第八講全微分

第八講全微分一、全微分的定義二、全微分存在的必要條件三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1一元函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的微分：其中2一、全微分的定義

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)自變量x，y在點(diǎn)(x0,y0)的該鄰域內(nèi)分別取得增量和時(shí)，函數(shù)的全增量為3引例、設(shè)矩形金屬薄板長為x，寬為y，則面積S=xy.薄板受熱膨脹，長自x0增加，寬自y0增加，其面積相應(yīng)增加全增量由三項(xiàng)組成.

比其余兩項(xiàng)小得多.4所以全增量只是的函數(shù).將增量分離出和的線性部分,再加上一項(xiàng)比高階的無窮小.又因?yàn)閤0，y0為常數(shù)，5定義8、6

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，如果z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量可表示為其中A，B與無關(guān)，是比高階的無窮小，則稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分，記作dz，即也稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微.6

與一元函數(shù)類似，全微分dz是的線性函數(shù)，是比高階的無窮小.當(dāng)充分小時(shí)，可用全微分dz作為函數(shù)的全增量的近似值.7二、全微分存在的必要條件定理8.2

(全微分存在的必要條件)

如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，則f(x,y)在該點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，并且A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0).與一元函數(shù)微分類似，規(guī)定自變量x，y的增量等于自變量的微分dx，dy，即.于是全微分又可寫成這個(gè)可定理得到全微分的計(jì)算公式：8如果函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處都可微，則稱f(x,y)在域D內(nèi)是可微的.這樣，域D內(nèi)任一點(diǎn)處的全微分為或?qū)懗?

如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一領(lǐng)域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在，且在這一點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微。定理8.3(全微分存在的充分條件)

（了解）

注：函數(shù)可微則函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一定存在；但函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)不一定可微。10上面兩個(gè)個(gè)定理可以完全推廣到三元和三元以上的多元函數(shù).如三元函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分存在，則有11例1

求z=xy在點(diǎn)(2,3)處，關(guān)于的全增量與全微分.解12例2

求的全微分.解所以在點(diǎn)(x,y)處的全微分為：13例3

求在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解：所以在點(diǎn)(2,1)處的全微分為14例4

求