15線性空間的同構(gòu)

哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院矩陣論教學(xué)團(tuán)隊(duì)DepartmentofMathematics,CollegeofSciences書(shū)后要求的習(xí)題,主動(dòng)自覺(jué)做,抽查和不定時(shí)收取使用教材《矩陣論教程》國(guó)防工業(yè)出版社2012其他輔導(dǎo)類(lèi)參考書(shū)（自選）課程要求作業(yè)要求矩陣論網(wǎng)站/授課預(yù)計(jì)

(8學(xué)時(shí))1234第一章線性空間與線性映射線性空間

線性子空間

線性映射與線性變換線性變換的不變子空間

5線性空間的同構(gòu)教學(xué)內(nèi)容和基本要求2,掌握子空間與維數(shù)定理，理解子空間的相關(guān)性質(zhì)；3,理解線性映射及線性變換的概念，掌握線性映射及變換的矩陣表示。掌握線性映射的值域、核等概念.重點(diǎn):

線性空間的概念；子空間的維數(shù)定理；線性映射及線性變換;不變子空間難點(diǎn):

基變換與坐標(biāo)變換;不變子空間4,理解線性變換的不變子空間得相關(guān)概念和性質(zhì)

1，理解線性空間的概念，掌握基變換與坐標(biāo)變換的公式；

線性空間是解析幾何和線性代數(shù)中向量概念的抽象化。本章將給出線性映射和線性變換的概念與性質(zhì)，同時(shí)也建立了矩陣和線性映射及線性變換之間的一種關(guān)系

線性空間既是代數(shù)學(xué)的基本概念，也是矩陣論的基本概念之一，本章首先介紹這一概念。學(xué)習(xí)過(guò)這一部分內(nèi)容的同學(xué)可以將本章作為對(duì)所學(xué)知識(shí)的回顧和延伸。線性空間的同構(gòu)§1.5我們知道，在數(shù)域F上的n維線性空間V中取定一組基后，V中每一個(gè)向量有唯一確定的坐標(biāo):則與對(duì)應(yīng)，就得到V到對(duì)于V中每一個(gè)向量,令在這組基下的坐標(biāo)為

的一個(gè)映射向量的坐標(biāo)是F上的n元數(shù)組，因此屬于,這樣一來(lái)，取定了V的一組基反過(guò)來(lái)，對(duì)于中的任一元素是V中唯一確定的元素，并且:

即也是滿射.因此，是V到的一一對(duì)應(yīng).這個(gè)對(duì)應(yīng)的重要性表現(xiàn)在它與運(yùn)算的關(guān)系上.設(shè)都是數(shù)域F上的線性空間，如果映射

具有以下性質(zhì)：

則稱(chēng)的一個(gè)同構(gòu)映射，并稱(chēng)線性空間

同構(gòu)，記作

ii)iii)i)為雙射定義為V的一組基，則前面V到的一一對(duì)應(yīng)例1.

V為數(shù)域F上的n維線性空間，

這里為在基下的坐標(biāo)就是一個(gè)V到的同構(gòu)映射，所以定理1

數(shù)域F上任一n維線性空間都與Fn同構(gòu).同構(gòu)映射，則有：設(shè)是數(shù)域F上的線性空間，的同構(gòu)映射的性質(zhì)中分別取證：在同構(gòu)映射定義的條件iii)即得線性相關(guān)（線性無(wú)關(guān)）.

V中向量組

線性相關(guān)（線性無(wú)關(guān)）的充要條件是它們的象

證

因?yàn)橛煽傻梅催^(guò)來(lái)，由可得而是一一對(duì)應(yīng)，只有所以可得因此，線性相關(guān)（線性無(wú)關(guān)）線性相關(guān)（線性無(wú)關(guān)）.

的逆映射為的同構(gòu)映射.證

設(shè)為V中任意一組基.由2，3知，為的一組基.所以任取

I為恒等變換.證

首先是1－1對(duì)應(yīng)，并且由于是同構(gòu)映射，有

同理，有所以，為的同構(gòu)映射.

再由是單射，有

是的子空間，且若W是V的子空間，則W在下的象集證

首先，其次，對(duì)

有W中的向量使

于是有

由于W為子空間，所以

從而有所以是的子空間.顯然，也為W到的同構(gòu)映射，即

兩個(gè)同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射.證：設(shè)為線性空間的同構(gòu)任取有映射，則乘積是的1－1對(duì)應(yīng).

所以，乘積是的同構(gòu)映射.

數(shù)域F上的兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)同構(gòu)關(guān)系具有：反身性：對(duì)稱(chēng)性：傳遞性：

定理2

證：若由性質(zhì)2之4）即得若

有例2、把復(fù)數(shù)域看成實(shí)數(shù)域R上的線性空間，

證法一：證維數(shù)相等證明：首先，可表成

其次，若則

所以，1，i

為C的一組基，又，所以，故，證法二：構(gòu)造同構(gòu)映射則為C到R2的一個(gè)同構(gòu)映射.作對(duì)應(yīng)作成實(shí)數(shù)域R上的線性空間.

把實(shí)數(shù)域R看成是自身上的線性空間.例3、全體正實(shí)數(shù)R+

關(guān)于加法⊕與數(shù)量乘法：

證明：并寫(xiě)出一個(gè)同構(gòu)映射.