《數(shù)學(xué)小學(xué)三年級奧數(shù)》（附答案）第20講 簡單枚舉

《數(shù)學(xué)小學(xué)三年級奧數(shù)專題》第20講簡單枚舉

一、知識要點

枚舉是一種常見的分析問題、解決問題的方法。一般地，要根據(jù)問題要求,

一一列舉問題解答。運用枚舉法解應(yīng)用題時，必須注意無重復(fù)、無遺漏，因此

必須有次序、有規(guī)律地進行枚舉。

運用枚舉法解題的關(guān)鍵是要正確分類，要注意以下兩點：一是分類要全，

不能造成遺漏；二是枚舉要清，要將每一個符合條件的對象都列舉出來。

二、精講精練

【例題1】從小華家到學(xué)校有3條路可走,從學(xué)校到文峰公園有4條路可走。

從小華家到文峰公園，有幾種不同的走法？

小華家文峰公園

練習(xí)1：

1、從甲地到乙地，有3條公路直達，從乙地到丙地有2條鐵路直達。從甲地到

丙地有多少種不同走法？

2、新華書店有3種不同的英語書，4種不同的數(shù)學(xué)讀物銷售。小明想買一種英

語書和一種數(shù)學(xué)讀物，共有多少種不同買法？

【例題2】用紅、綠、黃三種信號燈組成一種信號，可以組成多少種不同的信號？

練習(xí)2：

1、用紅、黃、藍三種顏色涂圓圈，每個圓圈涂一種顏色，一共有多少種不同的

涂法？OOO

2、用數(shù)字1、2、3.可以組成多少個不同的三位數(shù)？分別是哪幾個數(shù)?

【例題3】一個長方形的周長是22米，如果它的長和寬都是整米數(shù)，那么這個

長方形的面積有多少種可能？

長（米）109876

寬（米）12345

面積（米*2）101824283

練習(xí)3：

1、一個長方形的周長是30厘米，如果它的長和寬都是整厘米數(shù)，那么這個長

方形的面積有多少種可能值？

2、把15個玻璃球分成數(shù)量不同的4堆，共有多少種不同的分法?

【例題4】有4位小朋友，寒假中互相通一次電話，他們一共打了多少次電話?

練習(xí)4：

1、6個小隊進行排球比賽，每兩隊比賽一場，共要進行多少次比賽?

2、有8位小朋友，要互通一次電話，他們一共打了多少次電話?

【例題5】一條鐵路，共有10個車站，如果每個起點站到終點站只用一種車票

（中間至少相隔5個車站），那么這樣的車票共有多少種？

12345678910

練習(xí)5：

1、上海、北京、天津三個城市分別設(shè)有一個飛機場，它們之間通航一共需要多

少種不同的機票？

2、一條公路上，共有8個站點。如果每個起點到終點只用一種車票(中間至少

相隔3個車站)，那么共有多少種不同的車票？

三、課后作業(yè)

1、明明有2件不同的上衣，3條不同的褲子，4雙不同的鞋子。最多可搭配成

多少種不同的裝束？

2、用2、3、5、7四個數(shù)字，可以組成多少個不同的四位數(shù)?

3、3個自然數(shù)的乘積是18,問由這樣的3個數(shù)所組成的數(shù)組有多少個？如

(1.2.9)就是其中的一個，而且數(shù)組中數(shù)字相同但順序不同的算作同一數(shù)組,

如(1.2.9)和(2.9,1)是同一數(shù)組。

4、小芳出席由19人參加的聯(lián)歡會，散會后，每兩人都要握一次手，他們一共

握了多少次手？

5、在長江的某一航線上共有6個碼頭，如果每個起點終點只許用一種船票（中

間至少要相隔2個碼頭），那么這樣的船票共有多少種？

答案第20講簡單枚舉.

一、知識要點

枚舉是一種常見的分析問題、解決問題的方法。一般地，要根據(jù)問題要求，一一列舉問

題解答。運用枚舉法解應(yīng)用題時，必須注意無重復(fù)、無遺漏，因此必須有次序、有規(guī)律地進

行枚舉。

運用枚舉法解題的關(guān)鍵是要正確分類，要注意以下兩點：一是分類要全，不能造成遺漏;

二是枚舉要清，要將每一個符合條件的對象都列舉出來。

二、精講精練

【例題1】從小華家到學(xué)校有3條路可走，從學(xué)校到文峰公園有4條路可走。從小華家

到文峰公園，有幾種不同的走法？

第一種走法：家3學(xué)校%文嵯公園

第二種走法：家?學(xué)校譬文）公園

小華家文峰公園第三種走法：豆至學(xué)校-京文峰公園

學(xué)校

第四種走法：豪二變學(xué)校2亭:峰公園

第五種走法：家芨學(xué)校紂文峰公園

第六種走法：家?學(xué)寂堂文峰公園

【思路導(dǎo)航】為了幫助理解題意，我們可以畫出第七種走法：家,學(xué)校^峰公園

第八種走法：裝亙學(xué)校高■文峰公園

如上示意圖。

第九種走法：家岑學(xué)校甘土峰公園

我們把小華的不同走法一一列舉如下：第十種走法：家?學(xué)校瓦土嵯公園

根據(jù)列舉可知，從小明家經(jīng)學(xué)校到文峰公園，第十一種走法：家q學(xué)松益文峰公園

走①路有4種不同走法，走②路有4種不同走法，走第十二種走法：家二垂板幸t峰公園

③路也有4種不同走法，共有4X3=12種不同走法。

練習(xí)1:

1.從甲地到乙地，有3條公路直達，從乙地到丙地有2條鐵路直達。從甲地到丙地有多

少種不同走法？

答案

解，由題意得，從甲地到丙地不同走法有，3x2—6（種）故答案為，6種

解析

因為甲地到乙地有3種選擇，而乙地到丙地有兩種選擇，則利用乘法運算即可求出從甲地到丙地不同走法.

1.新華書店有3種不同的英語書，4種不同的數(shù)學(xué)讀物銷售。小明想買一種英語書和一

種數(shù)學(xué)讀物，共有多少種不同買法？

n二

解：

3x4=12（種）

答，共有12種不同的買法.

故答案為?12種

解析

新華書店有3種英語書，4種數(shù)學(xué)書,要買一種英語書和一本數(shù)學(xué)書時，每種英語書都可以分別與4鐘數(shù)學(xué)書組合，進而求出共有的買法.

本題重在運用簡單的排列組合規(guī)律解答.

2.明明有2件不同的上衣，3條不同的褲子，4雙不同的鞋子。最多可搭配成多少種不

同的裝束？

答案

肉

2x3x4=24］種）

管，最多可搭配成24種不同的裝束.

故答案為，24種

明明有2件不同的上衣，3條不同的裙子,4雙不同的鞋子,棄戴分三步完成，第一步穿上衣有2種不同選擇,第二步福子有:網(wǎng)?不同選擇，第三步有4科不同選擇.J8守秉法原理.

本題重在運用排列組合的規(guī)律來解答.

【例題2】用紅、綠、黃三種信號燈組成一種信號，可以組成多少種不同的信號?

【思路導(dǎo)航】要使信號不同，要求每一種信號顏色的順序不同，我們可以把這些信號進

行列舉?？梢钥闯?，紅色信號燈排在第一個位置時，有(gxgxg)麴(嗨

兩種不同的信號，綠色信號燈排在第一個位置時，也有

兩種不同的信號，黃色信號燈排在第一個位置時，也有⑥

兩種不同的信號，因而共有3個2種不同排列方法，即2X3=6種。

練習(xí)2：1.用紅、黃、藍三種顏色涂圓圈，每個圓圈涂一種顏色，一共有多少種不同的

涂法？。。。

答案

3x2x1

=6x1

7種)

答：一共有6種不同的涂法.

2.用數(shù)字1、2、3.可以組成多少個不同的三位數(shù)？分別是哪幾個數(shù)？

答案

解I

根據(jù)百位上數(shù)字的不同，我們可以將它們分成三類I

第1類，百位上的數(shù)字為1,有123,132;

第2類：百位上的數(shù)字為2,有213,2311

第3類：百位上的數(shù)字為3,有312,321.

答?可以組成6個不同的三位數(shù)；分別是123、132、213、231、312和321.

故答案為，

6;123;132J213?2311312J321

解析

根據(jù)百位上數(shù)字的不同，我們可以將它們分成三類：

第1類：百位上的數(shù)字為1,有123,132;

第2類：百位上的數(shù)字為2,有213,231;

第3類?百位上的數(shù)字為3,有312,321.

解決這個問題的關(guān)鍵之處是注意分類思想的運用，明白1、2、3三個數(shù)字可以放在任何三個不同位置上，3個數(shù)字又可重復(fù)使用，要做到不重復(fù)和遺漏.

3.用2、3、5、7四個數(shù)字，可以組成多少個不同的四位數(shù)?

4x3x2=24

【例題3】一個長方形的周長是22米，如果它的長和寬

長（:米）109876

都是整米數(shù)，那么這個長方形的面積有多少種可能？

寬（米）12345

【思路導(dǎo)航】由于長方形的周長是22米，可知它的長

面積（米*2）101824283

與寬之和為11米。下面列舉出符合這個條件的各種長方形：

練習(xí)3：

1.一個長方形的周長是30厘米，如果它的長和寬都是整厘米數(shù)，那么這個長方形的面

積有多少種可能值？

7種可能

2.把15個玻璃球分成數(shù)量不同的4堆，共有多少種不同的分法？

答案

解：根據(jù)題意可得：

15=1+2+3+9；15=1+2+4+8；15=1+2+5+7；15=1+3+4+7；15=1+3+5+6；15=2+3+

4+6；一共有6種.

答：共有6種不同的分法.

故答案為：6.故答案為：6種

解析

要把15個小球分成數(shù)量不同的4堆，把15拆成4個不同的數(shù)相加，然后一一列舉出來，再進一步

解答即可.

本題重在理解分成4堆數(shù)量不同的分法，列舉解答.

3.3個自然數(shù)的乘積是18,問由這樣的3個數(shù)所組成的數(shù)組有多少個？如（1.2.9）就

是其中的一個，而且數(shù)組中數(shù)字相同但順序不同的算作同一數(shù)組，如（1.2.9）和（2.9,1）

是同一數(shù)組。

答案4種

解析

因為：18=1X2X3

1,2,3,3這四個數(shù)可以組成的數(shù)有：1.2.3.6.9.18

按要求可以組成的數(shù)組有：(1.1.18).(1.2.9).(1.3.6).(2.

3.3)

【例題4】有4位小朋友，寒假中互相通一次電話，他們一共打了多少次電話？

【思路導(dǎo)航】把4個小朋友分別編號：A、B、C、D,A與其他小朋友打電話，應(yīng)該打3

次，同樣B小朋友也應(yīng)打3次電話，同樣C、D應(yīng)該各打3次電話。4個小朋友，共打了3X

4=12次。但題目要求兩個小朋友之間只要通一次電話，那么A打電話給B時，A、B兩人已經(jīng)

通過話了，所以B沒有必要再打電話給A,照這樣計算，12次電話中，有一半是重復(fù)計算的,

所以實際打電話的次數(shù)是3X4+2=6次。

練習(xí)4：

1.6個小隊進行排球比賽，每兩隊比賽一場，共要進行多少次比賽？

8.典愛敕行環(huán)次比?

?1個小卜俊什其丘修朗,i小小之便MB行一場山號.SPtfnAHVtt.fitz?i艮…小及暮?槨竹一修兒?,財庸占小。叁愫身為q十It號士任周，l、H之■!?什ffl.新乂江比=

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2.有8位小朋友，要互通一次電話，他們一共打了多少次電話?

答案

7+6+5+4+3+2=27

3.小芳出席由19人參加的聯(lián)歡會，散會后，每兩人都要握一次手，他們一共握了多少

次手？

答案

解?18+17+16+15+14+13+12+11+!04-?+84-7-1-6+5-1-3?2?1-19-9=171故答案為>171

解析

利用學(xué)過一一列舉的知識來解答此題.

就是用一一列舉的方法把所有的情況列舉出來然后再算出它們的和即可.

【例題5】一條鐵路，共有10個車站，如果每個起點站到終點站只用一種車票（中間至

少相隔5個車站），那么這樣的車票共有多少種？

我們可以利用列舉的方法：號？1?

如果起點站是1.那么終點站只能是7、8、9或

10；如果起站站是2.那么終點站只能是8、9或10；如果起點站是3.那么終點站只能是9或

10；如果起點站是4,終點站只能是10；如果起點站是5、6時，就找不到與它至少相隔5站

的終點站了；如果起點站是7,終點站只能是1；如果起點站是8,那么終點站是2或1；如

果起點站是9,那么終點站是3、2或1；如果起點站是10,那么終點站是4、3、2或1。所

以，起點到終點至少相隔5個車站的車票有：4+3+2+1+0+0+1+2+3+4=20

練習(xí)5：

1.上海、北京、天津三個城市分別設(shè)有一個飛機場，它們之間通航一共需要多少種不同

的機票？

答案

一根據(jù)排列組合的知識可知.用=6

6種，

上海一一＞北京

北京一一＞上海

上海一一＞天津

天津一一＞上海

北京---＞天津

天津---＞北京

2.一條公路上，共有8個站點。如果每個起點到終點只用一種車票（中間至少相隔3個

車站），那么共有多少種不同的車票？

答案

解：8+6+4+2—20（種）.故答案為：20種.

3.在長江的某一航線上共有6個碼頭，如果每個起點終點只許用一種船票(中間至少要相隔

2個碼頭)，那么這樣的船票共有多少種？

答案

6個

6個碼頭，順著航線分別編號123456

則141516252636這中6種船票

三、課后作業(yè)

1、明明有2件不同的上衣，3條不同的褲子，4雙不同的鞋子。最多可搭配成

多少種不同的裝束？