第五節(jié)-對坐標曲面積分省公開課金獎全國賽課一等獎微課獲獎?wù)n件

第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素投影二、對坐標曲面積分概念與性質(zhì)

三、對坐標曲面積分計算法四、兩類曲面積分聯(lián)絡(luò)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對坐標曲面積分第十章1/28一、有向曲面及曲面元素投影?曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面經(jīng)典)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/28其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)

為有向曲面,側(cè)要求

指定了側(cè)曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上投影記為面積為則要求類似可要求機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3/28二、對坐標曲面積分概念與性質(zhì)

1.引例設(shè)穩(wěn)定流動不可壓縮流體速度場為求單位時間流過有向曲面

流量

.分析:若

是面積為S平面,則流量法向量:流速為常向量:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4/28對普通有向曲面

,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對穩(wěn)定流動不可壓縮流體速度場進行分析可得,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束5/28設(shè)

為光滑有向曲面,在

上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,分,記作P,Q,R叫做被積函數(shù);

叫做積分曲面.或第二類曲面積分.以下極限都存在向量場若對

任

則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標曲面積2.定義.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束6/28引例中,流過有向曲面

流體流量為稱為Q在有向曲面

上對

z,x曲面積分;稱為R在有向曲面

上對

x,

y

曲面積分.稱為P在有向曲面

上對

y,z

曲面積分;若記

正側(cè)單位法向量為令則對坐標曲面積分也常寫成以下向量形式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束7/283.性質(zhì)(1)若之間無公共內(nèi)點,則(2)用

ˉ表示

反向曲面,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束8/28三、對坐標曲面積分計算法定理:設(shè)光滑曲面取上側(cè),是

上連續(xù)函數(shù),則證:∵

取上側(cè),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束9/28

?若則有?若則有(前正后負)(右正左負)說明:假如積分曲面

取下側(cè),則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束10/28例1.

計算其中

是以原點為中心,邊長為

a

正立方體整個表面外側(cè).解:

利用對稱性.原式

頂部取上側(cè)

底部取下側(cè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束11/28解:把

分為上下兩部分依據(jù)對稱性思索:下述解法是否正確:例2.計算曲面積分其中

為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束12/28機動目錄上頁下頁返回結(jié)束13/28例3.設(shè)S是球面外側(cè),計算解:利用輪換對稱性,有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束14/28四、兩類曲面積分聯(lián)絡(luò)曲面方向使用方法向量方向余弦刻畫機動目錄上頁下頁返回結(jié)束15/28令向量形式(A在n上投影)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束16/28例4.

位于原點電量為q點電荷產(chǎn)生電場為解:。求E經(jīng)過球面

:r=R外側(cè)電通量

.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束17/28例5.設(shè)是其外法線與z軸正向夾成銳角,計算解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束18/28例6.

計算曲面積分其中

解:利用兩類曲面積分聯(lián)絡(luò),有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分下側(cè).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束19/28原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束20/28內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)絡(luò)

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束21/28性質(zhì):聯(lián)絡(luò):思索:方向相關(guān),上述聯(lián)絡(luò)公式是否矛盾?兩類曲線積分定義一個與

方向無關(guān),一個與

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束22/282.慣用計算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不一樣時分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標面注：二重積分是第一類曲面積分特殊情況.轉(zhuǎn)化機動目錄上頁下頁返回結(jié)束23/28當時，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“

”)類似可考慮在yoz面及zox面上二重積分轉(zhuǎn)化公式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束24/28思索與練習1.P167題2提醒:設(shè)則

取上側(cè)時,

取下側(cè)時,2.P184題13.P167題3(3)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束25/28是平面在第四卦限部分上側(cè),計算提醒:求出

法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分P167題3(3).設(shè)作業(yè)

P1673(1),(2),(4);4(1),