高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家教師版

數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史之?dāng)?shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，有很多著名的中午數(shù)學(xué)家，他們的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)成就等均為大家熟知，他們的一些發(fā)現(xiàn)、發(fā)明還和我們高中數(shù)學(xué)相關(guān)呢，且聽(tīng)我慢慢道來(lái).一、好題賞析1．我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個(gè)原理“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個(gè)圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的一個(gè)半圓，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．2．阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)(且)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)、間的距離為，動(dòng)點(diǎn)與、距離之比為，當(dāng)、、不共線時(shí)，面積的最大值是（

）.A． B． C． D．二、小試牛刀3．費(fèi)馬數(shù)列是以數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬（PierredeFermat，1601~1665年）命名的數(shù)列，其中．例如．因?yàn)椋缘恼麛?shù)部分是1位數(shù)；因?yàn)?，所以的整?shù)部分是2位數(shù)；…；則的整數(shù)部分位數(shù)最接近于（

）（）A．240 B．600 C．1200 D．24004．中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式.現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為（

）A． B． C． D．5．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，.已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．， C．，， D．，0，6．十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具體典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的開(kāi)區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間、分別均為三段，并各自去掉中間的開(kāi)區(qū)間段，記為第二次操作；．如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的開(kāi)區(qū)間段．操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，剩下的區(qū)間集合即“康托三分集”．第三次操作后，從左到右第六個(gè)區(qū)間為（

）A． B．C． D．7．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)(素?cái)?shù)指大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù))的和”，如18=7+11，在不超過(guò)16的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率是（

）A． B． C． D．8．著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開(kāi)普勒（Johannes

Kepler）發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動(dòng)三大定律，其中開(kāi)普勒第一定律又稱為軌道定律，即所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，且太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.記地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道為橢圓C，在地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若地球與太陽(yáng)的最遠(yuǎn)距離與最近距離之比為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．9．張衡是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，底面，，且，，利用張衡的結(jié)論可得球的表面積為（

）A．30 B． C． D．10．1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德?tīng)柦淌谔岢鲆粋€(gè)問(wèn)題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角），這個(gè)問(wèn)題被稱為米勒問(wèn)題，諾德?tīng)柦淌诮o出解答，以懸桿的延長(zhǎng)線和水平地面的交點(diǎn)為圓心，懸桿兩端點(diǎn)到地面的距離的積的算術(shù)平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點(diǎn)對(duì)懸桿視角最大.米勒問(wèn)題在實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對(duì)塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時(shí)“最大視角”的正弦值為（

）A． B．C． D．11．德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著．19世紀(jì)，狄利克雷定義了一個(gè)“奇怪的函數(shù)”，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集.則關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題，其中真命題是（

）A．B．任取一個(gè)不為零的有理數(shù)，對(duì)任意的恒成立C．，，恒成立D．不存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得為等腰直角三角形12．十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程表示橢圓，費(fèi)馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上任意一點(diǎn)P（異于A，B兩點(diǎn)）向長(zhǎng)軸AB引垂線，垂足為Q，記.下列說(shuō)法正確的是（

）A．M的值與Р點(diǎn)在橢圓上的位置有關(guān) B．M的值與Р點(diǎn)在橢圓上的位置無(wú)關(guān)C．M的值越大，橢圓的離心率越大 D．M的值越大，橢圓的離心率越小13．將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個(gè)如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可以看出：，令，是的前項(xiàng)和，則______.14．1765年，偉大的數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)：任意給出一個(gè)三角形，它的重心?垂心和外心都是共線的.后人把這條直線稱為三角形的歐拉線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，內(nèi)接于單位圓，且，，逆時(shí)針排列，.若的歐拉線所在直線的斜率，則所在直線的傾斜角的取值范圍是___________.15．19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出的“狄利克雷函數(shù)”，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中有著重要意義，已知狄利克雷函數(shù)的表達(dá)式為，則___________.16．裴波那契數(shù)列（Fibonaccisequence）又稱黃金分割數(shù)列，因?yàn)閿?shù)學(xué)家列昂納多?裴波那契以兔子繁殖為例子引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上裴波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，現(xiàn)從該數(shù)列的前40項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則能被3整除的概率是_______17．由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割.試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是___________.①，是一個(gè)戴德金分割；②沒(méi)有最大元素，有一個(gè)最小元素；③有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素；④沒(méi)有最大元素，沒(méi)有最小元素；18．拿破侖·波拿巴，十九世紀(jì)法國(guó)偉大的軍事家、政治家，對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的中心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在中，，以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其中心依次為，，，若，則__________，的最大值為_(kāi)_________.19．著名數(shù)學(xué)家棣莫佛（Demoivre，1667~1754）出生于法國(guó)香檳，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根據(jù)這個(gè)公式，則______；若，則______.20．阿基米德在他的許許多多的科學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)中，最為得意的一個(gè)發(fā)現(xiàn)是：如圖所示，圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周生成的幾何體稱為圓柱容球．在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的，球的表面積也是圓柱全面積的．請(qǐng)你試著證明．21．阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)是軸上的定點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，已知A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，已知三點(diǎn)共線，試探究直線是否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：1．C【分析】由圓錐底面周長(zhǎng)可求得圓錐的底面半徑，圓錐的高，利用圓錐的體積公式和祖暅原理，即得解【詳解】圓錐底面周長(zhǎng)為，所以圓錐的底面半徑，圓錐的高，所以圓錐的體積為，由祖暅原理，該幾何體的體積也為.故選：C2．D【分析】以經(jīng)過(guò)、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建系，利用求出圓的方程，可得圓的半徑，進(jìn)而可求出三角形面積的最大值.【詳解】如圖，以經(jīng)過(guò)、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建系，如圖：則、，設(shè)，∵，∴，兩邊平方并整理得：，所以圓的半徑為，∴面積的最大值是.故選：D．3．D【分析】先表示出，作近似處理得，再取以10為底的對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)即可求解【詳解】由于，與1相比都非常大，所以，所以，故．又因?yàn)椋恼麛?shù)位數(shù)為位，所以的整數(shù)部分位數(shù)最接近2400位．故選：D．4．B【分析】由題意，，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴此三角形面積的最大值為．故選：B.5．B【分析】利用常數(shù)分離法將原函數(shù)解析式化為，然后分析函數(shù)的值域，再根據(jù)高斯函數(shù)的含義確定的值域.【詳解】，，，，，或0，的值域?yàn)椋?故選：B.6．D【分析】列舉出前三次操作后所剩下的區(qū)間，由此可得出結(jié)果.【詳解】第一次操作剩下的區(qū)間為、；第二次操作剩下的區(qū)間為、、、；第三次操作剩下的區(qū)間為、、、、、、、．即從左到右第六個(gè)區(qū)間為．故選：D.7．B【分析】確定不超過(guò)16的素?cái)?shù)，寫(xiě)出任取2上的基本事件，同時(shí)得出和為16的基本事件，由概率公式計(jì)算概率．【詳解】不超過(guò)16的素?cái)?shù)有2、3、5、7、11、13，滿足“和”等于16的有(3，13)、(5，11)共有2組，總的有(2，3)、(2，5)、(2，7)、(2，11)、(2，13)、(3，5)、(3，7)、(3，11)、(3，13)、(5，7)、(5，11)、(5，13)、(7，11)、(7，13)、(11，13)，所以，故選：B．8．C【分析】設(shè)橢圓C的焦距為2c，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，根據(jù)題意可得地球與太陽(yáng)的最遠(yuǎn)距離為，最近距離為，再由地球與太陽(yáng)的最遠(yuǎn)距離與最近距離之比為，列出方程，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)橢圓C的焦距為2c，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，根據(jù)題意可得地球與太陽(yáng)的最遠(yuǎn)距離為，最近距離為，則，解得，即C的離心率為.故選：C.9．D【分析】由，底面，將三棱錐放在長(zhǎng)方體中，求出外接球的半徑以及圓周率的值，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)?，底面，，，所以將三棱錐放在長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體中，三棱錐的外接球即為該長(zhǎng)方體的外接球，外接球的直徑，利用張衡的結(jié)論可得，則，所以球的表面積為.故選：D.10．B【分析】設(shè)此時(shí)視角為，塔底離地面高度為，塔頂離地面高度為，根據(jù)題意，，然后利用兩角差的正切值公式求得，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得“最大視角”的正弦值.【詳解】由米勒問(wèn)題的解答可知，此人應(yīng)站在離塔水平距離為處觀察，設(shè)此時(shí)視角為，塔底離地面高度為，塔頂離地面高度為，則，則，故.故選：B11．ABD【分析】直接由解析式計(jì)算可判斷A；分和兩種情況討論可判斷B；舉反例取，，可判斷C；分中有兩個(gè)是有理數(shù)，一個(gè)是無(wú)理數(shù)或者兩個(gè)是無(wú)理數(shù)，一個(gè)是有理數(shù)討論，每種情況再分角為直角三種情況討論可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)，若，則，滿足；若，則，滿足，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，取，，則，而，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)均為有理數(shù)或均為無(wú)理數(shù)時(shí)，三點(diǎn)在一條直線上，不能構(gòu)成三角形，所以中有兩個(gè)是有理數(shù)，一個(gè)是無(wú)理數(shù)或者兩個(gè)是無(wú)理數(shù)，一個(gè)是有理數(shù)，不妨設(shè)是有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)，則，，，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以若角是直角，則，與是無(wú)理數(shù)矛盾，若角是直角，則，與是無(wú)理數(shù)矛盾，若角是直角，因?yàn)?，所以，與是無(wú)理數(shù)矛盾，所以此時(shí)不可能為等腰直角三角形，當(dāng)中有兩個(gè)無(wú)理數(shù)一個(gè)是有理數(shù)時(shí)，不妨設(shè)是無(wú)理數(shù)，是有理數(shù)，則，，，因?yàn)闉榈妊苯侨切危匀艚鞘侵苯?，則，與是有理數(shù)矛盾，若角是直角，則，與是有理數(shù)矛盾，若角是直角，因?yàn)?，所以，且是有理?shù)，只能是兩個(gè)互為相反數(shù)的無(wú)理數(shù)，即，即，又因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以，，或，與是無(wú)理數(shù)矛盾，所以不可能為等腰直角三角形，綜上所述：不存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得為等腰直角三角形，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.12．BD【分析】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)，，求出和橢圓的離心率后，可得答案.【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)，，則，所以，，，所以，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以M的值與Р點(diǎn)在橢圓上的位置無(wú)關(guān)，故A不正確，B正確；橢圓的離心率，所以M的值越大，橢圓的離心率越小，故C不正確，D正確.故選：BD13．【分析】由題設(shè)關(guān)系，應(yīng)用累加法可得，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求.【詳解】，，，…，，，將上述各式相加，得，即，∴，∴.故答案為：14．【分析】判斷出歐拉線為，結(jié)合范圍求得所在直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】，根據(jù)向量夾角的取值范圍可知.所以是等邊三角形，所以四邊形是菱形，菱形對(duì)角線互相垂直平分，三角形的垂心在直線上，結(jié)合是三角形的外心可知是三角形的歐拉線.設(shè)直線所在直線的傾斜角為，由于所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第四象限，由于，所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在軸的正半軸，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第一象限，由于，所以.綜上所述，直線所在直線的傾斜角的取值范圍是.故答案為：15．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：，原式.故答案為：1.16．【分析】列舉出數(shù)列{an}的前40項(xiàng)及其中能被3整除的數(shù)，代入公式，即可求得概率．【詳解】解：在數(shù)學(xué)上裴波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，∴數(shù)列{an}的前40項(xiàng)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，其中能被3整除的有10個(gè)，分別為：3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352．∴從該數(shù)列的前40項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則能被3整除的概率是P＝．故答案為：17．②④【分析】根據(jù)題意舉出實(shí)例依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)①，因?yàn)?，，，故①錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)②，設(shè)，，滿足戴德金分割，則中沒(méi)有最大元素，有一個(gè)最小元素，故②正確；對(duì)選項(xiàng)③，若有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素，則不能同時(shí)滿足，，故③錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)④，設(shè)，，滿足戴德金分割，此時(shí)沒(méi)有最大元素，也沒(méi)有最小元素，故④正確.故答案為：②④.18．

【分析】在中，，由余弦