2023學(xué)年福州一中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三學(xué)段模塊考試卷附答案解析

學(xué)年福州一中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三學(xué)段模塊考試卷（完卷120分鐘滿分150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．2．甲、乙、丙等6人相約到電影院看電影，恰好買到了六張連號(hào)的電影票．若甲、乙兩人必須相鄰，則不同的坐法共有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．720種3．函數(shù)的圖像大致是（

）A．B．

C．D．

4．已知今天是星期三，則天后是（

）A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五5．的展開式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．校運(yùn)會(huì)組委會(huì)將甲、乙、丙、丁4名志愿者隨機(jī)派往鉛球、跳遠(yuǎn)、跳高三個(gè)比賽區(qū)域，每個(gè)區(qū)域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一個(gè)區(qū)域．A表示事件“志愿者甲派往鉛球區(qū)域”；表示事件“志愿者乙派往鉛球區(qū)域”；表示事件“志愿者乙派往跳遠(yuǎn)區(qū)域”，則（

）A．事件A與相互獨(dú)立 B．事件A與為互斥事件C． D．8．設(shè)，則下列關(guān)系正確的是（

）A．B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（

）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有40種10．已知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則（

）A．可能為負(fù)值B．為定值C．若，則過點(diǎn)作曲線的切線，切線方程為或D．若存在，使得，則11．在1261年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開始，第行從左至右的數(shù)字之和記為，如：，，，的前項(xiàng)和記為，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，記為，的前項(xiàng)和記為，則下列說法正確的有（

）A．B．的前項(xiàng)和為C．D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知，則．13．4名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“文學(xué)社”、“街舞社”、“模聯(lián)社”三個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，則不同的參加方法數(shù)為．14．已知實(shí)數(shù)、、、滿足，則的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)在處取得極大值．(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值．16．現(xiàn)有4張不同數(shù)字的撲克，每張撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．(1)將余下4個(gè)半張隨機(jī)翻開兩張，然后將桌上4個(gè)半張?jiān)匐S機(jī)翻開兩張，求這四個(gè)半張撲克上的數(shù)字恰好有2個(gè)相同的概率；(2)將余下來的4個(gè)半張隨機(jī)放在桌上4個(gè)半張上面，再分別翻開，記放在一起的兩個(gè)半張數(shù)字相同的個(gè)數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．17．已知函數(shù)．(1)討論在區(qū)間上單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．某校團(tuán)委開展知識(shí)競賽活動(dòng)．現(xiàn)有兩組題目放在兩個(gè)箱子中，箱中有6道選擇題和3道論述題，箱中有3道選擇題和2道論述題．參賽選手先在任一箱子中隨機(jī)選取一題，作答完后再在此箱子中選取第二題作答，答題結(jié)束后將這兩個(gè)題目放回原箱子．(1)若同學(xué)甲從箱中抽取了2題，求第2題抽到論述題的概率；(2)若同學(xué)乙從箱中抽取了2題，答題結(jié)束后誤將題目放回了箱，接著同學(xué)丙從箱中抽取題目作答，（i）求丙取出的第一道題是選擇題的概率；（ii）已知丙取出的第一道題是選擇題，求乙從箱中取出的是兩道論述題的概率．19．設(shè)函數(shù)(1)若函數(shù)與的圖象存在公切線，求的取值范圍；(2)若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，求證：．1．A【分析】求導(dǎo)，再令即可得解.【詳解】，所以.故選：A.2．B【分析】利用相鄰問題捆綁法計(jì)算即可.【詳解】由題意可知不同的坐法有.故選：B3．C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除B，利用函數(shù)值正負(fù)可排除A，再根據(jù)單調(diào)性排除D，得解.【詳解】令，，因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，排除B，又當(dāng)時(shí)，恒成立，排除A，當(dāng)時(shí)，，，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞減，故D不正確.故選：C.4．A【分析】結(jié)合二項(xiàng)式展開式，求出它除以7的余數(shù)，可得結(jié)論.【詳解】．即除以7的余數(shù)為5，所以天后是星期一.故選：A.5．D【分析】借助二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)，有，故的展開式中的系數(shù)為：，即.故選：D.6．A【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合其圖象求出a的范圍，再用a表示，利用導(dǎo)數(shù)法求值域，即可計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其圖象如圖，

方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線與的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，則，由，得：，即，而，，則，于是得，記，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到之間的關(guān)系，從而減少變量得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出其值域即可.7．D【分析】利用相互獨(dú)立事件，互斥事件的定義，條件概率的公式一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】由題意易知分組情況為：2,1,1，即所有安排方案有種，鉛球區(qū)域可能安排2人或1人，所以，同理，，而，，由相互獨(dú)立事件的充要條件可知，事件A與不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；顯然，事件A與能同時(shí)發(fā)生，不為互斥事件，故B錯(cuò)誤；由條件概率公式知，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D8．D【分析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性判定大小即可.【詳解】設(shè)，則，易知，且，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，在時(shí)取得等號(hào)，且，在時(shí)取得等號(hào)，則，在時(shí)取得等號(hào)，所以，即.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：比大小問題通常利用常用的切線放縮，通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性計(jì)算即可.常用的函數(shù)切線放縮有，要注意取等條件.9．ABC【分析】A選項(xiàng)，使用捆綁法進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，分兩種情況，最左端排甲和最左端排乙，分別求出兩種情況下的排法，相加即可；C選項(xiàng)，采用插空法進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，定序問題采用倍縮法進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，將甲與乙捆綁，看做一個(gè)整體，與其他三人站成一排，故有種，A正確；B選項(xiàng)，若最左端排甲，此時(shí)其余四人可進(jìn)行全排列，故有種，若最左端排乙，則最右端只能從丙，丁，戊選出1人，其余三人與三個(gè)位置進(jìn)行全排列，故有種選擇，綜上：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有種，B正確；C選項(xiàng)，先安排丙，丁，戊三人，有種情況，再將甲乙兩人插空，則有種情況，故甲乙不相鄰的排法種數(shù)為種情況，C正確；D選項(xiàng)，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有種情況，D錯(cuò)誤.故選：ABC10．BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可判斷A，從而得到，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，求出極值點(diǎn)，再代入計(jì)算，即可判斷B，設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，從而得到方程，求出即可得到切線方程，從而判斷C，對(duì)于D，將問題轉(zhuǎn)化為有解，結(jié)合計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，則，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞減，故沒有極值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，由解得，，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，而，所以為定值，故B正確.對(duì)于C：若，，，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，整理得，令，則，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以方程的解為或，所以切線方程為或，所以函數(shù)過點(diǎn)的切線方程為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若存在，使得，即，即，即，即，即，由于，所以必存在，對(duì)于，則有，即，解得，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)解答的關(guān)鍵是求出極值點(diǎn)，再代入計(jì)算，C選項(xiàng)過點(diǎn)的切線方程，需要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)，求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可求出切線方程，D選項(xiàng)關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.11．BCD【分析】由題意分析出數(shù)列為等比數(shù)列，再求其前項(xiàng)和，再對(duì)各項(xiàng)逐一分析即可．【詳解】解：從第一行開始，每一行的數(shù)依次對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)，，所以為一個(gè)等比數(shù)列，，所以，故A錯(cuò)誤；，的前項(xiàng)和為，故B正確；去掉每一行中的1以后，每一行剩下的項(xiàng)數(shù)分別為0，1，2，，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)之和為，則的最大整數(shù)為10，楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1，取的就是第12行中的第三項(xiàng)，，故C正確；，這11行中共去掉了22個(gè)1，，故D正確，故選：BCD．12．【分析】利用組合數(shù)性質(zhì)與公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，由組合數(shù)性質(zhì)可知，所以.故答案為：.13．【分析】將4名同學(xué)分三組全排列可計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?名同學(xué)參加3三個(gè)社團(tuán)，每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，所以先將4名同學(xué)分為3組，再將分好的3組全排列，共有種安排方法.故答案為：14．【分析】分析可知的幾何意義就是曲線到曲線上點(diǎn)的距離最小值的平方，只需求出上和直線平行的切線方程，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切點(diǎn)到直線的距離，即可得解.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)、、、滿足，所以，，，所以，點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，的幾何意義就是曲線到曲線上點(diǎn)的距離最小值的平方．考查曲線上和直線平行的切線，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，解得，所以，切點(diǎn)為，該切點(diǎn)到直線的距離就是所要求的兩曲線間的最小距離，故的最小值為．故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，然后令求出，代入驗(yàn)證是否符合題意即可；（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值.【詳解】（1）由已知令得或，當(dāng)時(shí)，令得或，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，與函數(shù)在處取得極大值不符；當(dāng)，即時(shí)，令得或，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意；所以；（2）由（1）得，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，且.因?yàn)?所以.16．(1)(2)1【分析】（1）利用組合知識(shí)結(jié)合古典概型計(jì)算概率即可；（2）利用離散型隨機(jī)變量的分布列與期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可知總情況有種，而翻開的四個(gè)半張撲克掐有2張相同的可能情況有，所以這四個(gè)半張撲克上的數(shù)字恰好有2個(gè)相同的概率為；（2）由題意可知的可能取值有，則，，所以的分布列為：0124P則.17．(1)答案見解析；(2)【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分區(qū)間討論即可；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值結(jié)合隱零點(diǎn)計(jì)算即可.【詳解】（1）由，在時(shí)，，若，即在區(qū)間上單調(diào)遞增；若，即在區(qū)間上單調(diào)遞減；若，令，令，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）根據(jù)題意可知恒成立，設(shè)，則，令，則定義域上單調(diào)遞增，易知，即，使得，即時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，所以，即18．(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）設(shè)出事件,利用全概率公式求解即可；（2）設(shè)出事件，，，并求出對(duì)應(yīng)的概率，利用全概率公式求出，然后利用條件概率公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)事件表示“甲第i次從B信封中取到論述題”，，2，則，，，.由全概率公式得第2題抽到論述題的概率.（2）設(shè)事件A為“丙從B信封中取出的第一個(gè)題是選擇題”，事件為“乙從A信封中取出2個(gè)選擇題”，事件為“乙從A信封中取出1個(gè)選擇題和1個(gè)論述題”，事件為“乙從A信封中取出2個(gè)論述題”，則，，兩兩互斥且，則，，，，，，（i）所以丙取出的第一道題是選擇題的概率為，（ii）已知丙取出的第一道題是選擇題，乙從箱中取出的是兩道論述題的概率為.19．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分類討論切點(diǎn)是否為公共點(diǎn)，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法求其單調(diào)性與最值計(jì)算可得的取值范圍；（2）先構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)判定，再二次函數(shù)根的分布結(jié)合隱零點(diǎn)確定，利用比值換元，消元轉(zhuǎn)化得，構(gòu)造函數(shù)判定，由適當(dāng)放縮即可證明結(jié)論.【詳解】（1）易知，①若切點(diǎn)為兩函數(shù)公共點(diǎn)，不妨設(shè)為，即，易知切點(diǎn)為，此時(shí)，②若切點(diǎn)不為兩函數(shù)公共點(diǎn)，由題意不妨設(shè)函數(shù)與上的切點(diǎn)分別為，