第六講軸向拉壓變形

§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形§2-10拉（壓）超靜定問(wèn)題MechanicofMaterials第五、六講內(nèi)容目錄§2-12應(yīng)力集中的概念§2-9軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形能1拉壓桿的變形與位移、超靜定問(wèn)題

教學(xué)要求：

1、超靜定問(wèn)題的基本方法（拉壓）

；

2、熟練掌握縱向、橫向應(yīng)變，虎克定律和材料的彈性模量E這些基本概念和定律；

3、掌握求拉壓桿的變形。

重點(diǎn)：應(yīng)變、虎克定律

難點(diǎn)：求拉壓桿系變形后的位置

學(xué)時(shí)安排：2學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容：第五、六講的內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)MechanicofMaterials2§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形一、等直桿在軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形直桿在外力F作用前后的情況如圖中所示：

1、軸向變形MechanicofMaterials軸向絕對(duì)變形3軸線方向線應(yīng)變：

橫截面上應(yīng)力：

虎克定律：

------------虎克定律的兩種表達(dá)形式

物理意義：即當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，桿件的伸長(zhǎng)

l與F和桿件的原長(zhǎng)度成正比，與橫截面面積A成反比。式中：EA——桿件的抗拉（壓）剛度。EA越大，

l越小

MechanicofMaterials§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形42）構(gòu)件的工作應(yīng)力（線彈性范圍內(nèi)）；3）軸力N、橫截面面積A為常量——等直桿兩端受軸向力；討論：1.軸力變化時(shí)1）

L為“+”時(shí)伸長(zhǎng)，為“-”時(shí)縮短，符號(hào)規(guī)定與軸力一致。拉為“+”，壓為“-”。2.橫截面變化時(shí)：BCACAB階梯狀桿2.公式的應(yīng)用范圍與注意事項(xiàng)5若軸力FN=FN(x)

，或AN=AN(x)則3、位移的計(jì)算物體受外力后會(huì)發(fā)生形狀和尺寸的改變，稱為物體的變形，物體變形后，在物體上一些點(diǎn)、線、面會(huì)發(fā)生空間位置的改變。物體點(diǎn)、線、面空間位置的改變稱位移。有變形就會(huì)有位移；但有位移不一定有變形，因?yàn)榭赡苁莿傮w位移。6

例1圖示桿，1段為直徑d1=20mm的圓桿，2段為邊長(zhǎng)a=25mm的方桿，3段為直徑d3=12mm的圓桿。已知2段桿內(nèi)的應(yīng)力σ2=-30MPa，E=210GPa，求整個(gè)桿的伸長(zhǎng)△L解:7例2

螺栓直徑d1=10.1mm，擰緊后在計(jì)算長(zhǎng)度l=80mm內(nèi)產(chǎn)生總伸長(zhǎng)

?l=0.03mm,鋼的彈性模量E=210Gpa,試計(jì)算螺栓內(nèi)應(yīng)力和螺栓的預(yù)緊力。解：應(yīng)變:應(yīng)力:預(yù)緊力:80.1m0.1m0.1m30kN10kNA1=500mm2A2=200mm2E=200GPa例3:已知:1)求最大的工作正應(yīng)力。2)求桿的絕對(duì)變形量Δl。試：FN圖（kN

）20（+）10(－)§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形MechanicofMaterials

Paσ圖（MPa

）40（+）20（－）50（－）9A1=500mm2A2=200mm2E=200GPa§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形MechanicofMaterials10kN0.1m0.1m0.1m30kNFN圖（kN

）20（+）10(－)σ圖（MPa

）40（+）20（－）50（－）10二、橫向變形：

橫向應(yīng)變：

實(shí)踐表明：當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變

之比的絕對(duì)值為一常數(shù)，即：μ——稱為橫向變形系數(shù)或泊松比，是個(gè)沒(méi)有量綱的量。

MechanicofMaterials因和的符號(hào)總是相反的。故可知§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形幾種常用材料的

值見(jiàn)書(shū)P33表2.211三．變截面桿在軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形

圖所示，截面尺寸沿軸線變化緩慢，且外力作用線與軸線重合，我們?cè)跅U件中取出dx微段，由于dx非常微小。故從而，整個(gè)桿件的伸長(zhǎng)為：

§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形dxlOSx怎樣求A(x)b1b2bMechanicofMaterials由相似三角形的比例關(guān)系求解A(x)。12l四、等直桿在分布力系作用下的變形例4如圖，等直桿，外力為F，自重集度為q，長(zhǎng)度為l，容重為

彈性模量為E，容許應(yīng)力為[

]求：伸長(zhǎng)

l

。FMechanicofMaterials[分析]此題與上面一題非常相似，由于自重的影響，桿內(nèi)各橫截面的軸力不相等，故不能直接應(yīng)用

而必須從桿的長(zhǎng)度為dx的微段出發(fā)，略去無(wú)窮小量dN(x)，用公式并利用積分求得

△l

§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形13

lFFMechanicofMaterials

作微段的受力分析如圖所示，利用虎克定律可得微段dx的伸長(zhǎng)為：對(duì)上式兩邊按桿件長(zhǎng)度進(jìn)行積分，即可求得整個(gè)桿件的伸長(zhǎng)量為：§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形14例5：圖示為一簡(jiǎn)單托架，BC桿為圓鋼，橫截面直徑d=20mm，BD桿為8號(hào)槽鋼。若,試求B點(diǎn)的位移。設(shè)F=60kN(b)B2B1BB3(c)MechanicofMaterials§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形4m3mDCBFB3B1B2(a)GHααα15解：（1）對(duì)B點(diǎn)作受力分析，如圖(b)由

（2）根據(jù)靜力學(xué)平衡方程求未知應(yīng)力MechanicofMaterials（3）由虎克定律求BC、BD桿的變形：(b)（4）求B點(diǎn)位移§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形16討論1：圖示為一簡(jiǎn)單桁架，DB桿橫截面為A、桿長(zhǎng)l

；BC桿為8號(hào)槽鋼。若已知力F和兩桿彈性模量均為E。試求B點(diǎn)的位移。

MechanicofMaterials§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形DCBFαB‘0(b)BF17MechanicofMaterials§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形例題7

簡(jiǎn)易起重機(jī)構(gòu)如圖，

為剛性梁，求C點(diǎn)的位移LPqABCDhxEAB’C’18123LFAB剛體MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問(wèn)題求A點(diǎn)的位移A’0αααF19§2-7軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形目錄MechanicofMaterials討論題2：在板狀試件的表面上，沿縱向和橫向粘貼兩個(gè)應(yīng)變片，在立作用下，若測(cè)得則該試件材料的泊松比是

。FF√20§2-7軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形目錄MechanicofMaterials討論題3：圖示階梯桿總變形EA2EA3FF2Fll√21目錄MechanicofMaterials§2-7軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形討論題4：圖示平板，受均布荷載q作用，若變形前在板面上劃兩條平行線AB、CD階梯桿總變形。，α角減?。?，α角不變；，α角增大；qqABαCDα√22

1、定義：在外力作用下，彈性體因變形而儲(chǔ)存的能量，稱為變形能或應(yīng)變能。則：設(shè)直線的斜率為k2、變形能的計(jì)算MechanicofMaterials§2-9軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形能一、基本概念P（1）彈性范圍，外力與變形成正比23力由零逐漸增加。在比例極限的范圍之內(nèi)關(guān)系如圖。當(dāng)外力加到F1時(shí)，桿件的伸長(zhǎng)量為

l1。當(dāng)外力加到F1+dF1時(shí)，桿件的伸長(zhǎng)量為

l1+d(l1)。

由于dF1為無(wú)窮小量，在區(qū)間(a,b)內(nèi)我們可近似地認(rèn)為F1為常量，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)外力作的功為：

MechanicofMaterials§2-9軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形能P24

dW在數(shù)值上等于陰影部分的面積，當(dāng)我們把拉力F看作是一系列dF1的積累時(shí)，則拉力F所作的總功W應(yīng)為上述微分面積的總和。即W等于F~

l線下與水平軸之間區(qū)域的面積。

根據(jù)功能原理可知：拉力F所作的功應(yīng)等于桿件所儲(chǔ)存的變形能。（緩慢加載，動(dòng)能忽略，熱能微小，可忽略）桿件的變形能用U表示，則：MechanicofMaterials§2-9軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形能P25由虎克定律：變形能：

由于整個(gè)桿件內(nèi)各點(diǎn)的受力是均勻的，故每單位體積內(nèi)儲(chǔ)存的變形能都相同，即比能相等，通常比能用u表示?！饶?/p>

∵∴

（線彈性范圍內(nèi)）單位：比能的單位為：J/m3MechanicofMaterials（2-17）

§2-9軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形能P26解：例：求圖示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理求結(jié)點(diǎn)A的位移

A

。已知F=100kN,桿長(zhǎng)l=2m，桿徑d=25mm,

=30°，材料的彈性模量E=210GPa。FABCaa12MechanicofMaterials而§2-9軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形能27一、靜定與超靜定的概念：1、靜定問(wèn)題

僅利用靜力學(xué)平衡方程就可求解出全部未知力的問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱靜定結(jié)構(gòu)。2、超靜定問(wèn)題

僅利用靜力學(xué)平衡方程無(wú)法確定全部未知力的問(wèn)題稱為超靜定問(wèn)題或靜不定問(wèn)題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)?！?-10拉（壓）超靜定問(wèn)題特點(diǎn)：未知力（外力或內(nèi)力）的個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目。特點(diǎn)：未知力的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目。MechanicofMaterials28二、實(shí)例

如圖所示：當(dāng)把螺母旋進(jìn)1/4圈以后，螺栓必然受到拉力而FN1而使筒受到壓力FN2，由于在這里求解FN1，F(xiàn)N2

的靜力平衡方程只有一個(gè)：故不能求解出FN1和FN2

，因此該問(wèn)題屬靜不定問(wèn)題。

MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問(wèn)題29三、靜不定次數(shù)（——超靜定次數(shù)）=

未知力數(shù)目—獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。四、求解步驟：

（1）通過(guò)分析多余未知力的數(shù)目和獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，判明是否屬靜不定問(wèn)題，若是靜不定問(wèn)題，屬幾次靜不定問(wèn)題。（2）建立靜力學(xué)平衡方程。（3）根據(jù)構(gòu)件之間的變形關(guān)系，找出幾何方程。（4）根據(jù)虎克定律建立物理方程。（5）根據(jù)靜力平衡方程、幾何方程、物理方程求解出全部求知力。MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問(wèn)題五、荷載作用下超靜定問(wèn)題30例４：AB桿上下兩端固定，尺寸、材料、受力，求約束反力、桿內(nèi)應(yīng)力。（1）建立靜力學(xué)平衡方程（2）尋找?guī)缀畏匠蹋?）建立物理方程(1)PBAC(3)(2)PABCPCBAMechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問(wèn)題31（4）依據(jù)幾何方程和物理方程確立變形協(xié)調(diào)條件（或稱相容方程、補(bǔ)充方程）(4)（5）聯(lián)立方程（1）、（4），即可求解未知力解題關(guān)鍵點(diǎn)：找?guī)缀畏匠獭⒔f(xié)調(diào)條件方程。MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問(wèn)題應(yīng)力：PBAC32同學(xué)思考ABlllF1F2ABll△FMechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問(wèn)題33例5：如圖所示結(jié)構(gòu)中，1，2桿抗拉剛度為E1A1，3桿抗拉剛度為E3A3，求各桿內(nèi)力?解：1）取A結(jié)點(diǎn)研究，作受力圖如圖所示（1）由于未知力個(gè)數(shù)是2個(gè)（FN1和FN3），而平衡方程數(shù)只有1個(gè)，故為一次超靜定問(wèn)題。A123PLP2）建立靜力學(xué)平衡方程（2）MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問(wèn)題343）幾何方程由結(jié)構(gòu)、材料、荷載的對(duì)稱性4）物理方程123LA（3）（4）5）變形協(xié)調(diào)條件（5）聯(lián)立（3）、（4）MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問(wèn)題6）聯(lián)立（1），（5）即可求得未知力如下35例6：

列出求解圖示靜不定結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)平衡方程、幾何方程和物理方程。解：1）靜力學(xué)平衡方程2）幾何方程123LaaFAB剛體ＰMechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問(wèn)題36一、裝配應(yīng)力的求解（舉例說(shuō)明）

裝配應(yīng)力（對(duì)于一個(gè)靜不定結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)裝配過(guò)程中產(chǎn)生的應(yīng)力）和溫度應(yīng)力（對(duì)于一個(gè)靜不定結(jié)構(gòu)，溫度變化導(dǎo)致構(gòu)件內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力）問(wèn)題均為靜不定問(wèn)題中的一種，屬特殊的靜不定問(wèn)題。因此，該兩種問(wèn)題的求解方法與前述靜不定問(wèn)題的求解方法一致。

例7：如圖所示，3桿因制造誤差，比設(shè)計(jì)尺寸短了，求強(qiáng)行裝配之后，各桿內(nèi)產(chǎn)生的裝配應(yīng)力。A123L

MechanicofMaterials§2-11溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力37

2）建立靜力學(xué)平衡方程（根據(jù)受力圖）3）建立幾何方程（根據(jù)幾何變形圖）A

A

1）取A點(diǎn)為研究對(duì)象，畫受力圖和幾何變形圖如圖所示（1）（2）MechanicofMaterials§2-10溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力4）物理方程5）變形協(xié)調(diào)條件（3）（4）6）聯(lián)立（1），（4）即可求得未知力381）平衡方程2）幾何方程為引起的壓縮變形二、溫度應(yīng)力的求解（舉例說(shuō)明）LALABLA例8：如圖所示靜不定結(jié)構(gòu)，求其溫度由時(shí)，構(gòu)件內(nèi)部的應(yīng)力值。解MechanicofMaterials§2-10溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力錄像1394）變形協(xié)調(diào)條件

5）由變形協(xié)調(diào)條件可直接求得桿端約束反力3）物理方程

——線脹系數(shù)進(jìn)而求得構(gòu)件橫截面上溫度應(yīng)力為MechanicofMaterials§2-10溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力錄像240作業(yè)P.58：2-17、18、192-24、42、46、48

作業(yè)41小結(jié)：1.應(yīng)力正應(yīng)力σ剪應(yīng)力τ應(yīng)變線應(yīng)變?chǔ)沤菓?yīng)變?chǔ)?、虎克定律系統(tǒng)的材料的力的獨(dú)立性原理軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形、超靜定問(wèn)題３、三類超靜定問(wèn)題42思考題目錄MechanicofMaterials30oFABCD123請(qǐng)思考：圖示結(jié)構(gòu)是幾次超靜定？43思考題目錄MechanicofMaterials30oFABCD123ABCD30o12330oFAFN1FN2FN3xy可列幾個(gè)靜力方程？如何建立變形幾何方程？44§2-12應(yīng)力集中的概念一、應(yīng)力集中現(xiàn)象：

由于構(gòu)件截面突然