考研數(shù)學(xué)一(數(shù)理統(tǒng)計)模擬試卷1(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷1(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設(shè)X1，X2，X3，X4為來自總體N(1，σ2)(σ＞0)的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量的分布為()A．N(0，1)B．t(1)C．X2(1)D．F(1，1)正確答案：B解析：考查產(chǎn)生t分布的典型模式由于Xi服從N(1，σ2)，i=1，2，3，4，且相互獨立，所以X1-X2服從N(0，2σ2)，X3+X4-2服從N(0，2σ2)．于是服從N(0，1)，服從N(0，1)．知識模塊：數(shù)理統(tǒng)計2．設(shè)總體X服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn(n≥2)為來自總體X的簡單隨機樣本，統(tǒng)計量，則有()A．E(T1)＞E(T2)，D(T1)＞D(T2)B．E(T1)＞E(T2)，D(T1)＜D(T2)C．E(T1)＜E(T2)，D(T1)＞D(T2)D．E(T1)＜E(T2)，D(T1)＜D(T2)正確答案：D解析：故D(T1)＜D(T2)，從而應(yīng)選D．知識模塊：數(shù)理統(tǒng)計3．設(shè)總體X和Y相互獨立，且都服從N(μ，σ2)，分別為總體X與Y的樣本容量為n的樣本均值，則當(dāng)n固定時，概率的值隨σ的增大而()A．單調(diào)增大B．保持不變C．單調(diào)減少D．增減不定正確答案：B解析：故應(yīng)選B知識模塊：數(shù)理統(tǒng)計4．設(shè)總體X服從N(μ，σ2)，分別是取自總體X的樣本容量分別為10和15的兩個樣本均值，記p1=，則有()A．p1＜p2B．p1=p2C．p1＞p2D．p1=μ，p2=6正確答案：C解析：因為由于Ф(x)是單調(diào)增加的，所以p1＞p2，應(yīng)選C．知識模塊：數(shù)理統(tǒng)計5．設(shè)總體X服從N(μ，σ2)，與S2分別為樣本均值和樣本方差，n為樣本容量，則下面結(jié)論不成立的是()A．B．C．D．正確答案：D解析：正態(tài)總體抽樣分布中，與S2是相互獨立的，故A、B、C選項結(jié)論都是正確的，只有D是不成立的．知識模塊：數(shù)理統(tǒng)計解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。6．設(shè)X1，X2，…，X6是來自正態(tài)總體N(0，32)的一個簡單隨機樣本，求常數(shù)a，b，c使T=aX21+b(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2服從X2(3)．正確答案：由題意X1服從N(0，32)，X2+X3服從N(0，18)，X4+X5+X6服從N(0，27)，于是從而a=1/9，b=1/18，c=1/27解析：考查產(chǎn)生X2分布的典型模式．X2分布是由相互獨立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量序列的平方和得到的，按照該定義，求出a，b，c．知識模塊：數(shù)理統(tǒng)計7．設(shè)隨機變量X服從t(n)，判斷Y=X2，Z=1/X2所服從的分布．正確答案：由于X服從t(n)，設(shè)U服從N(0，1)，V服從X2(n)，且Y與Z相互獨立，則X可表示為，于是解析：考查產(chǎn)生F分布的典型模式．知識模塊：數(shù)理統(tǒng)計8．設(shè)和S2分別是來自正態(tài)總體N(0，σ2)的樣本均值和樣本方差，樣本容量為n，判斷所服從的概率分布．正確答案：涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計9．設(shè)隨機變量X和Y相互獨立且都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，而X1，X2，X3與Y1，Y2，Y3，Y4分別是來自總體X和Y的兩個簡單隨機樣本，判斷統(tǒng)計量服從的分布．正確答案：由正態(tài)總體的抽樣分布．涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計10．已知二維隨機變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布N(0，1，22，32，0)，判斷服從的概率分布．正確答案：由題意X服從N(0，22)，Y服從N(1，32)，且相互獨立，解析：由隨機變量F的形式可推斷其服從F分布．知識模塊：數(shù)理統(tǒng)計11．設(shè)隨機變量X和Y相互獨立且都服從正態(tài)分布N(0，9)，而X1，…，X9與Y1，…，Y9分別是來自總體X和Y的兩個簡單隨機樣本，判斷統(tǒng)計量所服從的分布．正確答案：涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計設(shè)X1，X2，…，Xn(n＞1)是取自總體X的一個簡單隨機樣本，．在下列四種情況下，分別求．12．X服從B(1，p)；正確答案：由于樣本X1，X2，…，Xn(n＞1)是相互獨立的，并且與總體服從相同的分布，從而這說明，不論總體服從何種分布，只要期望和方差都存在，則故涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計13．X服從E(λ)；正確答案：涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計14．X服從N(μ，σ2)．正確答案：涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計15．設(shè)總體X服從N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn為取自總體X的一個簡單隨機樣本，與S2分別為樣本均值和樣本方差，統(tǒng)計量求E(T)和D(T)．正確答案：由題意知，涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計16．設(shè)總體X服從N(μ1，σ2)，Y服從N(μ2，σ2)，又X1，X2，…，Xn2和Y1，Y2，…，Yn2分別為取自總體X和Y的簡單隨機樣本．求正確答案：注：本題有多種解法，讀者可自己練習(xí)思考，比較不同方法的解題效率．涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計17．設(shè)總體X服從N(μ，σ2)(σ＞0)，X1，X2，…，X2n(n≥2)為取自總體X的簡單隨機樣本，樣本均值為．求統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望E(Y)．正確答案：將(X1+X2)，(X2+Xn+2)，…，(Xn+X2n)視為取自總體N(2μ，2σ2)的簡單隨機樣本，則其樣本均值為樣本方差為由于，所以E(Y)=(n-1)·2σ2=2(n-1)σ2．涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是一個樣本，X，S2分別為樣本均值和樣本方差，設(shè)C1，…，Cn是不全相等的常數(shù)，且，18．判斷所服從的分布；正確答案：涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計19．求正確答案：涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計20．求正確答案：涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計21．設(shè)X1，X2是取自正態(tài)總體X的簡單隨機樣本，X服從N(0，σ2)，求正確答案：由已知，X1和X2都服從N(0，σ2)，從而X1+X2服從N(0，2σ2)，X1-X2服從N(0，2σ2)．解析：考查統(tǒng)計量所表示事件的概率，應(yīng)從統(tǒng)計量的分布入手，再計算概率．知識模塊：數(shù)理統(tǒng)計22．從總體N(100，4)中抽取樣本容量為16的簡單隨機樣本，樣本均值為，求k的值．正確答案：由已知服從N(0，1)．從而Ф(2k)=0．975，2k=1．96，k=0．98．注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)上α分位數(shù)U0.025=1．96．涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計23．設(shè)總體X的概率密度為又X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，為使P{min(X1，X2，…，Xn)＜π/12)≥15/16，則樣本容量n應(yīng)滿足什么條件?正確答案：由已知，X的分布函數(shù)為由于從而n≥4．涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計24．設(shè)總體X的概率分布為其中θ(0＜θ＜1/2)是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值-1，0，0，1，1，求θ的矩估計值和最大似然估計值．正確答案：E(X)=(-1)×θ+0×(1-2θ)+1×θ=0．故利用一階原點矩不能求出θ的矩估計值．因此利用二階原點矩，E(x2)=(-1)2×θ+02×(1-2θ)+12×θ=2θ，又樣本二階原點矩從而令2θ=0．6，得θ的矩估計值為對于樣本值-1，0，0，1，1，似然函數(shù)為L(θ)=θ(1-2θ)2θ2=θ3(1-2θ)2，取對數(shù)似然函數(shù)lnL(θ)=3lnθ+2ln(1-2θ)．令解得θ的最大似然估計值為解析：考查離散型總體參數(shù)的點估計法．利用總體矩與樣本矩對應(yīng)相等，可求出矩估計值，通過求似然函數(shù)的最大值，可得未知參數(shù)的最大似然估計值．涉及知識點：數(shù)理統(tǒng)計25．設(shè)某信息臺在某一段時間內(nèi)接到的通話次數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，現(xiàn)統(tǒng)計到42個數(shù)據(jù)如下：由此數(shù)據(jù)求未知參數(shù)λ的最大似然估計值．正確答案：設(shè)x1，x2，…，xn為一組樣本值．似然函數(shù)取對數(shù)似然函數(shù)令得λ的最大似然估計量，代入觀測數(shù)據(jù)，得λ的最大似然估計