—a).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式/(x)<0的解集；

(2)若％e(—8,。時(shí)，/(%)<0,求a的取值范圍.

答案解析部分

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.

1.【答案】A

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

【解析】【解答】解出集合A的解集為〉3或x<2},集合B為&|x<1}，由此可求出A1"1B=

{x|x<1},

故答案為：A

【分析】首先求出兩個(gè)集合，再結(jié)合集合交集的定義即可求出結(jié)果。

2.【答案】C

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

【解析X解答】根據(jù)題意首先求出復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)z-=-3-2j，則z-的共朝復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-3,

-2)，進(jìn)而得到所對(duì)于的點(diǎn)在第三象限。

故答案為：C

【分析】首先求出該復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)，然后取出其共輾復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而即可判斷出該點(diǎn)位于

第三象限。

3.【答案】C

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

【解析】【解答】蔡—記=晶=(3,t)-(2,3)=(l，t-3),|彘|=Jl+Q-3)2=1,求出t=3即

可得出BC=(L。)=2x14-3x0=2.

故答案為：C

【分析】首先利用向量的減法求出向量BC的坐標(biāo)，再利用向量的模的公式求出t的值，結(jié)合向量的數(shù)量

積運(yùn)算公式代入數(shù)值求出結(jié)果即可。

4.【答案】D

【考點(diǎn)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的互化及其化簡運(yùn)算

【解析】【解答】根據(jù)題意可得'=喉=啊MI，等號(hào)兩邊同時(shí)乘以R2，可得事Mi+^M2=

(R十9rR八(R+Pr

21.1

曲Mi，(1+工)2Mi+?M2=(1+°)Mi'由矢口ap口11+?)MaMaM，

RI,TRJrRRa

M2_rr-i、1](1+a)3Ta(a2+3a+3)上日百占/人“tg3a3-1-3a4+a53

a)-2，3a,

—[(1+京*]Mi=(1+q)2Mi=(i+a)Mi由就中結(jié)出的-/

故答案為：D

【分析】利用已知的代數(shù)式整理化簡即可得出結(jié)果。

5.【答案】A

【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

【解析】【解答】A項(xiàng)，中位數(shù)是以通過排序后的最中間一位數(shù)，不受最大、最小兩個(gè)極端數(shù)值的影響。

故A項(xiàng)正確，符合題意。B項(xiàng)，平均數(shù)是指一組數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，因此不論哪一個(gè)數(shù)據(jù)的變化

都有可能影響一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤。C項(xiàng)，方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)。因

此一組數(shù)據(jù)中的任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變化都有可能使方差變化，故C項(xiàng)錯(cuò)誤。D項(xiàng)，極差是指最大值減最小值

后所得的數(shù)值，題中將最大，最小值除去了，故有可能影響數(shù)據(jù)的極差，故D項(xiàng)錯(cuò)誤。

故答案為：A

【分析】結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、方差以及極差的定義逐一判斷即可得出結(jié)果。

6.【答案】C

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

【解析】【解答】A項(xiàng)，因?yàn)閍>b,所以a-b>0,但不能確定是否滿足a-b>l,當(dāng)0<a-b<l,時(shí),ln(a-b)<0,所以A錯(cuò)

3

誤。B選項(xiàng)，設(shè)f(x)=3x，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出3b>3b，所以B錯(cuò)誤。C選項(xiàng)設(shè)gG)=x,

3333

結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a>b,a-b>0，所以C正確。D選項(xiàng)，假設(shè)a=l,b=-2,貝U@=1<

|b|=2，所以D錯(cuò)誤。

故答案為：C

【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可得出結(jié)果。

7.【答案】B

【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【解析】【解答】A選項(xiàng)中a面內(nèi)的無數(shù)條直線不一定是兩條相交直線C選項(xiàng)中平行于同一條直線的兩個(gè)

平面也可以相交D選項(xiàng)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面也可以相交。

故答案為：B

【分析】利用兩個(gè)平面平行的判定定理，一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面則兩個(gè)平面平

行，逐一判斷選項(xiàng)即可得出正確答案。

8.【答案】D

【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合

222

【解析】【解答】?.?拋物線的焦點(diǎn)F(>°)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上則有a=3n,b=n,c=2?c=

昌，拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，，解出P=8.

故答案為：D

【分析】首先求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，令兩個(gè)代數(shù)式相等求出結(jié)果即可。

9.【答案】A

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】因?yàn)閒(x)=sinx,f(x)=cosx的周期為2兀，則f(x)=|cosx|,得a-i就匕朝的周期為

H,故C項(xiàng)，D項(xiàng)錯(cuò)誤。

y二|sin2x|圖象如圖1,可知y=花訪2*|在()上單調(diào)遞減，故B項(xiàng)錯(cuò)誤。

y二|cos2x|圖象如圖2,可知尸|8$2乂|在(,|)上單調(diào)遞增，故A項(xiàng)正確。

故答案為：A

【分析】根據(jù)題中的四個(gè)函數(shù)結(jié)合正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像逐一分析即可得出結(jié)論。

10.【答案】B

【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

【解析】【解答】由二倍角的正弦和余弦公式整理化簡原式2sin2a二cos2a+l,4sinacosa=2cos2a,可得到

cosa=25也a，代入到sin2a+cos2a=1,

???ae(0,-)

2

.2-1

,,sina-5,

._V5

-sin"T'

故答案為：B

【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式整理化簡原式即可求出cosa=2sina，再由同角三角函數(shù)的關(guān)

系式求出sin2a=:，結(jié)合角的取值范圍可判斷出sina的符號(hào)為正，從而求出結(jié)果。

11.【答案】A

【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合

【解析】【解答】根據(jù)題意可以設(shè)出以。為圓心圓的方程為乂2+丫2=a?，

xyd

2

以O(shè)F為直徑的圓的方程為:G—￡)+丫2=(￡)2,聯(lián)立兩個(gè)圓的｛(X2，+y—(2)，兩圓方程

urx2y、2，2I2-2

x十y-a

22

22

相減可得x=￡，設(shè)PQ與X軸交于M點(diǎn)，10Ml=『opl=a，在直角三角形0Mp中，MP=0P-

cc

0M2=4寧，又|PQ|=|0F|，二IPMI=IMPI=；即=/整理化簡可得/=VC-a2)，等式

42

4>￡

兩邊同時(shí)除以a,=4(^-1),???e=「—4e2+4=0，e2=2七=e.

aaa

故答案為：A

【分析】首先設(shè)出以O(shè)F為直徑的圓的方程，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可求出兩圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合直角三

角形中的勾股定理，即可求出a與c的關(guān)系式然后再由整體思想求出關(guān)于e的方程解出即可。

12.【答案】B

【考點(diǎn)】函數(shù)最值的應(yīng)用

【解析】【解答】由f(x+l)=2f(x)知，f(x+t)=2t-f(x),tez,即f(x)=2t-fCx-t)，tGz,

-12--2-

當(dāng)xG(0,1]時(shí)，f(x)=xx=xx=(X1);此時(shí)f(x)e[-[，°)，

-1-1-11

當(dāng)-l<x《0時(shí)，f(x)G[-ix|,0],,即f(x)e[-i.O),則x6[1,2)時(shí)，f(x)e[-|,0],

eo

X[2,3)時(shí)，f(x)e[-1,0],若％=(一8，m]，f(x)-Y，則mmaxe(2,3)，

_y

當(dāng)Xe(2,3)時(shí)，f(x)=4f(X_2)=4(x-|>一1，令4《x_|)解得x<(或x之

8

3，

由于一/時(shí)，4(X-|^-1G[-1,-|],則mmax=]。

故答案為：B

【分析】首先根據(jù)已知條件求出函數(shù)f(x)的解析式，對(duì)X分情況討論得出每個(gè)范圍內(nèi)的f(x)的取值范圍，并

把幾種情況并起來即可得出m的取值范圍即可。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】0.98

【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

【解析】【解答】根據(jù)題意停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率為。，97+。：8+。.99=0.98,

故答案為：0.98.

【分析】利用平均值的求法代入數(shù)值求出結(jié)果。

14.【答案】-3

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

-2

【解析】【解答】；X>0,「.-X<0,f(-x)=-f(x),f(x)=-(x)=eax，由己知y(ln2)=8,代入數(shù)值可得e_aln=

8=23,

ln2-a3

(e)=2,a=-3.

故答案為：-3

【分析】利用奇函數(shù)的定義求出當(dāng)x>0的函數(shù)解析式，把已知條件的等式代入結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可出

a的值即可。

15.【答案】6A/3

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算

222

【解析】【解答】由余弦定理得，a+c-b=2ac.cosB,由題得：b=6,a=2c,B=±,代入化簡

得3c之=36,

解得ci=2V3，C2=-2V3（舍），則a=2c=4g,所以S%BC=%c,sinB=號(hào)義4遍X2遍X?=68

故答案為：6V3

【分析】首先利用余弦定理代入數(shù)值求出c的值，從而求出a的值，再由三角形的面積公式代入數(shù)值求出

結(jié)果即可。

16.【答案】26；V2-1

【考點(diǎn)】構(gòu)成空間幾何體的基本元素

【解析】【解答】結(jié)合圖形的對(duì)稱性數(shù)一數(shù)即可得到面的個(gè)數(shù)為26個(gè)。

根據(jù)題意補(bǔ)全該半正多面體的正方體，其俯視圖為，

設(shè)該半正多面體的棱長為a,則有正方體的棱

長為在a+a+0a=1，,a="1-

2aa2a。V2+i

【分析】利用空間想象力結(jié)合圖形的對(duì)稱性數(shù)出面的個(gè)數(shù)，再補(bǔ)全正方體借助俯視圖得出幾何關(guān)系進(jìn)而求

出該正多面體的棱長。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.【答案】（1）解：由已知得，BiG_L平面ABBrAr,BEc平面ABBrAr,

故B1cl1BE.

又BE1EC1,所以BE1平面EBG.

（2）由（1）知/BEBi=90。.由題設(shè)知RtANBE三RtAA/iE,所以"1EB=45。，故AE=

AB,AAr=2AB.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閤軸正方向，|力?|為單位長，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系D-xyz,1,0),B(l,1,0),的(0,

1,2),E(1,0,1),CE=(1,-1,1)，鬲=(0,0,2).設(shè)平面EBC的法向量為n=(x,y,x),

m.irCB-n=0,x=0,

則｛示.元=0,即1y+z=o,

所以可取n=(0,-1,-1).

設(shè)平面ECG的法向量為m=(x,y,z),則｛乃：一”即｛一彳二上

CE-m=0,x—y-t-z—u.

所以可取m=(1,1,0).

于是cos<n,m>=^=-i.所以，二面角B-EC-C的正弦值為它.

\n\\m\22r

【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由線面垂直的性質(zhì)得出線線垂直，再由線線垂直的判定定理出線面垂直。

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)，構(gòu)造出法向量n由向量垂直

的數(shù)量積為零，求出法向量n,同理求出平面ECG的法向量m,則兩個(gè)平面垂直即為兩個(gè)法向量垂直，

利用數(shù)量積的運(yùn)算公式即可求出兩個(gè)法向量所成角的余弦值，從而求出該角的正弦值即為二面角B-

EC-G的正弦值。

18.【答案】(1)解：X=2就是10：10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，

或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5x04+(1-0.5)x(1-04)=05.

(2)X=4且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前

兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分.

因此所求概率為[0.5x(1-0.4)+(1-0.5)x0,4]x0.5x0.4=0.1.

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

【解析】【分析】(1)第一問要求就蹩的概率，即把可能出現(xiàn)的情況列舉出來，有兩種情況分別為：

①甲連贏兩球，②乙連贏兩球，再將兩種情況的概率相加求和即可。(2)第二問與第一問類似，把可能

出現(xiàn)的情況列舉出來，有兩種情況分別為：

①甲贏第一球，乙贏第二球，甲贏第三球和第四球，

②乙贏第一球，甲贏第二、第三和第四球，再將兩種情況的概率相加求和即可。

、-1

19.【答案】(1)解：由題設(shè)得4(廝+1+匕+1)=2(即+如)，即即+1+%+i=萬(&i+酊).又因

為ai+bi=L所以(an+bn)是首項(xiàng)為1,公比為|的等比數(shù)列.由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-

bn)+8,即an+1—bn+1=an—bn+2.

又因?yàn)閍i-bi=l,所以｛即-%｝是首項(xiàng)為L公差為2的等差數(shù)列.

1

n-1

(2)由(1)知,+bn=2'an-bn=2TI—1.

1

所以an-2[(3!+%)+(%l—%)]~^n+n~2'

an+

=|[(n+bn)~(a*-bn)]~~■

【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

【解析】【分析】(1)整理已知的遞推公式即可得出M+i+%+1=1廝+緇)，則｛廝+勾｝是首項(xiàng)

為1,公比為1的等比數(shù)列，再結(jié)合已知條件可推出an+1-bn+1^an-bn+2.即可得出｛%,—如｝

是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.(2)結(jié)合(1)的結(jié)論把兩個(gè)數(shù)列｛即+獨(dú)｝、｛即-垢｝的通項(xiàng)公

式相減，即可得出兩個(gè)數(shù)列相口和｛%｝的通項(xiàng)公式。

20.【答案】(1)解：f(x)的定義域?yàn)?0,1),(1,+8)單調(diào)遞增.因?yàn)閒(e)=1-要＜0,

22

/ree2)\=2o-eH+l=we—>3on

所以f(x)在(1,+8)有唯一零點(diǎn)Xi,即f(xi)=0.

又。/(*)=—lnx】+濘=—/(X])=0,

"141”1一±

1

故f(x)在(0,1)有唯一零點(diǎn)-.

X1

綜上，f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)因?yàn)?e-lnx°,故點(diǎn)B(-Inxo，g)在曲線y=e*上.由題設(shè)知f(x)=0，即lnx=

XQxo00

A_lnxi%o+i

濘，故直線AB的斜率k=*~-=爺曰=工.

x0-1-lnx-^o--^--xX

o%0一10O

曲線y二ex在點(diǎn)B(-lnx0,^-)處切線的斜率是,曲線y=In%在點(diǎn)?l(XoJnxo)處切線的斜率也是

xo%0

1

%0'

所以曲線y=In%在點(diǎn)X(x0Jnx0)處的切線也是曲線y=e*的切線.

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

【解析】【分析】(1)對(duì)函數(shù)f(X)解析式求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，由于定義域

為(0,1),(1,+8),取特殊值f(e),f(e2)可證在在上函數(shù)f(x)必存在唯一零點(diǎn)，又/(>=—/(>),

則在(1,+8)上函數(shù)f(x)也存在唯一零點(diǎn)。由此此題即解出。(2)求出曲線y=lnx在A(xo,lnx0)的

切線表達(dá)式，根據(jù)兩個(gè)切線斜率相等的條件進(jìn)而求出y=ex的切線表達(dá)式，最后由已知條件化簡兩個(gè)表達(dá)

式，即證得是同一條切線。

21.【答案】(1)解：由題設(shè)得士?三=一：，化簡得亡+”=l(|x|K2),所以C為中心在坐標(biāo)原

x+2X-2242v7

點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn).

y=kx

(2)⑴設(shè)直線PQ的斜率為k,則其方程為y=kx(k>0).由｛/,yz得x=+^=.記a=

..-I-[vIT

42

「五2，則尸(〃,〃女),Q(—%—必),EQ,。)?于是直線QG的斜率為-，方程為y=-(x—u).由

y=-(%—u),

(丫222得(2+爐)％2一2迎2%+k2〃2一8=。.①設(shè)G(xG,yG)，則一〃和xG是方程①的

-+—=1

42

比比3

解，故必=幽浮，由此得VG=岑.從而直線PG的斜率為藍(lán)二:=,1,所以PQ1

52+k22+k2tz(3-+2)k

2+NU

PG,即△PQG是直角三角形.(ii)由(i)得\PQ\=2UV1TI2,\PG\=若浮，所以△PQG的

面積5方附四=清黑h=忐落

設(shè)1=k+3則由k>。得也2,當(dāng)且僅當(dāng)k=l時(shí)取等號(hào).

因?yàn)镾=&在[2,+8)單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=2,即k=l時(shí)，S取得