復(fù)變函數(shù)1省公開課金獎(jiǎng)全國賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》(第二版)華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系教師黃志祥(博士)1/74參考教材1.數(shù)學(xué)物理方法(第三版)，汪德新編，科學(xué)出版社，4月.2.

數(shù)學(xué)物理方法與計(jì)算機(jī)仿真，楊華軍編，電子工業(yè)出版社，7月.3.

MATLAB及在電子信息課程中應(yīng)用(第3版)，陳懷琛等編著,電子工業(yè)出版社,.4.復(fù)變函數(shù)與積分變換經(jīng)典題分析解集(第二版)，李建林編，西北工業(yè)大學(xué)出版社,1月.017－44/1－22/74教學(xué)方式與要求方式

板書結(jié)合PPT源于書本稍高于書本要求

適當(dāng)做筆記按質(zhì)完成作業(yè)3/74復(fù)變函數(shù)積分變換解析函數(shù)(導(dǎo)數(shù))復(fù)變積分二者關(guān)系:級(jí)數(shù)留數(shù)Fourier變換Laplace變換《復(fù)變函數(shù)與積分變換》主要內(nèi)容第六－七章不講共9周36課時(shí)4/74復(fù)球面5/744.4羅朗級(jí)數(shù)6/74§2.3初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)與反三角函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)冪函數(shù)小結(jié)7/742.3.1指數(shù)函數(shù)1.定義

對于復(fù)數(shù)z=x+iy,定義指數(shù)函數(shù)為注:2.性質(zhì)3.舉例函數(shù)圖像8/742.3.2對數(shù)函數(shù)1.定義2.性質(zhì)(1)多值性

主值支(2)運(yùn)算性(3)解析性3.舉例函數(shù)圖像作業(yè)！9/742.3.3三角函數(shù)1.定義注:正、余弦函數(shù)能夠大于1.2.性質(zhì)(1)單值性(2)周期性(3)奇偶性(4)三角公式(5)解析性函數(shù)圖像10/74反三角函數(shù)定義

假如sinw=z,則稱w為z反正弦函數(shù)，記為一樣，有函數(shù)圖像均為多值函數(shù).11/742.3.4雙曲與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)注：雙曲函數(shù)與三角函數(shù)關(guān)系為函數(shù)圖像Q:雙曲正(余)弦單值性、周期性、奇偶性怎樣？12/742.3.5冪函數(shù)1.定義2.3.舉例13/74小結(jié)

初等函數(shù)是復(fù)變函數(shù)主要研究對像.

介紹了常見基本初等函數(shù)，注意與實(shí)變初等函數(shù)類比學(xué)習(xí)，著重掌握它們之間區(qū)分.

要求:會(huì)計(jì)算基本初等函數(shù)值.

展望第三章復(fù)變函數(shù)積分.14/74結(jié)論:普通情形下冪函數(shù)為多值函數(shù)函數(shù)圖像函數(shù)圖像互為反函數(shù)15/74指數(shù)函數(shù)w=exp(z)圖像虛部MATLAB及在電子信息課程中應(yīng)用(第3版)陳懷琛等編著,電子工業(yè)出版社,.電路信號(hào)與系統(tǒng)數(shù)字信號(hào)處理控制系統(tǒng)16/74對數(shù)函數(shù)w=Ln(z)圖像虛部實(shí)部17/74三角函數(shù)w=sin(z)圖像虛部18/74反三角函數(shù)w=Arctan(z)圖像虛部19/74雙曲正弦函數(shù)w=sh(z)或w=sinh(z)圖像虛部20/74冪整函數(shù)圖像虛部21/74虛部根式函數(shù)

圖像22/74Fourier&LaplaceTransform

Define

Conditions

Properties線性性質(zhì)對稱性質(zhì)延遲、位移性質(zhì)相同性質(zhì)

Define

Conditions

Properties線性性質(zhì)對稱性質(zhì)(無)延遲、位移性質(zhì)相同性質(zhì)

23/74Con’t卷積定理乘積定理及Parseval定理微分性質(zhì)積分性質(zhì)

卷積定理周期函數(shù)像函數(shù)

微分性質(zhì)積分性質(zhì)

Def:Def:24/74常見函數(shù)Fourier變換

(4).常見廣義Fourier變換抽樣函數(shù)25/74常見函數(shù)Laplace變換Attention:t-域函數(shù)f(t)了解應(yīng)該為t為非負(fù)！26/74t-域symst,w;figure(1);ezplot((sin(t))./t,[-50,50]);Fw=fourier((sin(t))./(t),w);figure(2);ezplot(Fw,[-5,5])Matlabcode27/74W-域28/74《數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)》

東南大學(xué)數(shù)學(xué)系(第三版)29/74主要內(nèi)容“三類經(jīng)典方程”

＋

“邊界條件”分離變量法(有界)行波法與積分變換法(無界)Green函數(shù)法(有界或無界)BesselLegendre第七－九章不講共9周36課時(shí)求解Sin&Cos

30/74預(yù)備知識(shí)

1基本概念偏微分方程(PDE):

含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)方程，如其中:為多元函數(shù).方程階:

未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)；方程次數(shù):

最高階偏導(dǎo)冪次；線性方程:

未知函數(shù)及未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)冪次都是一次稱為線性方程，不然就是非線性；自由項(xiàng):

不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)；齊次方程:沒有自由項(xiàng)偏微分方程稱為齊次方程，不然稱為非齊次；31/74Con’t方程解:若將某函數(shù)代入偏微分方程后，使方程化為一個(gè)恒等式，則該函數(shù)為方程解；通解:包含任意獨(dú)立函數(shù)方程解，且獨(dú)立函數(shù)個(gè)數(shù)等于方程階數(shù)；特解:不含任意獨(dú)立函數(shù)方程解.比如：

二階線性非齊次偏微分方程通解為

其中，F(xiàn)與G為兩個(gè)任意獨(dú)立函數(shù).注意：通解所含獨(dú)立函數(shù)個(gè)數(shù)＝偏微分方程階數(shù).

一階非線性非齊次PDE二階線性齊次PDE32/74弦微小橫振動(dòng)33/74傳輸線方程34/74補(bǔ)充1:正交函數(shù)系函數(shù)正交正交函數(shù)系常見正交函數(shù)系Chap2SeparateVariations35/74函數(shù)正交展開完備正交系函數(shù)廣義Fourier級(jí)數(shù)展開36/74三角函數(shù)正交關(guān)系37/74分離變量法解物理意義級(jí)數(shù)解中前四個(gè)駐波分量運(yùn)動(dòng)38/74分離變量法小結(jié)第一步：分離變量.u(x,t)=X(x)T(t)第二步：求解本征值(固有值)問題.X(x)+BCODE第三步：求解T(t)滿足常微分方程.第四步：作特解線性疊加.第五步：由初始條件確定系數(shù).(三角函數(shù)正交性)

為方便記憶:“定解條件寫完整，邊界條件齊次化；五個(gè)步驟循序解，特征問題是關(guān)鍵”.39/74常見邊值問題X′′+

X=0本征函數(shù)小結(jié)40/74常見邊值問題對應(yīng)本征函數(shù)41/74分離變量法拋物型方程＋第三類齊次邊界條件(1-D)42/74橢圓型方程＋第一類齊次邊界條件(2-D)43/7444/7445/7446/7447/7448/7449/7450/7451/7452/74第二章總結(jié)齊次方程＋齊次邊界：分離變量法或本征函數(shù)法非齊次方程＋齊次邊界：本征函數(shù)法非齊次邊界：先將邊界齊次化后，再用本征函數(shù)展開法53/74數(shù)理方程分類標(biāo)準(zhǔn)化方法第三章行波法與積分變換法總結(jié)54/74實(shí)系數(shù)型PDE方程行波解標(biāo)準(zhǔn)型普通型55/74普通強(qiáng)迫振動(dòng)定解問題(1)

56/74普通強(qiáng)迫振動(dòng)定解問題(2)57/74初始條件齊次非齊次達(dá)朗貝爾公式非齊次方程齊次方程沖量原理齊次方程非齊次方程達(dá)朗貝爾公式分解齊次方程+非齊初值非齊方程+齊次初值Chap3.Review(無界)58/74邊界條件齊次非齊次分離變量法非齊次方程齊次方程特征函數(shù)法分解齊次邊界+非齊方程非齊邊界+已知函數(shù)Chap2.Review(有界)59/74總結(jié)PDE＋邊界條件＋初始條件＝定解問題先看邊界，再看初始條件，綜合考慮PDE60/74第四章Green函數(shù)法(以求解Poisson方程為例)

61/74Green第二公式

62/74圓域Green函數(shù)Chap4.Review(GreenFunction)63/74球域Green函數(shù)64/74球內(nèi)源點(diǎn)與球外像點(diǎn)共同作用(Green函數(shù))

65/74僅球內(nèi)