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文檔簡介

景山學校2024年高考仿真卷數(shù)學試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說,河圖、洛書是中華文化,陰陽術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽數(shù),黑點為陰數(shù),若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù),則其差的絕對值為5的概率為A. B. C. D.2.正項等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點,則()A. B.1 C. D.23.已知點P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點P在第一象限,點P關(guān)于原點O的對稱點為A,點P關(guān)于x軸的對稱點為Q,設(shè),直線AD與橢圓τ的另一個交點為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.4.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.5.已知集合的所有三個元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.6.函數(shù)的值域為()A. B. C. D.7.若復數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,是的共軛復數(shù),則復數(shù)()A. B. C.4 D.58.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.169.已知為兩條不重合直線,為兩個不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.10.已知函數(shù),,若存在實數(shù),使成立,則正數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.一個盒子里有4個分別標有號碼為1,2,3,4的小球,每次取出一個,記下它的標號后再放回盒子中,共取3次,則取得小球標號最大值是4的取法有()A.17種 B.27種 C.37種 D.47種12.已知,,是平面內(nèi)三個單位向量,若,則的最小值()A. B. C. D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)滿足約束條件且的最小值為7,則=_________.14.已知,是互相垂直的單位向量,若與λ的夾角為60°,則實數(shù)λ的值是__.15.某市公租房源位于、、三個小區(qū),每位申請人只能申請其中一個小區(qū)的房子,申請其中任意一個小區(qū)的房子是等可能的,則該市的任意位申請人中,恰好有人申請小區(qū)房源的概率是______.(用數(shù)字作答)16.已知全集為R,集合,則___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓,點為半圓上一動點,若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點.(1)求證:;(2)當時,求的取值范圍.18.(12分)某中學準備組建“文科”興趣特長社團,由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調(diào)查,問卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績(單位:分)進行統(tǒng)計,將數(shù)據(jù)按照,,,,分成5組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱為“文科方向”學生,低于60分的稱為“理科方向”學生.理科方向文科方向總計男110女50總計(1)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關(guān)?(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的分布列、期望和方差.參考公式:,其中.參考臨界值:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,為其中心,為銳角三角形,且平面底面,為的中點,.(1)求證:平面;(2)求證:.20.(12分)如圖,三棱柱的所有棱長均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的余弦值.21.(12分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成.在此區(qū)域內(nèi)原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點.已知長為40米,設(shè)為.(上述圖形均視作在同一平面內(nèi))(1)記四邊形的周長為,求的表達式;(2)要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值.22.(10分)已知點,直線與拋物線交于不同兩點、,直線、與拋物線的另一交點分別為兩點、,連接,點關(guān)于直線的對稱點為點,連接、.(1)證明:;(2)若的面積,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

陽數(shù):,陰數(shù):,然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù),最后計算相應(yīng)概率.【詳解】因為陽數(shù):,陰數(shù):,所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有:個,滿足差的絕對值為5的有:共個,則.故選:A.【點睛】本題考查實際背景下古典概型的計算,難度一般.古典概型的概率計算公式:.2、B【解析】

根據(jù)可導函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為,得出,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解:依題意、是函數(shù)的極值點,也就是的兩個根∴又是正項等比數(shù)列,所以∴.故選:B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標和性質(zhì)以應(yīng)用,屬于中檔題.3、C【解析】

設(shè),則,,,設(shè),根據(jù)化簡得到,得到答案.【詳解】設(shè),則,,,則,設(shè),則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.4、B【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征,然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體為邊長為正方體挖去一個以為球心以為半徑球體的,如圖,故其表面積為,故選:B.【點睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當?shù)姆治?,從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和;組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面,計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.5、B【解析】

分類討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題,其本質(zhì)在于弄清計數(shù)原理,分類討論,分別求解.6、A【解析】

由計算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域為.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關(guān)鍵就是求出對象角的取值范圍,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)復數(shù)的四則運算法則先求出復數(shù)z,再計算它的模長.【詳解】解:復數(shù)z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故選D.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的計算問題,要求熟練掌握復數(shù)的四則運算以及復數(shù)長度的計算公式,是基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運用,屬于中檔題.9、D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理,對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.【詳解】對于A,當,,時,則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯誤;對于B,當,,時,則,故不能作為的充分條件,故B錯誤;對于C,當,,時,則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯誤;對于D,當,,,則一定能得到,故D正確.故選:D.【點睛】本題考查了面面垂直的判斷問題,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)實數(shù)滿足的等量關(guān)系,代入后將方程變形,構(gòu)造函數(shù),并由導函數(shù)求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,結(jié)合存在性問題的求法,即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù),,由題意得,即,令,∴,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,而,當且僅當,即當時,等號成立,∴,∴.故選:A.【點睛】本題考查了導數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,由基本不等式求函數(shù)的最值,存在性成立問題的解法,屬于中檔題.11、C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種;先找到最大值不是4的情況,即三次取出標號均不為4的球的情況,進而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標號最大值是4的取法有種,故選:C【點睛】本題考查古典概型,考查補集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由于,且為單位向量,所以可令,,再設(shè)出單位向量的坐標,再將坐標代入中,利用兩點間的距離的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】解:設(shè),,,則,從而,等號可取到.故選:A【點睛】此題考查的是平面向量的坐標、模的運算,利用整體代換,再結(jié)合距離公式求解,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域,再把目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為,對參數(shù)a分類討論,當時顯然不滿足題意;當時,直線經(jīng)過可行域中的點A時,截距最小,即z有最小值,再由最小值為7,得出結(jié)果;當時,的截距沒有最小值,即z沒有最小值;當時,的截距沒有最大值,即z沒有最小值,綜上可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域如下:由,可得出交點,由可得,當時顯然不滿足題意;當即時,由可行域可知當直線經(jīng)過可行域中的點A時,截距最小,即z有最小值,即,解得或(舍);當即時,由可行域可知的截距沒有最小值,即z沒有最小值;當即時,根據(jù)可行域可知的截距沒有最大值,即z沒有最小值.綜上可知滿足條件時.故答案為:3.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題,約束條件和目標函數(shù)中都有參數(shù),要對參數(shù)進行討論.14、【解析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義,列出方程解方程即可求出λ的值.【詳解】解:由題意,設(shè)(1,0),(0,1),則(,﹣1),λ(1,λ);又夾角為60°,∴()?(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【點睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運算問題,是中檔題.15、【解析】

基本事件總數(shù),恰好有2人申請小區(qū)房源包含的基本事件個數(shù),由此能求出該市的任意5位申請人中,恰好有2人申請小區(qū)房源的概率.【詳解】解:某市公租房源位于、、三個小區(qū),每位申請人只能申請其中一個小區(qū)的房子,申請其中任意一個小區(qū)的房子是等可能的,該市的任意5位申請人中,基本事件總數(shù),該市的任意5位申請人中,恰好有2人申請小區(qū)房源包含的基本事件個數(shù):,該市的任意5位申請人中,恰好有2人申請小區(qū)房源的概率是.故答案為:.【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于中檔題.16、【解析】

先化簡集合A,再求A∪B得解.【詳解】由題得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案為{-1,0,1}【點睛】本題主要考查集合的化簡和并集運算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】

(1)分兩種情況討論:①兩切線、中有一條切線斜率不存在時,求出兩切線的方程,驗證結(jié)論成立;②兩切線、的斜率都存在,可設(shè)切線的方程為,將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由可得出關(guān)于的二次方程,利用韋達定理得出兩切線的斜率之積為,進而可得出結(jié)論;(2)求出點、的坐標,利用兩點間的距離公式結(jié)合韋達定理得出,換元,可得出,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】(1)由于點在半圓上,則.①當兩切線、中有一條切線斜率不存在時,可求得兩切線方程為,或,,此時;②當兩切線、的斜率都存在時,設(shè)切線的方程為(、的斜率分別為、),,,,.綜上所述,;(2)根據(jù)題意得、,,令,則,所以,當時,,當時,.因此,的取值范圍是.【點睛】本題考查橢圓兩切線垂直的證明,同時也考查了弦長的取值范圍的計算,考查計算能力,屬于中等題.18、(1)列聯(lián)表見解析,有;(2)分布列見解析,,.【解析】

(1)由頻率分布直方圖可得分數(shù)在、之間的學生人數(shù),可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計算的值,結(jié)合參考臨界值表可得到結(jié)論;(2)從該校高一學生中隨機抽取1人,求出該人為“文科方向”的概率.由題意,求出分布列,根據(jù)公式求出期望和方差.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得分數(shù)在之間的學生人數(shù)為,在之間的學生人數(shù)為,所以低于60分的學生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為理科方向文科方向總計男8030110女405090總計12080200又,所以有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關(guān).(2)易知從該校高一學生中隨機抽取1人,則該人為“文科方向”的概率為.依題意知,所以(),所以的分布列為0123P所以期望,方差.【點睛】本題考查獨立性檢驗,考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差,屬于中檔題.19、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】

(1)通過證明,即可證明線面平行;(2)通過證明平面,即可證明線線垂直.【詳解】(1)連,因為為平行四邊形,為其中心,所以,為中點,又因為為中點,所以,又平面,平面所以,平面;(2)作于因為平面平面,平面平面,平面,所以,平面又平面,所以又,,平面,平面所以,平面,又平面,所以,.【點睛】此題考查證明線面平行和線面垂直,通過線面垂直得線線垂直,關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)判定定理,找出平行關(guān)系和垂直關(guān)系證明.20、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)連接交于點,連接,由于平面,得出,根據(jù)線線位置關(guān)系得出,利用線面垂直的判定和性質(zhì)得出,結(jié)合條件以及面面垂直的判定,即可證出平面平面;(Ⅱ)根據(jù)題意,建立空間直角坐標系,利用空間向量法分別求出和平面的法向量,利用空間向量線面角公式,即可求出直線與平面所成角的余弦值.【詳解】解:(Ⅰ)證明:連接交于點,連接,則平面平面,平面,,為的中點,為的中點,平面,,平面,平面,平面平面(Ⅱ)建立如圖所示空間直角坐標系,設(shè)則,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,取得,設(shè)直線與平面所成角為,直線與平面所成角的余弦值為

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