2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算-知識(shí)講解（基礎(chǔ)）

2024中考總復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；

2．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解決問題的能力.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.

(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.

(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑）

(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角.

2、正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個(gè)圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形.

(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.

（3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.這個(gè)圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.

3、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓.

(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心．當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.

要點(diǎn)詮釋：（1）正n邊形的有n個(gè)相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.

（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.

考點(diǎn)二、圓中有關(guān)計(jì)算

1．圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式：，周長.

圓心角為、半徑為R的弧長.

圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.要點(diǎn)詮釋：

(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.

【典型例題】類型一、正多邊形有關(guān)計(jì)算 1．（2015?鎮(zhèn)江）圖①是我們常見的地磚上的圖案，其中包含了一種特殊的平面圖形﹣正八邊形．（1）如圖②，AE是⊙O的直徑，用直尺和圓規(guī)作⊙O的內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的前提下，連接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面圓的半徑等于．【思路點(diǎn)撥】（1）作AE的垂直平分線交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分線，分別交⊙O于H，F(xiàn)，反向延長FO，HO，分別交⊙O于D，B順次連接A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，八邊形ABCDEFGH即為所求；（2）由八邊形ABCDEFGH是正八邊形，求得∠AOD=3=135°得到的長=，設(shè)這個(gè)圓錐底面圓的半徑為R，根據(jù)圓的周長的公式即可求得結(jié)論．【答案與解析】（1）如圖所示，八邊形ABCDEFGH即為所求，（2）∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的長=，設(shè)這個(gè)圓錐底面圓的半徑為R，∴2πR=，∴R=，即這個(gè)圓錐底面圓的半徑為．故答案為：．【總結(jié)升華】本題考查了尺規(guī)作圖，圓內(nèi)接八邊形的性質(zhì)，弧長的計(jì)算，圓的周長公式的應(yīng)用，會(huì)求八邊形的內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖是三根外徑均為1米的圓形鋼管堆積圖和主視圖，則其最高點(diǎn)與地面的距離是______米．【答案】.解析：如圖，以三個(gè)圓心為頂點(diǎn)等邊三角形O1O2O3的高O1C＝，所以AB＝AO1+O1C+BC＝．【高清課堂：正多邊形與圓的有關(guān)證明與計(jì)算自主學(xué)習(xí)4】【變式2】同一個(gè)圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長的比是__________.【答案】【高清課堂：正多邊形與圓的有關(guān)證明與計(jì)算自主學(xué)習(xí)2】【變式3】（2015?廣西自主招生）一張圓心角為45°的扇形紙板和圓形紙板按如圖方式剪得一個(gè)正方形，邊長都為2，則扇形紙板和圓形紙板的面積比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如圖1，連接OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面積是=π；如圖2，連接MB、MC，∵四邊形ABCD是⊙M的內(nèi)接四邊形，四邊形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面積是π×（）2=2π，∴扇形和圓形紙板的面積比是π÷（2π）=．故選：A．類型二、正多邊形與圓有關(guān)面積的計(jì)算2．(1)如圖(a)，扇形OAB的圓心角為90°，分別以O(shè)A，OB為直徑在扇形內(nèi)作半圓，P和Q分別表示陰影部分的面積，那么P和Q的大小關(guān)系是()．A．P＝QB．P＞QC．P＜QD．無法確定(2)如圖(b)，△ABC為等腰直角三角形，AC＝3，以BC為直徑的半圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是________．(3)如圖(c)，△AOB中，OA＝3cm，OB＝1cm，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△A′OB′，求AB掃過的區(qū)域(圖中陰影部分)的面積．(結(jié)果保留π)【思路點(diǎn)撥】直接使用公式計(jì)算陰影部分面積比較困難時(shí)，可采用和差法、轉(zhuǎn)化法、方程法等，有時(shí)也需要運(yùn)用變換的觀點(diǎn)來解決問題．【答案與解析】解：(1)陰影部分的面積直接求出十分困難，可利用幾個(gè)圖形面積的和差進(jìn)行計(jì)算：；(2)(轉(zhuǎn)化法“湊整”)利用，則陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為△ACD的面積，等于△ABC面積的一半，答案為；(3)(旋轉(zhuǎn)法)將圖形ABM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A′B′M′位置，則．【總結(jié)升華】求陰影面積的幾種常用方(1)公式法；(2)割補(bǔ)法；（3）旋轉(zhuǎn)法；(4)拼湊法；(5)等積變形法；(6)構(gòu)造方程法．舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是()A．B．C．D．【答案】解：如圖，由AB，AC為直徑可得AD⊥BC，則BD＝DC＝6．在Rt△ABD中，，∴．答案選D.3．如圖所示，A是半徑為2的⊙O外一點(diǎn)，OA＝4，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，弦BC∥OA，連AC，求陰影部分的面積．【思路點(diǎn)撥】圖中的陰影是不規(guī)則圖形，不易直接求出，如果連接OB、OC，由BC∥OA，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，于是所求陰影可化為扇形OBC去求解．【答案與解析】解：如圖所示，連OB、OC∵BC∥OA．∴△OBC和△ABC同底等高，∴S△ABC＝S△OBC，∴∵AB為⊙O的切線，∴OB⊥AB．∵OA＝4，OB＝2，∴∠AOB＝60°．∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝60°．∵OB＝OC，∴△OBC為正三角形．∴∠COB＝60°，∴．【總結(jié)升華】通過等積替換化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形，在等積轉(zhuǎn)化中①可根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱等圖形變換；②可根據(jù)同底（等底）同高（等高）的三角形面積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化．舉一反三：【變式】如圖所示，半圓的直徑AB＝10，P為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C，D為半圓的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積等于________．【答案】解：連接OC、OD、CD．∵C、D為半圓的三等分點(diǎn)，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝．又∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝60°，∴DC∥AB，∴，∴．4．（2015秋?江都市期中）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以AB為直徑的半圓與對(duì)角線AC交于點(diǎn)E．（1）求弧BE所對(duì)的圓心角的度數(shù)．（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OE，由條件可求得∠EAB=45°，利用圓周角定理可知弧BE所對(duì)的圓心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用條件可求得扇形AOE的面積，進(jìn)一步求得弓形的面積，利用Rt△ADC的面積減去弓的面積可求得陰影部分的面積．【答案與解析】解：（1）連接OE，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，則OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD?CD=×4×4=8，∴S陰影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【總結(jié)升華】本題主要考查扇形面積的計(jì)算和正方形的性質(zhì)，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵，注意弓形面積的計(jì)算方法．5．將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，重疊部分（陰影）的量角器圓?。ǎ?duì)應(yīng)的中心角（∠AOB）為120°，AO的長為4cm，求圖中陰影部分的面積.【思路點(diǎn)撥】看是否由“規(guī)則的”三角形、四邊形、圓、扇形、弓形等可求面積的圖形，經(jīng)過怎樣的拼湊、割補(bǔ)、疊合而成，這是解決這類題的關(guān)鍵．【答案與解析】陰影部分的面積可看成是由一個(gè)扇形AOB和一個(gè)Rt△BOC組成，其中扇形AOB的中心角是，AO的長為4，Rt△BOC中，OB＝OA＝4，∠BOC＝60°，∴可求得BC長和OC長，從而可求得面積，陰影部分面積＝扇形AOB面積+△BOC面積＝．【總結(jié)升華】本題是求簡單組合圖形的面積問題，解答時(shí)，常常是尋找這些“不規(guī)則的圖形”是由哪些“可求面積的、規(guī)則的圖形”組合而成.舉一反三：【變式】如圖，矩形ABCD中，AB＝1，．以AD的長為半徑的⊙A交BC于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為________．【答案】.解析：連接AE，易證AB＝BE＝1，∠BAE＝45°，所以∠EAD＝45°，所以．6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是AB延長線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)O作AC的垂線交AC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E．已知AB﹦8，∠P=30°．

（1）求線段PC的長；

（2）求陰影部分的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OC，由PC為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC與PC垂直，可得三角形OCP為直角三角形，同時(shí)由直徑AB的長求出半徑OC的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得到tanP為∠P的對(duì)邊OC與鄰邊PC的比值，根據(jù)∠P的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的長；

（2）由直角三角形中∠P的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出∠AOC的度數(shù)，進(jìn)而得出∠BOC的度數(shù)，由OD與BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三線合一得到OD為∠BOC的平分線，可求出∠COD度數(shù)為60°，再根據(jù)直角三角形中兩銳角互余求出∠OCD度數(shù)為30°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由斜邊OC的長求出OD的長，先由∠COD的度數(shù)及半徑OC的長，利用扇形的面積公式求出扇形COE的面積，再由OD與CD的長，利用直角三角形兩直角邊乘積的一半求出直角三角形COD的面積，用扇形COE的面積減去三角形COD的面積，即可求出陰影部分的面積．【答案與解析】解：（1）連接OC，

∵PC切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥PC，

∵AB=8，∴OC=AB=4，

又在直角三角形OCP中，∠P=30°，

∴tanP=tan30°=，即PC==4；

（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，

∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，

又AC⊥OE，OA=OC，∴OD為∠AOC的平分線，

∴∠COE=∠AOC=60°，又半徑OC=4，

∴S扇形OCE=，

在Rt△OCD中，∠COD=60°，

∴∠OCD=30°，∴OD=OC=2，

根據(jù)勾股定理得：CD=，

∴S△OCD=DC?OD=×2×2=2，

則S陰影=S扇形OCE-S△OCD=．【總結(jié)升華】此題考查了切線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及扇形的面積公式，遇到已知切線的類型題時(shí)，常常連接圓心與切點(diǎn)，利用切線的性質(zhì)得出垂直，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題．中考總復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算—知識(shí)講解（提高）【考綱要求】1．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；

2．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解決問題的能力.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.

(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.

(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑.）

(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角.

2、正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個(gè)圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形.

(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.

（3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.這個(gè)圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.

3、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓.

(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心．當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.

要點(diǎn)詮釋：（1）正n邊形的有n個(gè)相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.

（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.

考點(diǎn)二、圓中有關(guān)計(jì)算

1．圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式：，周長.

圓心角為、半徑為R的弧長.

圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.弓形的面積（1）由弦及其所對(duì)的劣弧組成的圖形，S弓形=S扇形-S△OAB；（2）由弦及其所對(duì)的優(yōu)弧組成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.··OAB·ABOm·ABOm要點(diǎn)詮釋：

(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.

【典型例題】類型一、正多邊形有關(guān)計(jì)算 1．如圖，矩形ABCD中，AB=4，以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心的⊙O與弧AE，邊AD，DC都相切．把扇形BAE作一個(gè)圓錐的側(cè)面，該圓錐的底面圓恰好是⊙O，則AD的長為（） A.4 B.QUOTEC.QUOTE D.5【思路點(diǎn)撥】首先求得弧AE的長，然后利用弧AE的長正好等于圓的底面周長，求得⊙O的半徑，則BE的長加上半徑即為AD的長．【答案】D；【解析】解：∵AB=4，∠B=90°，∴，∵圓錐的底面圓恰好是⊙O，∴⊙O的周長為2π，∴⊙O的半徑為1QUOTE，∴AD=BC=BE+EC=4+QUOTE1=QUOTE5.故選D．【總結(jié)升華】本題考查了圓錐的計(jì)算及相切兩圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記弧長的計(jì)算公式.舉一反三：【高清課堂：正多邊形與圓的有關(guān)證明與計(jì)算自主學(xué)習(xí)7】【變式1】如圖，兩個(gè)相同的正六邊形，其中一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)正多邊形外接圓圓心O處．求重疊部分面積與陰影部分面積之比.【答案】解：連結(jié)OA、OB、OC，設(shè)OA′交AB于K，OE′交CD于H，∵∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，∠COH=120°-∠KOC，∴∠AOK=∠COH，又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，∴△AOK≌△COH，由△AOK≌△COH，得S五邊形OKBCH=S四邊形ABCO=2S△OBC，∴S陰影=S正六邊形ABCDEF-S五邊形OKBCH′=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC.S五邊形OKBCH：S陰影=.即重疊部分面積與陰影部分面積之比為：.【高清課堂：正多邊形與圓的有關(guān)證明與計(jì)算自主學(xué)習(xí)8】【變式2】已知：正十邊形的半徑是R，求證：它的邊長為.【答案】證明：作∠OAB的平分線AM交OB于M，則∠O=∠OAM=36°，∠AMB=∠B=72°，∴OM=MA=AB，則△ABM∽△OAB得：用R，a10分別表示OA，AB，BM，代入以上比例式整理得a102+Ra10-R2=0,解關(guān)于a10的一元二次方程得（負(fù)值已舍去）.類型二、正多邊形與圓綜合運(yùn)用2．（2014?江西模擬）如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH的一條對(duì)角線．（1）在剩余的頂點(diǎn)B、C、D、E、F、H中，連接兩個(gè)頂點(diǎn)，使連接的線段與AG平行，并說明理由；（2）兩邊延長AB、CD、EF、GH，使延長線分別交于點(diǎn)P、Q、M、N，若AB=2，求四邊形PQMN的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）利用已知得出正八邊形，它的內(nèi)角都為135°，再利用正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對(duì)稱，得出∠2+∠3=180°，進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)題意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，則PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四邊形PQMN是正方形，進(jìn)而求出PQ的長即可得出答案．【答案與解析】解：（1）連接BF，則有BF∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH是正八邊形，∴它的內(nèi)角都為135°．又∵HA=HG，∴∠1=22.5°，從而∠2=135°﹣∠1=112.5°．由于正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對(duì)稱，∴即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．（2）根據(jù)題設(shè)可知∠PHA=∠PAH=45°，∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，∴四邊形PQMN是矩形．又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE，∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四邊形PQMN是正方形．在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AH=2，∴PA=∴．故．【總結(jié)升華】此題主要考查了正多邊形和圓以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出PQ的長是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖所示，在△ABC中，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點(diǎn)D，交AB于E，交AC于F，點(diǎn)P是⊙A上的一點(diǎn)，且∠EPF＝40°，則圖中陰影部分的面積是()A．B．C．D．【答案】連接AD，則AD⊥BC，陰影部分面積．故．答案：B3．（2014秋?武穴市校級(jí)期末）扇形的圓心角為90°，面積為16π．（1）求扇形的弧長．（2）若將此扇形卷成一個(gè)無底圓錐形筒，則這個(gè)圓錐形筒的高是多少？【思路點(diǎn)撥】（1）首先根據(jù)扇形的面積公式求得扇形的半徑，然后根據(jù)扇形的面積公式S扇形=lR（其中l(wèi)為扇形的弧長），求得扇形的弧長．（2）設(shè)扇形的半徑為R，圓錐的底面圓的半徑為r，先根據(jù)扇形的面積公式解得母線長，再利用弧長公式得到底面半徑r=2，然后利用勾股定理計(jì)算這個(gè)圓錐形桶的高．【答案與解析】解：（1）設(shè)扇形的半徑是R，則=16π，解得：R=8，設(shè)扇形的弧長是l，則lR=16π，即4R=16π，解得：l=4π．（2）圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2πr=，解得r=2，所以個(gè)圓錐形桶的高==2．故答案為2．【總結(jié)升華】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了勾股定理．4．如圖所示，有一圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6cm的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是多少？【思路點(diǎn)撥】小貓所經(jīng)過的路程要最短，應(yīng)該求圓錐側(cè)面展開后兩點(diǎn)B、P之間的線段長度.【答案與解析】解：設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，展開后圓心角度數(shù)為n°，則底面圓的周長為2πr，側(cè)面展開圖的弧長為，∴．∵軸截面△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC，即．∴r＝3．∴．∴n＝180，即其側(cè)面展開圖為半圓，如圖所示，則△ABP為直角三角形，BP為最短路線．在Rt△ABP中，．答：小貓所經(jīng)過的最短路程為．【總結(jié)升華】將所求問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間線段最短的問題，充分利用圓錐底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長溝通空間元素與平面元素之間的關(guān)系．5．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，分別以O(shè)B，OD為直徑作⊙O1，⊙O2．(1)求⊙O1的半徑；(2)求圖中陰影部分的面積．【思路點(diǎn)撥】連接O1E，求出一個(gè)小弓形的面積再乘以4即可.【答案與解析】解：(1)在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°，∴．∴⊙O1的半徑為，即⊙O1的半徑為．(2)連接O1E，∵BD為正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ABO＝45°．∵O1E＝O1B，∴∠BEO1＝∠EBO2＝45°．∴∠BO1E＝90°．∴．根據(jù)圖形的對(duì)稱性得S1＝S2＝S3＝S4，∴．【總結(jié)升華】求陰影部分面積時(shí)，一般要將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積求差或和.舉一反三：【變式】已知：如圖所示，水平地面上有一面積為30πcm2的扇形AOB，半徑OA＝6cm，且OA與地面垂直．在沒有滑動(dòng)的情況下，將扇形向右滾動(dòng)至OB與地面垂直為止，求O點(diǎn)移動(dòng)的距離．【答案】解：觀察圖形可知O點(diǎn)移動(dòng)距離即為扇形滾動(dòng)距離，而扇形滾動(dòng)距離為優(yōu)弧的弧長．∵，∴．答：O點(diǎn)移動(dòng)的距離為10πcm．6．如圖，已知在⊙O中，，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求圖中陰影部分的面積；(2)若用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)你出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．【思路點(diǎn)撥】（1）陰影部分是一個(gè)扇形，扇形圓心角∠BOD＝2∠BOC＝2×2×30°＝120°，只需通過解直角三角形求出OB的長，即可利用扇形面積求出陰影部分面積．（2）扇形弧長是圓錐的底面周長，由條件求出的長l，利用可求出半徑r的長．【答案與解析】解：(1)過O作OE⊥AB于E，則．在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，．∴．又∵OA＝OB，∴∠ABO＝30°．∴∠BOC＝60°．∵AC⊥BD，∴．∴∠COD＝∠BOC＝60°．∴∠BOD＝120°．∴．(2)設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，∴．∴．【總結(jié)升華】用扇形圍成圓錐，扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長是圓錐的底面周長.中考沖刺：閱讀理解型問題(提高)一、選擇題

1.（2016?紹興）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（）

A．84B．336C．510D．1326

2．任何一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n＝s×t(s、t是正整數(shù)，且s≤t)，如果p×q在n的所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規(guī)定：．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6這三種，這時(shí)就有．

給出下列關(guān)于F(n)的說法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一個(gè)完全平方數(shù)，

則F(n)＝1．其中正確說法的個(gè)數(shù)是()．

A．1B．2C．3D．4

二、填空題

3．閱讀下列題目的解題過程：

已知a、b、c為△ABC的三邊長，且滿足，試判斷△ABC的形狀．

解：∵，(A)

∴，(B)

∴，(C)

∴△ABC是直角三角形．

問：(1)上述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？

請(qǐng)寫出該錯(cuò)誤步驟的代號(hào)：________________．

(2)錯(cuò)誤的原因?yàn)椋篲_______________________．

(3)本題的正確結(jié)論為：____________________．

4．（2016?高縣一模）如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B沿折線BE﹣ED﹣DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s．若點(diǎn)P，Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△BPQ的面積為y（cm2）．已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2，有下列四個(gè)結(jié)論：①AE=6cm；②sin∠EBC=；③當(dāng)0＜t≤10時(shí)，y=t2；④當(dāng)t=12s時(shí)，△PBQ是等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________________．

三、解答題

5．已知p2-p-1=0,1-q-q2=0,且pq≠1，求的值.

解：由p2-p-1=0及1-q-q2=0,可知p≠0,q≠0

又∵pq≠1,∴

∴1-q-q2=0可變形為的特征

所以p與是方程x

2-

x

-1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根則

根據(jù)閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答.

已知：2m2-5m-1=0,,且m≠n，求：的值.

6.（市北區(qū)二模）【閱讀材料】

完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法，這是分類加法計(jì)數(shù)原理；完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法，這就是分步乘法計(jì)數(shù)原理．

【問題探究】

完成沿圖1的街道從A點(diǎn)出發(fā)向B點(diǎn)行進(jìn)這件事（規(guī)定必須向北走，或向東走），會(huì)有多少種不同的走法？

（1）根據(jù)材料中的原理，從A點(diǎn)到M點(diǎn)的走法共有（1+1）=2種．從A點(diǎn)到C點(diǎn)的走法：

①從A點(diǎn)先到N點(diǎn)再到C點(diǎn)有1種；

②從A點(diǎn)先到M點(diǎn)再到C點(diǎn)有2種，所以共有（1+2）=3種走法．依次下去，請(qǐng)求出從A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)其余交叉點(diǎn)的走法數(shù)，將數(shù)字填入圖2的空?qǐng)A中，并回答從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)的走法共有多少種？

（2）運(yùn)用適當(dāng)?shù)脑砗头椒?，算出如果直接從C點(diǎn)出發(fā)到達(dá)B點(diǎn)，共有多少種走法？請(qǐng)仿照?qǐng)D2畫圖說明．

【問題深入】

（3）在以上探究的問題中，現(xiàn)由于交叉點(diǎn)C道路施工，禁止通行，求從A點(diǎn)出發(fā)能順了到達(dá)BB點(diǎn)的走法數(shù)？說明你的理由．

7．閱讀：我們知道，在數(shù)軸上,x＝1表示一個(gè)點(diǎn),而在平面直角坐標(biāo)系中，x＝1表示一條直線；我們還知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖形就是一次函數(shù)y＝2x＋1的圖象,它也是一條直線，如圖①.

觀察圖①可以得出：直線x＝1與直線y＝2x＋1的交點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，3）就是方程組的解，所以這個(gè)方程組的解為

在直角坐標(biāo)系中，x≤1表示一個(gè)平面區(qū)域，即直線x＝1以及它左側(cè)的部分，如圖②；y≤2x＋1也表示一個(gè)平面區(qū)域，即直線y＝2x＋1以及它下方的部分，如圖③．

①②③

回答下列問題：

（1）在直角坐標(biāo)系中，用作圖象的方法求出方程組的解；

（2）用陰影表示，所圍成的區(qū)域．

8.我們學(xué)習(xí)過二次函數(shù)圖象的平移，如：將二次函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是．

類比二次函數(shù)圖象的平移，我們對(duì)反比例函數(shù)的圖象作類似的變換：

(1)將的圖象向右平移1個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式為________，再向上平移1個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式為________．

(2)函數(shù)的圖象可由的圖象向________平移________個(gè)單位長度得到；的圖象可由哪個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

(3)一般地，函數(shù)(ab≠0，且a≠b)的圖象可由哪個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?

9.“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的問題，但僅用尺規(guī)不可能“三等分角”．下面是數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在軸上、邊OA與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點(diǎn)R．分別過點(diǎn)P和R作軸和軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，請(qǐng)研究以下問題：

（1）設(shè)、，求直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（用含的代數(shù)式表示）．

（2）分別過點(diǎn)P和R作軸和軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)Q．請(qǐng)說明Q點(diǎn)在直線OM上，

并據(jù)此證明∠MOB=∠AOB．

（3）應(yīng)用上述方法得到的結(jié)論，你如何三等分一個(gè)鈍角（用文字簡要說明）．

10.閱讀下列材料：

問題：如圖1所示，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG與PC的位置關(guān)系的值．小聰同學(xué)的思路是：延長GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．

請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：

(1)寫出上面問題中線段PG,與PC的位置關(guān)系及的值；

(2)將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變(如圖2)．你在(1)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．

(3)若圖1中∠ABC＝∠BEF＝2α(0°＜α＜90°)，將菱形BEFG繞點(diǎn)B順旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請(qǐng)你直接寫出的值(用含α的式子表示)．答案與解析【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】C；

【解析】1×73+3×72+2×7+6=510.

2.【答案】B；

二、填空題

3.【答案】

(1)C；

(2)錯(cuò)誤的原因是由(B)到(C)時(shí)，等式兩邊同時(shí)約去了因式，而可能等于0；

(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形.

4.【答案】①②③.

【解析】（1）分析函數(shù)圖象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm，故①正確；

（2）如答圖1所示，連接EC，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，

由函數(shù)圖象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC?EF=×10×EF，∴EF=8，∴sin∠EBC=，

故②正確；

（3）如答圖2所示，過點(diǎn)P作PG⊥BQ于點(diǎn)G，

∵BQ=BP=t，

∴y=S△BPQ=BQ?PG=BQ?BP?sin∠EBC=t?t?=t2．

故③正確；

（4）結(jié)論D錯(cuò)誤．理由如下：

當(dāng)t=12s時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到ED的中點(diǎn)，設(shè)為N，

如答圖3所示，連接NB，NC．

此時(shí)AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8，NC=2，

∵BC=10，

∴△BCN不是等腰三角形，即此時(shí)△PBQ不是等腰三角形．

故④錯(cuò)誤；

故答案為：①②③．

三、解答題

5.【答案與解析】

解：由2m2-5m-1=0知m≠0，∵m≠n，∴

得

根據(jù)的特征

∴是方程x

2+5

x

-2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根∴

.

6.【答案與解析】

解：（1）∵完成從A點(diǎn)到B點(diǎn)必須向北走，或向東走，

∴到達(dá)A點(diǎn)以外的任意交叉點(diǎn)的走法數(shù)只能是與其相鄰的南邊交叉點(diǎn)和西邊交叉點(diǎn)的數(shù)字之和，

故使用分類加法計(jì)數(shù)原理，由此算出從A點(diǎn)到達(dá)其余各交叉點(diǎn)的走法數(shù)，填表如圖1．

答：從A點(diǎn)到B點(diǎn)的走法共有35種．

（2）如圖3，使用分類加法計(jì)數(shù)原理，算出從C點(diǎn)到B點(diǎn)的走法為6種；

（3）方法一：可先求從A點(diǎn)到B點(diǎn)，并經(jīng)過交叉點(diǎn)C的走法數(shù)，再用從A點(diǎn)到B點(diǎn)總走法數(shù)減去它，即得從A點(diǎn)到B點(diǎn)，但不經(jīng)過交叉點(diǎn)C的走法數(shù)．

完成從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)C點(diǎn)到B點(diǎn)這件事可分兩步，先從A點(diǎn)到C點(diǎn)，再從C點(diǎn)到B點(diǎn)，

使用分類加法計(jì)數(shù)原理，算出從A點(diǎn)到C點(diǎn)的走法是3種，見圖2；

見圖3，從C點(diǎn)到B點(diǎn)的走法為6種，

再運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到從A點(diǎn)經(jīng)C點(diǎn)到B點(diǎn)的走法有3×6=18種．

∴從A點(diǎn)到B點(diǎn)但不經(jīng)過C點(diǎn)的走法數(shù)為35﹣18=17種．

方法二：如圖4：由于交叉點(diǎn)C道路施工，禁止通行，故視為相鄰道路不通，可刪除與C點(diǎn)緊相連的線段，運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理，算出從A點(diǎn)到B點(diǎn)并禁止通過交叉點(diǎn)C的走法有17種．從A點(diǎn)到各交叉點(diǎn)的走法數(shù)，

∴從A點(diǎn)到B點(diǎn)并禁止經(jīng)過C點(diǎn)的走法數(shù)為35﹣18=17種．

7.【答案與解析】

（1）如圖所示，

在坐標(biāo)系中分別作出直線x＝－2和直線y＝－2x＋2，

這兩條直線的交點(diǎn)是P（－2，6）.

則是方程組的解.

（2）如陰影所示.

8.【答案與解析】

(1)；

(2)上，1；可轉(zhuǎn)化為y＝，它的圖象可由反比例函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到．

(3)函數(shù)(ab≠0，且a≠b)可轉(zhuǎn)化為．當(dāng)a＞0時(shí)，的圖象可由反比例函數(shù)的圖象向左平移a個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到；當(dāng)a＜0時(shí)，的圖象可由反比例函數(shù)的圖象向右平移-a個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到．

9.【答案與解析】

（1）設(shè)直線OM的函數(shù)關(guān)系式為．則∴．

∴直線OM的函數(shù)關(guān)系式為．

（2）∵的坐標(biāo)滿足，∴點(diǎn)在直線OM上．

（或用幾何證法，見《九年級(jí)上冊(cè)》教師用書191頁）

∵四邊形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR．

∴∠SQR=∠SRQ．

∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO．

∵∠PSQ是△SQR的一個(gè)外角，

∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．

∵QR∥OB，

∴∠SOB=∠SQR．

∴∠POS=2∠SOB．

∴∠SOB=∠AOB．

（3）以下方法只要回答一種即可．

方法一：利用鈍角的一半是銳角，然后利用上述結(jié)論把銳角三等分的方法即可．

方法二：也可把鈍角減去一個(gè)直角得一個(gè)銳角，然后利用上述結(jié)論把銳角三等分后，再將直角利用等邊

三角形（或其它方法）將其三等分即可．

方法三：先將此鈍角的補(bǔ)角（銳角）三等分，再作它的余角．

10.【答案與解析】

（1）線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC；．

（2）猜想：(1)中的結(jié)論沒有發(fā)生變化．

證明：如圖所法，延長GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG．

∵P是線段DF的中點(diǎn)，

∴FP＝DP．

由題意可知AD∥FG，

∴∠GFP＝∠HDP．

∵∠GPF＝∠HPD，

∴△GFP≌△HDP．

∴GP＝HP，GF＝HD．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CD＝CB，∠HDC＝∠ABC＝60°．

由∠ABC＝∠BEF＝60°，且菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，

可得∠GBC＝60°．

∴∠HDC＝∠GBC．

∵四邊形BEFG是菱形，

∴GF＝FB．

∴HD＝GB．

∴△HDC≌△GBC．

∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG．

∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，

即∠HCG＝120°．

∵CH＝CG，PH＝PG，

∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°．

∴．

（3）．一、選擇題

1.（2016?江西模擬）已知二次函數(shù)y=x2﹣（m﹣1）x﹣m，其中m＞0，它的圖象與x軸從左到右交于R和Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．下列判斷中不正確的是（）

A．方程x2﹣（m﹣1）x﹣m=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B．點(diǎn)R的坐標(biāo)一定是（﹣1，0）

C．△POQ是等腰直角三角形

D．該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在直線x=﹣1的左側(cè)

2．若一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α(0°＜α＜180°)后能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．例如：等邊三角形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)120°(如圖所示)能夠與原來的等邊三角形重合，因而等邊三角形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．顯然，中心對(duì)稱圖形都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，但旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形不一定是中心對(duì)稱圖形．下面圖所示的圖形中，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的有()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

二、填空題

3．閱讀下列材料，并解決后面的問題．

在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c．過A作AD⊥BC于D(如圖)，則sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．

同理有，．

所以………(*)

即：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等．

在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素a、b、∠A，運(yùn)用上述結(jié)論(*)和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素c、

∠B、∠C，請(qǐng)你按照下列步驟填空，完成求解過程：

第一步：由條件a、b、∠A

______∠B；

第二步：由條件∠A、∠B．

______∠C；

第三步：由條件．____________c．

4．（榆樹市期末）我們知道，在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，那么就稱這個(gè)圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，轉(zhuǎn)的這個(gè)角稱為這個(gè)圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角．例如，正方形繞著它的對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后能與自身重合所以正方形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為90°．

（1）判斷下列說法是否正確（在相應(yīng)橫線里填上“對(duì)”或“錯(cuò)”）

①正五邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為144°．__________________

②長方形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為180°．__________________

（2）填空：下列圖形中時(shí)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為120°的是__________________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

①正三角形②正方形③正六邊形④正八邊形

（3）寫出兩個(gè)多邊形，它們都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，都有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為72°，其中一個(gè)是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；另一個(gè)既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．.（寫在橫線上）

三、解答題

5.閱讀材料：

為解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，然后設(shè)，那么原方程可化為①，解得y1＝1，y2＝4．

當(dāng)y＝1時(shí)，，∴

，∴

；

當(dāng)y＝4時(shí)，，∴

，∴

．

故原方程的解為：

，，，．

解答問題：（1）上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用________法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；

（2）請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程．

6．閱讀材料，解答問題：圖2－7－2表示我國農(nóng)村居民的小康生活水平實(shí)現(xiàn)程度．地處西部的某貧困縣，農(nóng)村人口約50萬，2002年農(nóng)村小康生活的綜合實(shí)現(xiàn)程度才達(dá)到68％，即沒有達(dá)到小康程度的人口約為

（1－68％）×50萬=16萬．

（1）假設(shè)該縣計(jì)劃在2002年的基礎(chǔ)上，到2004年底，使沒有達(dá)到小康程度的16萬農(nóng)村人口降至10．24萬，那么平均每年降低的百分率是多少？

（2）如果該計(jì)劃實(shí)現(xiàn)2004年底該縣農(nóng)村小康進(jìn)程接近圖2－7－2中哪一年的水平？（假設(shè)該縣人口2年內(nèi)不變）

7.（2016?吉林一模）類比平行四邊形，我們學(xué)習(xí)箏形，定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．如圖①，若AD=CD，AB=CB，則四邊形ABCD是箏形．

（1）在同一平面內(nèi)，△ABC與△ADE按如圖②所示放置，其中∠B=∠D=90°，AB=AD，BC與DE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)你判斷四邊形ABFD是不是箏形，并說明理由．

（2）請(qǐng)你結(jié)合圖①，寫出一個(gè)箏形的判定方法（定義除外）．

在四邊形ABCD中，若______，則四邊形ABCD是箏形．

（3）如圖③，在等邊三角形OGH中，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣1，0），在直線l：y=﹣x上是否存在點(diǎn)P，使得以O(shè)，G，H，P為頂點(diǎn)的四邊形為箏形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

8．先閱讀下列材料，再解答后面的問題:

材料：23=8，此時(shí),3叫做以2為底8的對(duì)數(shù),記為．一般地，若則n叫做以為底b的對(duì)數(shù)，記為，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為．

問題：（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值:

.

（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式？之間又滿足怎樣的關(guān)系式

（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？

根據(jù)冪的運(yùn)算法則：以及對(duì)數(shù)的含義證明上述結(jié)論．

9.某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究相似圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)相似三角形的定義、判定及其性質(zhì)，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定義：“圓心角相等且半徑和弧長對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性質(zhì)：弧長比等于半徑比、面積比等于半徑比的平方…．請(qǐng)你協(xié)助他們探索這個(gè)問題．

（1）寫出判定扇形相似的一種方法：若______，則兩個(gè)扇形相似；

（2）有兩個(gè)圓心角相等的扇形，其中一個(gè)半徑為a、弧長為m，另一個(gè)半徑為2a，則它的弧長為______；

（3）如圖1是一完全打開的紙扇，外側(cè)兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB為30cm，現(xiàn)要做一個(gè)和它形狀相同、面積是它一半的紙扇（如圖2），求新做紙扇（扇形）的圓心角和半徑．

10.閱讀材料，如圖（1）所示，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為P，

求證：．

證明：

∴

．

解答問題：

（1）上述證明得到的性質(zhì)可敘述為________．

（2）已知：如圖（2）所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD且相交于點(diǎn)P，AD＝3cm，BC＝7cm，利用上述性質(zhì)求梯形的面積．

11.閱讀下面的材料：

小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：若1≤x≤m，求二次函數(shù)的最大值．他畫圖研究后發(fā)現(xiàn)，和時(shí)的函數(shù)值相等，于是他認(rèn)為需要對(duì)進(jìn)行分類討論．

他的解答過程如下：

∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，

∴由對(duì)稱性可知，和時(shí)的函數(shù)值相等．

∴若1≤m＜5，則時(shí)，的最大值為2；

若m≥5，則時(shí)，的最大值為．

請(qǐng)你參考小明的思路，解答下列問題：

（1）當(dāng)≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)的最大值為_______；

（2）若p≤x≤2，求二次函數(shù)的最大值；

（3）若t≤x≤t+2時(shí)，二次函數(shù)的最大值為31，則的值為_______．答案與解析【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】D；

【解析】令y=0得x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，則（x+1）（x﹣m）=0，解得：x1=﹣1，x2=m．

∵m＞0＞﹣1，∴R（﹣1，0）、Q（m，0）．∴方程由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

∴A、B正確，與要求不符；

當(dāng)x=0，y=﹣m，∴P（0，﹣m）．∴OP=PQ．∴△OPQ為等腰直角三角形．

∴C正確，與要求不符；

∵拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣=，m＞0，∴x＞﹣．

∴D錯(cuò)誤，與要求相符．

2.【答案】C；

二、填空題

3.【答案】,∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，或

4.【答