第2章 四邊形（A卷·知識通關(guān)練） -【單元測試】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊分層訓(xùn)練AB卷（湘教版）（解析版）

班級姓名學(xué)號分數(shù)第二章四邊形（A卷·知識通關(guān)練）核心知識1多邊形1．（2022秋·云南大理·八年級?？计谥校┤绻粋€多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，那么這個多邊形的邊數(shù)為（

）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式和多邊形的外角和為，結(jié)合題意，即可列出關(guān)于n的一元一次方程，解出n的值即可．【詳解】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則，解得：．故這個多邊形的邊數(shù)為8．故選C．【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與多邊形的外角和，一元一次方程的應(yīng)用．掌握n邊形的內(nèi)角和為，外角和為是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·廣西南寧·八年級校考期中）一個正多邊形，它的每一個內(nèi)角都等于，則該正多邊形是（

）A．正六邊形 B．正七邊形 C．正八邊形 D．正九邊形【答案】D【分析】先求出外角的度數(shù)，再利用多邊形外角和為即可求出邊數(shù).【詳解】解：每個外角度數(shù)為，，故選：D.【點睛】本題考查了正多邊形的概念，掌握正多邊形的每個內(nèi)角都相等，每條邊都相等以及每個外角都相等，外角和為是解題關(guān)鍵.3．（2022秋·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤粢粋€正多邊形的一個外角是，則這個正多邊形的對角線總數(shù)是（

）A．30 B．35 C．40 D．45【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的外角和定理求得正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)正n邊形的對角線的條數(shù)為，可求得答案．【詳解】解：∵多邊形外角和，∴這個正多邊形的邊數(shù)是．∴這個正多邊形的對角線總數(shù)是（條）．故選：B．【點睛】本題考查多邊形的有關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和是，n邊形的所有對角線的條數(shù)是．4．（2022秋·四川瀘州·八年級?？计谥校亩噙呅蔚囊粋€頂點出發(fā)所引的對角線把這個多邊形分成9個三角形，則所引的對角線條數(shù)是（

）A．7條 B．8條 C．9條 D．10條【答案】B【分析】根據(jù)從多邊形的一個頂點出發(fā)引出的對角線的條數(shù)以及對角線將多邊形分成的三角形的個數(shù)的關(guān)系解決此題．【詳解】解：從邊形的一個頂點出發(fā)可引出條對角線，并且把這個多邊形分成了個三角形，從多邊形的一個頂點出發(fā)所引的對角線把這個多邊形分成9個三角形，則從這個多邊形的一個頂點出發(fā)引出了8條對角線，故選：B．【點睛】本題主要考查多邊形的對角線，熟練掌握從多邊形的一個頂點出發(fā)引出的對角線的條數(shù)以及對角線將多邊形分成的三角形的個數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．5．下列正多邊形的地板瓷磚中，使用兩種不能密鋪地面的是（

）A．正五邊形和正十邊形 B．正三角形和正方形C．正八邊形和正方形 D．正十二邊形和正三角形【答案】A【分析】正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點處的幾個角之和能否為．若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿．【詳解】解：A、正五邊形和正十邊形內(nèi)角分別為、，顯然不能構(gòu)成的周角，故不能鋪滿．B、正三角形、正方形內(nèi)角分別為、，由于，故能鋪滿；C、正八邊形和正方形內(nèi)角分別為、，由于，故能鋪滿；D、正十二邊形和三角形內(nèi)角分別為、，由于，故能鋪滿；故選：A．【點睛】本題考查了多邊形的密鋪，解決此類題，可以記住幾個常用正多邊形的內(nèi)角，及能夠用兩種正多邊形鑲嵌的幾個組合．6．（2023秋·云南西雙版納·八年級西雙版納州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，小亮從A點出發(fā)前進5m，向右轉(zhuǎn)，再前進5m，又向右轉(zhuǎn)…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，一共走了（

）m．A．24 B．60 C．100 D．120【答案】D【分析】由題意可知小亮所走的路線為正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和定理即可求出答案．【詳解】∵小亮從A點出發(fā)最后回到出發(fā)點A時正好走了一個正多邊形，∴根據(jù)外角和定理可知正多邊形的邊數(shù)為，則一共走了米．故選：D．【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理．任何一個多邊形的外角和都是，用外角和求正多邊形的邊數(shù)可直接讓除以一個外角度數(shù)即可．7．（2022秋·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知是正六邊形與正五邊形的公共邊，連接，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出正六邊形和正五邊形的內(nèi)角，根據(jù)周角等于求出的度數(shù)，根據(jù)，得到等腰三角形兩底角相等即可得到答案．【詳解】解：，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角，掌握多邊形的內(nèi)角和公式：是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期中）窗欞是中國傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的框架結(jié)構(gòu)設(shè)計，窗欞上雕刻有線槽和各種花紋，構(gòu)成種類繁多的優(yōu)美圖案．如圖是從某窗欞樣式結(jié)構(gòu)圖案上摘取的部分．已知，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，再根據(jù)多邊形的外角和是即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵∴∴的外角為:∵五邊形的外角和為，∴．故選：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，多邊形的外角和定理，熟記多邊形的外角和為是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）一個多邊形的內(nèi)角和是，則這個多邊形的邊數(shù)為________．【答案】10【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，則，解得．故答案為：10．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）一個多邊形的每個內(nèi)角都等于，則這個多邊形是_________邊形；如果一個多邊形的對角線條數(shù)是條，則這個多邊形的內(nèi)角和是____________【答案】

【分析】多邊形的每個內(nèi)角都等于，可求出對應(yīng)角的外角，根據(jù)外角和定理即可求解；一個多邊形的對角線條數(shù)是條，根據(jù)多邊形的邊數(shù)為，則對角線的條數(shù)為，由此即可求解．【詳解】解：（1）多邊形的每個內(nèi)角都等于，∴對應(yīng)的外角為，∵多邊形的外角和為，∴多邊形的邊數(shù)為，故答案為：；（2）設(shè)多邊形的邊數(shù)為，∴對角線的條數(shù)為，解方程得，（舍去），，∴多邊形的邊數(shù)是，∴該七邊形的內(nèi)角和為，故答案為：．【點睛】本題主要考查多邊形的知識，理解并掌握多邊形的內(nèi)角和定理，外角和定理，對角線的計算公式是解題的關(guān)鍵．11．一個正多邊形的內(nèi)角和為，則這個正多邊形的每一個外角等于______度．【答案】72【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)、補角的定義即可得．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意得：，解得：，∵正多邊形的每個外角都相等，且外角和為，∴正多邊形的每一個外角為：．故答案為：72．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正多邊形的內(nèi)角和和外角和，熟記正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．一個正多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)是___________．【答案】6【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理列出方程，求解即可得到答案．【詳解】解：正多邊形的外角和是360度，正多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則內(nèi)角和是720度，，解得：，這個多邊形的邊數(shù)為6.故答案為：6．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，多邊形外角和定理，解題關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式：以及多邊形的外角和等于．13．一個多邊形剪去一個角后，內(nèi)角和為，則原多邊形是___________邊形．【答案】或或【分析】先求出新多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多，少三種情況進行討論．【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)是，則，解得，截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)可以相等，多或少，原多邊形的邊數(shù)是或或．故答案是：或或．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，難點在于截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多，少，有這么三種情況．14．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┤鐖D，在正五邊形中，連接，則__________．【答案】【分析】由正五邊形的性質(zhì)及內(nèi)角和定理可得，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，正多邊形的性質(zhì)，掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．核心知識2平行四邊形的性質(zhì)和判定1．如圖，在四邊形中，下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】注意題目所問是“不能”，根據(jù)平行四邊形的判定條件可解出此題．【詳解】解：平行四邊形的判定條件：A．根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定，不符合題意；B．根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定，不符合題意；C．可能是等腰梯形，不能判定，符合題意；D．根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定，不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵2．在平行四邊形中，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形對角相等的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，與為對角，，，，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形對角相等是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·四川成都·九年級成都七中校考期中）若平行四邊形的兩個內(nèi)角，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到與是鄰角并且互補，再結(jié)合列方程，即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，解得，故選B．【點睛】本題考查平行四邊形性質(zhì)，熟知平行四邊形鄰角互補是解答的關(guān)鍵．4．如圖所示，在平行四邊形中，M是的中點，，，，則的長為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由是平行四邊形，得到，，然后由等腰三角形的性質(zhì)可得，，得到，即可用勾股定理求得的長【詳解】∵在平行四邊形中，M是的中點，，∴，∴，，∴，∴，∴，即為直角三角形，∵，，∴．故選：D【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵5．如圖，在平行四邊形中，于點，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角相等，可得，又因為，可得．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角相等，還考查了垂直的定義與三角形內(nèi)角和定理．題目比較簡單，解題時要細心．6．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則CE的長等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【答案】C【詳解】試題分析：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8cm，∴CE=BC﹣BE=4cm；故答案為C．考點：平行四邊形的性質(zhì).7．（2022春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在?ABCD中，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，則BD的長是（

）A．22 B．16 C．18 D．20【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)即可求出AO的長度，根據(jù)勾股定理求出BO，最后求出BD即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝12，∴AO=AC=6，∵AB⊥AC，∴，∴BD=2BO=20．故選∶D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，AB＝AE，AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，則∠AED的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．85°【答案】D【分析】先求出∠B＝∠AEB＝∠BAE＝60°＝∠ADC＝∠DAE，由“SAS”可證△ADC≌△DAE，可求解．【詳解】解：∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，AB＝CD＝AE，∠B＝∠ADC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠B＝∠AEB＝∠BAE，∵∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠B＝∠AEB＝∠BAE＝60°＝∠ADC＝∠DAE，∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°，∵，∴∠ACD＝∠BAC＝85°，在△ADC和△DAE中，，∴△ADC≌△DAE（SAS），∴∠AED＝∠ACD＝85°，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點，交于點，連接，若平行四邊形的周長為30，則的周長為（）A．15 B．23 C．25 D．30【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到點是中點，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形周長求出，然后轉(zhuǎn)換求解即可．【詳解】在平行四邊形中，對角線、相交于點，∴即點是中點，∵，∴∵平行四邊形的周長為，的周長：故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)；靈活運用垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D，在直角三角形中，，，，點為上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則的最小值為（）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)PQ與AC交于點O，作于，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，根據(jù)，得，當P與重合時，OP的值最小，則PQ的值最小，進行計算即可得．【詳解】解：如圖所示，設(shè)PQ與AC交于點O，作于，在中，，∴，∴，∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴，∵，，∴，當P與重合時，OP的值最小，則PQ的值最小，∴PQ的最小值為：，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)和垂線段最短的性質(zhì)．11．（2022春·浙江杭州·八年級?？计谥校┰谥校?，分別平分，，交于點E，F(xiàn)，若，，則的長為______．【答案】4或2##2或4【分析】先證，同理，，則，再分兩種情況，分別求出AB的長即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理，，∴，分兩種情況：①如圖1，則，即，解得：；②如圖2，則，即，解得：；綜上所述，的長為4或2，故答案為：4或2．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及分類討論等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，過點C作，垂足為E，若，則的度數(shù)為___________．【答案】##40度【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，由直角三角形的兩上銳角互余得出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角的互余關(guān)系；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．13．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┤鐖D，已知中，垂直平分，且，點為上一點，連接，若，，則的長為____________．【答案】【分析】過點作于，由平行四邊形的性質(zhì)得出，，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，，，由勾股定理列出方程可得出答案．【詳解】解：過點作于，∵垂直平分，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，，，在中，，∴，解得（舍去）或∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級鎮(zhèn)江市第三中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，中，，，由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)所得，若點C在上，連接，則______．【答案】24【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊對等角的性質(zhì)證明和，即可得到四邊形為平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，進而計算即可得到解答．【詳解】解：∵，由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)所得，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)所得且，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵，∴，故答案為：24．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對等角的性質(zhì)、平行線的判定和平行四邊形的判定和性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．15．（2022春·湖南永州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，、分別是垂足，已知，，，則的面積是_________．【答案】【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出AE的長，進而得出答案．【詳解】解：∵AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°，又∵∠EAF＝60°，∴∠C＝120°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠B＝∠D＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝30°，∵AB＝4，BC＝6，∴＝＝，∴AE＝＝，∴平行四邊形的面積是：×6＝．故答案為：．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理，正確得出AE的長是解題關(guān)鍵．16．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考期中）如圖，在中，于E，交的延長線于點F，且，，面積為．則______．【答案】【分析】根據(jù)題意，先求出，再根據(jù)直角三角形的對邊等于斜邊的一半，求出，再根據(jù)平行四邊形的面積公式求出．【詳解】解：在中，，，，，，，又，，，，．故答案為：．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的面積公式，熟練掌握這些性質(zhì)進行推理論證是解題的關(guān)鍵．17．（2022春·四川自貢·八年級校考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊CD上一點，將△ADE沿AE折疊至△處，與CE交于點F，若∠B=52°，∠DAE=20°，則∠的度數(shù)為______．【答案】36°##36度【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠D=∠B=52°，由折疊的性質(zhì)得：∠=∠D=52°，∠=∠DAE=20°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠AEF=72°，與三角形內(nèi)角和定理求出∠=108°，即可得出∠的大?。驹斀狻拷猓骸咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴∠D=∠B=52°，由折疊的性質(zhì)得：∠=∠D=52°，∠=∠DAE=20°，∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠=180°-∠∠=108°，∴∠=108°72°=36°；故答案為：36°．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，求出∠AEF和∠是解決問題的關(guān)鍵．18．（2022春·四川綿陽·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點E在上，，點P是邊上的一動點，連接，則的最小值是________．【答案】【分析】過點A作直線的對稱點F，連接交于點P，此時有最小值，最小值為的長，過點E作直線的垂線，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】解：過點A作直線的對稱點F，連接，連接交于點P，此時有最小值，最小值為的長，∵點A與點F關(guān)于直線對稱，∴，，則，∴是等邊三角形，∵在中，，∴，過點E作直線的垂線，垂足為點G，∵，∴，∴，，∴，∴，∴的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．19．（2022春·上?！ぐ四昙壠谥校┤鐖D，以的邊、為邊，作等邊和等邊，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出，，，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)平行四邊形的判定定理，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵和是等邊三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)、定理．20．（2022春·海南儋州·八年級?？计谥校┤鐖D，D是BC的中點，過點A作AEBC，過點D作DEAB，DE與AC、AE分別交于點O、點E，連接EC．求證：AD=EC．【答案】證明見解析【分析】首先證明四邊形ABDE是平行四邊形，可得AE＝BD，再根據(jù)DC＝DB可得AE＝DC，進而證出四邊形ADCE是平行四邊形，可得AD＝EC；【詳解】證明：∵AEBC，DEAB，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，∵D是BC中點，∴DC＝DB，∴AE＝DC，AEDC，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AD＝EC．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定的知識，解題的關(guān)鍵是能夠判定四邊形為平行四邊形，難度不大．21．（2022春·黑龍江雞西·八年級?？计谥校┤鐖D，的對角線相交于點O，過點O分別與AD，BC相交于點E，F(xiàn)．(1)求證：；(2)若，，，試求四邊形的周長．【答案】(1)見詳解(2)17【分析】（1）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，采用AAS即可證明；（2）根據(jù)△AOE≌△COF，可得EO=OF，CF=AE，即有CF+ED=AE+ED=AD，EF=EO+OF=2EO，則四邊形EFCD的周長為：EF+FC+ED+CD=2OE+AD+CD，即可求解．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，對角線AC、BD互相平分，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，AO=CO，∴△AOE≌△COF，得證；（2）在（1）中已證明△AOE≌△COF，∴EO=OF，CF=AE，∴CF+ED=AE+ED=AD，EF=EO+OF=2EO，∵四邊形EFCD的周長為：EF+FC+ED+CD，∴EF+FC+ED+CD=2OE+AD+CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，BC=AD，∵AB=4，BC=7，OE=3，∴2OE+AD+CD=2OE+BC+AB=3×2+7+4=17，即四邊形EFCD的周長為17．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．22．（2022秋·吉林長春·八年級長春市第五十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，垂足分別為點，點，連接、．(1)試判斷與的關(guān)系，并說明理由；(2)若，的面積是，則的面積為______．【答案】(1)，，理由見解析；(2)．【分析】（1）求出，由，可得，，證明，即可得到；（2）證明四邊形為平行四邊形，和是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，求出和的面積是，進而可得答案．【詳解】（1）解：，，理由：∵在中，，，∴，∵，，∴，，在和中，，∴，∴，（2）解：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，，∴，∴和是等腰三角形，∵，，∴，，∵的面積是，∴和的面積是，∴的面積是，∴的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用各性質(zhì)進行推理計算是解題的關(guān)鍵．23．（2022春·四川自貢·八年級校考期中）如圖中，已知，BC=，分別以的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊，等邊，垂足為F，連接DF．(1)求證：四邊形ADFE是平行四邊形；(2)求四邊形ADFE的周長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）首先中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又因為是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后即可證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC＝EF，根據(jù)是等邊三角形，所以EF＝AC＝AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形；（2）直接利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得出各邊長即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB＝2AF，∴AF＝BC，在和中，，∴（HL），∴AC＝EF；∵是等邊三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，又∵EF⊥AB，∴，∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形；（2）解：∵∠BAC＝30°，BC＝，∠ACB＝90°，∴，∵，則，故四邊形ADFE的周長為：．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確利用全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明平行四邊形是解題關(guān)鍵．24．（2022春·福建廈門·八年級廈門雙十中學(xué)思明分校?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC的中點，過點O作OE⊥BC交BC于點E．過點O作FG⊥AB交AB、CD于點F、G．(1)如圖1，若BC＝5，OE＝3，求平行四邊形ABCD的面積；(2)如圖2，若∠ACB＝45°，試探究AF，F(xiàn)O，EG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)30(2)AF+OF＝EG，理由見解析【分析】（1）連接BD，求出S△OBC，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出平行四邊形的面積與S△OBC的關(guān)系求得結(jié)果；（2）過點E作EH⊥EG，與GC的延長線交于點H，證明△OEG≌△CEH得OG＝CH，EG＝EH，再證明△OAF≌△OCG，得AF＝CG，OF＝OG，進而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】（1）解：連接BD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BD過點O，∴．∴平行四邊形ABCD的面積==30；（2）解：．理由如下：過點E作EH⊥EG，與GC的延長線交于點H，如圖2，∵OE⊥BC，∴∠OEG+∠GEC＝∠GEC+∠CEH＝90°，∴∠OEG＝∠CEH，∵∠ACB＝45°，∴∠COE＝45°，∴OE＝CE，∵平行四邊形ABCD中，AB∥CD，又FG⊥AB，∴FG⊥CD，∴∠EOG+∠ECG＝360°-90°-90°＝180°，∵∠ECH+∠ECG＝180°，∴∠EOG＝∠ECH，∴△OEG≌△CEH（ASA），∴OG＝CH，EG＝EH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAF＝∠OCG，∵∠AOF＝∠COG，∴△OAF≌△OCG（ASA），∴AF＝CG，OF＝OG，∵CG+CH＝GH，∴AF+OF＝GH，∵∠GEH＝90°，EG＝EH，∴GH＝EG，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等內(nèi)容，綜合性比較強，準確找出題中各個量之間的關(guān)系并進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．核心知識3中心對稱和中心對稱圖形1．（2022秋·北京·九年級?？计谥校﹪迤鹪从谥袊?，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工智能機器人進行圍棋人機大戰(zhàn)．截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；B、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選A．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．2．（2022秋·甘肅慶陽·九年級?？计谥校┙逃块T高度重視校園安全教育，要求各級各類學(xué)校從認識安全警告標志入手開展安全教育．下列安全圖標是中心對稱圖形的是（

）A．注意安全B．急救中心C．水深危險 D．禁止攀爬【答案】B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【詳解】解：選項，是軸對稱圖形，不符合題意；選項，是中心對稱圖形，符合題意；選項，是軸對稱圖形，不符合題意；選項，不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，掌握中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合是關(guān)鍵．3．（2022秋·河南許昌·九年級統(tǒng)考期中）《國家寶藏》節(jié)目立足于中華文化寶庫資源，通過對文物的梳理與總結(jié)，演繹文物背后的故事，讓更多的觀眾走進博物館，讓一個個館藏文物鮮活起來．下面四幅圖是我國一些博物館的標志，其中是中心對稱但不是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：A、該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、該圖形不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．常見的軸對稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．4．（2022春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C都是格點，以點O為對稱中心，畫出關(guān)于點O成中心對稱的，點A、B、C的對應(yīng)點分別為．【答案】見解析【分析】根據(jù)畫中心對稱圖形的方法畫圖即可．【詳解】解：如圖所示，即為所求；．【點睛】本題主要考查了畫中心對稱圖形，熟知畫中心對稱圖形的方法是解題的關(guān)鍵．核心知識4三角形的中位線1．（2022春·浙江寧波·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的中點，若DE=4，則BC等于（

）A．2 B．4 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【詳解】解：∵D、E分別是AB、AC邊上的中點，DE=4，∴BC=2DE=2×4=8，故選：C．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，為了測量池塘邊A、B兩地之間的距離，在的同側(cè)取一點C，連接并延長至點D，連接并延長至點E，使得點A、B分別是的中點，若測得，則A、B間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵A、B分別是CD、CE的中點，∴AB是△CDE的中位線，∴AB＝DE＝×18＝9．故選：C．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，，是邊的中點，是的中點，若，則的長是（

）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：在中，，，，，是邊的中點，是的中點，是的中位線，，故選：D．【點睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，平行四邊形中，點E是的中點．若，則的長為（

）cmA．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及題意可得是的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，對角線交于點，∴，∴是的中點，∵點E是的中點，∴是的中位線，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及中位線，根據(jù)題意得出是的中位線是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，在平行四邊形中，對角線與相交于點，是邊的中點，連接，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和可求的，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，可得，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等即可求得．【詳解】解：，，，四邊形是平行四邊形，對角線與相交于點O，，E是邊的中點，∴，故選D【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·廣東梅州·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，若，則的長度為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】仔細分析題意，并觀察圖形，利用直角三角形的性質(zhì)及中位線的定義和性質(zhì)進行解答；首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得的長度，據(jù)此則不難求出的長度；接下來根據(jù)三角形中位線的定義可得是的中位線，再結(jié)合中位線的性質(zhì)即可求得的長度．【詳解】解：∵中，∴．∵，∴．∵點D為的中點，∴．∵E，F(xiàn)分別為的中點，∴是的中位線，∴故選：C．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·廣西南寧·八年級?？计谥校┤鐖D，等邊中，點是中點，于點，若，則長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】先構(gòu)造直角，證明是的中位線，求出，再利用等邊三角形的性質(zhì)求出后即可求解.【詳解】解：如圖，過A點作于M，∵，∴∵點D是中點，∴是的中位線，∴，∵等邊中，，∴，∴，∴，故選：A.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線的判定，線段的和差等知識，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.8．（2022春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，點分別是的中點，則四邊形的周長是（

）A．13 B．9.5 C．17 D．19【答案】D【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)求出的長即可求得四邊形的周長．【詳解】解：∵點分別是的中點，∴是的中位線，是的中位線，∴，，∴四邊形的周長為．故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的中位線定理．9．（2022秋·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期中）如圖，為的中位線，點在上，且，若，，則的長為（

）A．1 B．1.5 C．3 D．4.5【答案】B【分析】利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出，利用三角形的中位線定理求出，即可求出．【詳解】解：∵是的中位線，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的中位線平行且等于的三邊的一半，解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)定理與性質(zhì)．10．如圖，在中，，，，分別為的中點，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由分別為的中點得，，，由勾股定理得，，，從而可求出的值．【詳解】解：分別為的中點，是的中位線，，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的中位線、勾股定理，熟記三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，中，，，，、分別是其角平分線和中線，過點作于，交于，連接，則線段的長為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理得到，證明得到，求得，根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：中，，，∴，∵，∴．∵平分，∴，在和中，∴∴，∴，∵是的中線，∴，∴是的中位線，∴，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，E、F、G分別是的中點，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得到，延長交于點M，利用平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)計算即可．【詳解】如圖，延長交于點M，∵，E、F、G分別是的中點，，，∴，∴，，，∴，解得．故選D．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點．AB＝10，BC=8，DE＝4.5，則△DEF的周長是（

）A．14.5 B．12.5 C．9.5 D．13.5【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等腰斜邊的一半以及三角形中位線定理分別求出的長度，結(jié)果可得．【詳解】解：E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，，CD⊥AB，，為直角三角形，，的周長，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點是解本題的關(guān)鍵．14．（2022春·廣東河源·八年級校考期中）.如圖，矩形中，是的中點，點在邊上運動，，分別是，的中點，則的長隨著點的運動（

）A．變短 B．變長 C．不變 D．無法確定【答案】C【分析】易得EF為的中位線，那么EF長恒等于定值A(chǔ)R的一半．【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別是AM，MR的中點，∴，∴無論M運動到哪個位置EF的長不變，故選：C．【點睛】本題考查三角形中位線等于第三邊的一半的性質(zhì)．15．如圖，已知的周長為1，連接三邊的中點構(gòu)成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊中點構(gòu)成第三個三角形，依此類推，第2005個三角形的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的中位線定理建立周長之間的關(guān)系，按規(guī)律求解．【詳解】解：根據(jù)三角形中位線定理可得第二個三角形的各邊長都等于最大三角形各邊的一半，那么第二個三角形的周長的周長第三個三角形的周長為的周長……第n個三角形的周長為的周長，第2005個三角形的周長故選：D．【點睛】考查了三角形的中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．16．（2022春·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，對角線，相交于點O，點E，F(xiàn)分別是，的中點，連接EF，若，則的長為______．【答案】12【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵點E，F(xiàn)分別是，的中點，若，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，故答案為：12．【點睛】本題主要考查了三角形的中位線和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線等于第三邊的一半，平行四邊形對角線互相平分．17．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）在中，，，，點N是邊上一點，點M為邊上的動點，點D、E分別為，的中點，則的最小值是______.【答案】##2.4##【分析】連接，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出，只要找到的最小值即可，根據(jù)垂線段最短可知當時，最短，此時利用勾股定理和三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：連接CM，∵點D、E分別為，的中點，∴.當時，的值最小，此時的值也最小.由勾股定理得：.∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，垂線段最短，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．18．（2022春·四川自貢·八年級校考期中）如圖，D、E分別是的邊AB、AC的中點，點O是內(nèi)部任意一點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．求證：四邊形DGFE是平行四邊形．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，可知且，且，由此可證得且，根據(jù)平行四邊形的判定：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形DGFE是平行四邊形．【詳解】證明：∵D、E分別是的邊AB、AC的中點，點G、F分別是OB、OC的中點，∴DE是的中位線，GF是的中位線，∴且，且，∴且，∴四邊形DGFE是平行四邊形．【點睛】本題主要考查的是平行四邊形的判定，此類題中需要注意，遇到中點，首先想到中位線的性質(zhì)．19．（2022春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中點，M是DC的中點，N是AB的中點．請判斷△PMN的形狀，并說明理由．【答案】等腰三角形，理由見解析【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到PM＝BC，，PN＝AD，進而得到PM＝PN，根據(jù)等腰三角形的定義得出結(jié)論．【詳解】解：△PMN是等腰三角形，理由如下：∵P是BD的中點，M是DC的中點，∴PM是△DBC的中位線，∴PM＝BC，同理，PN＝AD，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形．【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，的對角線，交于點，點，分別是，的中點．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求四邊形的周長．【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到，根據(jù)平行四邊形的判定可證得結(jié)論；（2）由勾股定理求得，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到，進而可求得結(jié)論．（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，點，分別是，的中點，，分別是和的中位線，，四邊形是平行四邊形；（2）解：，四邊形是平行四邊形,是菱形，,，，，，，，，,四邊形的周長為．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)與判定、三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．21．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校校考期中）如圖，在中，于點分別是的中點，O是的中點，的延長線交線段于點G，連結(jié)．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當時，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）由三角形中位線定理得，則，再證，得，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理得，則，進而由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵分別是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∵O是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵，∴，∵E是的中點，∴，∵，∴，∴，由（1）可知，四邊形是平行四邊形，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、以及勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．核心知識5矩形1．（2022秋·河南平頂山·九年級校考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，在不添加任何輔助線的情況下，添加以下哪個條件，能使平行四邊形ABCD是矩形（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形；且AD⊥AB∴四邊形ABCD是矩形故選A【點睛】本題考查矩形的判定，掌握有一個角是直角的平行四邊形是矩形的概念是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·甘肅蘭州·九年級統(tǒng)考期中）下列性質(zhì)中矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直C．對角線相等 D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)解答即可得．【詳解】解：A、矩形的對角線互相平分，故此選項不符合題意；B、矩形的對角線不一定互相垂直，故此選項符合題意；C、矩形的對角線相等，故此選項不符合題意；D、矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)：①矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②矩形的四個角都為直角且相等；③矩形的兩條對角線相等且互相平分；④矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·貴州六盤水·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點O，且，，則的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A【分析】根據(jù)矩形的判定得到四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)求出,，求出，由平行線的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是矩形，，，，故選：A【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)．4．如圖，矩形中，，兩條對角線所夾的鈍角為，則對角線的長為()A．3 B．6 C． D．10【答案】B【分析】根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得，然后判斷出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)矩形的對角線互相平分可得．【詳解】解：在矩形中，，∵兩條對角線所夾的鈍角為，是等邊三角形，，．故選：B．【點睛】本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)并判斷出是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．5．下列說法中錯誤的是（

）A．一組鄰邊相等的矩形是正方形B．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形C．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形D．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【答案】C【分析】根據(jù)正方形、菱形、平行四邊形、矩形的定義或判定即可得到答案．【詳解】根據(jù)正方形、菱形、平行四邊形的定義知A、B、D正確；一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，選項C錯誤．故選：C．【點睛】本題主要考查了正方形、菱形、平行四邊形、矩形的判定，解題的關(guān)鍵是明確題意，牢記相關(guān)概念．6．（2022春·陜西安康·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，平分交于點E，連接，若，則的長為（）A．12 B．14 C．16 D．20【答案】B【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，再證明，得到，利用勾股定理求出，即可求出．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵平分，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)與判定，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·陜西漢中·九年級?？计谥校┤鐖D，矩形的對角線、相交于點，過點作交于點，若，，則的長為（

）A． B．6 C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)矩形，得到，，，從而可得，設(shè)，則，，再利用勾股定理計算即可．【詳解】解：如圖，連接，∵矩形，，，∴，，，，∵，∴，設(shè)，則，，在中，，∴，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，已知矩形的對角線的長為，連接矩形各邊中點E、F、G、H得四邊形，則四邊形的周長為（

）．A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】根據(jù)三角形中位線定理易得四邊形的各邊長等于矩形對角線的一半，而矩形對角線是相等的，都為10，那么就求得了各邊長，讓各邊長相加即可．【詳解】解：連接，由矩形性質(zhì)可知，，∵、是與的中點，∴是的中位線，∴（cm），同理，，∴四邊形的周長為20cm.故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線的應(yīng)用，能求出四邊形的各個邊的長是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對角線相等，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．9．（2022秋·甘肅蘭州·九年級統(tǒng)考期中）將矩形紙片沿折疊得到，與交于點E，若，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得，，進而求得，根據(jù)折疊可得，最后根據(jù)進行計算即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，由折疊可得，∴，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，折疊性質(zhì)，角的有關(guān)計算等知識，解題的關(guān)鍵是求出和的度數(shù)．10．（2022秋·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在長方形中，，，為上一點，將沿翻折至，，與分別相交于點，，且．則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由折疊的性質(zhì)得出，，，證明，得出，，設(shè)，則，，求出，，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，根據(jù)題意得：，∴，，，∵，，，∴，∴，，∴，設(shè)，則，，∴，，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，∴，故選：D【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用，熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．11．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┤鐖D，矩形中，對角線，交于O點．若，，則的長為（

）．A．4 B． C．3 D．5【答案】A【分析】先由矩形的性質(zhì)得出，結(jié)合題意證明是等邊三角形即可．【詳解】解：四邊形是矩形，且是等邊三角形，故選：A．【點睛】本題考查了矩形對角線相等且互相平分的性質(zhì)及等邊三角形的判定方法，熟練掌握矩形性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.12．（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將矩形紙片沿對折，使點落在邊上的點，若，，則邊長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由矩形紙片沿對折，使點落在邊上的點，cm，，根據(jù)勾股定理求得，則cm，由此可列方程：，解出方程即可求出本題．【詳解】解：∵四邊形是矩形，cm，cm，∴，cm，，∴，∵將矩形紙片沿對折，使點落在邊上的點，∴cm，，∴（cm），∴cm，∵，∴，解得：，∴的邊長為，故選：A．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識點，能夠?qū)⒐垂啥ɡ砼c方程相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．13．（2022秋·遼寧沈陽·九年級?？计谥校┤鐖D，將矩形紙片沿折疊，使點A落在對角線上的處．若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由矩形和折疊的性質(zhì)，得到的的性質(zhì)得和，再根據(jù)三角形教的關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)可得：，故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)；熟練掌握矩形性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·遼寧沈陽·九年級?？计谥校┤鐖D，是矩形的一條對角線，點E，F(xiàn)分別是的中點．若，則的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】先根據(jù)三角形中位線定理得到的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得的長，最后代入計算即可解答．【詳解】解：∵點E，F(xiàn)分別是的中點，∴是的中位線，∴，∵，∴，又∵E是的中點，∴中，，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)等知識點，掌握“在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半”和“三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”成為解答本題的關(guān)鍵．15．（2022秋·山東棗莊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，對角線、相交于點O，若平分交于點E，且，連接，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由矩形，得到，根據(jù)平分，得到等邊三角形，，求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案．【詳解】解：四邊形是矩形，∴，，，，，，，平分，，，，是等邊三角形，，，∵，．故選C．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，矩形的性質(zhì)等知識點，證明是等邊三角形是解決本題的關(guān)鍵．16．如圖，在中，角，，，是邊上的一點，作垂直，垂直，垂足分別為、，則的最小值是（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5【答案】C【分析】如圖所示，連接，利用勾股定理求出，再證明四邊形是矩形，，從而得到當時，最小，即最小，利用等面積法求出的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，在中，由勾股定理得，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴要使最小，則要使最小，∴當時，最小，即最小，∴此時，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線將求的最小值轉(zhuǎn)換成求的最小值是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，動點、分別在、上，則的最小值是（

）cmA． B． C．6 D．3【答案】B【分析】先根據(jù)軸對稱確定出點M和N的位置，再利用面積求出，進而求出，最后用含角的直角三角形的性質(zhì)即可求出的最小值【詳解】解：如圖，作出點C關(guān)于的對稱點E，過點E作于N，交于M，連接，此時最?。咚倪呅问蔷匦危?，，∵，∴，又，即，∴，，∵，∴，∴，由對稱得，，，∵，∴，∵，∴，∴，，即：的最小值為．故選：B．【點睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，點到直線的距離，軸對稱，含角的直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是確定出滿足條件的點的位置．18．（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，E為邊的中點，點P、Q為邊上的兩個動點，且，當（

）時，四邊形的周長最小．A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】在上截取線段，作F點關(guān)于的對稱點G，連接與交于一點即為Q點，過F點作的平行線交于一點，即為P點，此時四邊形的周長最小，過G點作的平行線交的延長線于H點，先求出，得出，設(shè)，則，列出關(guān)于x的方程，解方程即可．【詳解】解：如圖，在上截取線段，作F點關(guān)于的對稱點G，連接與交于一點即為Q點，過F點作的平行線交于一點，即為P點，此時四邊形的周長最小，過G點作的平行線交的延長線于H點，∵四邊形為矩形，∴，，，∴，∵E為邊的中點，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：，即時，四邊形的周長最小，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出使四邊形的周長最小時，點P的位置．19．（2022秋·四川達州·九年級校考期中）在矩形中，．動點P從點A開始沿邊以的速度運動，動點Q從點C開始沿邊以的速度運動．點P和點Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．那么______秒后四邊形為矩形？【答案】5【分析】設(shè)動點的運動時間為秒，根據(jù)題意得，，根據(jù)矩形的對邊相等，求出的值，即可解決問題．【詳解】解：設(shè)動點的運動時間為秒，由題意得：，，∵四邊形是矩形，∴，∴解得．即當秒時，四邊形是矩形．故答案為：5．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用矩形的性質(zhì)．20．（2022秋·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是平行四邊形，點在的延長線上，且，，、相交于點，連接．求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【分析】首先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等即可證明是矩形．【詳解】解：證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．21．（2022春·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知，延長到E，使，連接，，，若．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)題意得到，根據(jù)矩形的判定定理證明；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：如圖，∵，∴．∵矩形中，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．22．如圖，在平行四邊形中，點E是邊的中點，連接并延長，交的延長線于點，連接，．(1)求證：．(2)當四邊形是矩形時，若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見詳解；(2)；【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴即，∴，∵點是的中點，∴，在和中，，∴（）；（2）∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．23．如圖，的對角線交于點O，過點D作于E，延長到點F，使，連接．(1)求證：四邊形是矩形．(2)若，試求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，等量代換得到，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）先證得是等腰直角三角形，可得，在中，由勾股定理可得，再由直角三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形．（2）解：由（1）得：，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，在中，由勾股定理得：，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2022春·廣東江門·八年級校考期中）如圖，已知在四邊形中，，，，，，動點從開始沿邊向點以的速度運動，動點從點開始沿邊向點以的速度運動，、別從點、同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為秒．(1)當為何值時，四邊形為矩形？(2)當為何值時，？(3)當為何值時，？【答案】(1)6.5(2)6(3)6或7【分析】（1）根據(jù)矩形的判定定理，當時，列出方程求解即可；（2）當時，四邊形是平行四邊形，依據(jù)這個等式列出方程求解即可；（3）分四邊形是平行四邊形和等腰梯形兩種情況討論，列出方程求解即可．【詳解】（1）∵動點以的速度運動，動點以的速度運動，∴，，∴，當時，，此時且，由，即可得出四邊形為矩形，∴當為時，四邊形為矩形．（2）由題意，，，當時，；此時，且，則四邊形是平行四邊形，即可得出，∴當為6時，．（3）由（2）知，當為6時，四邊形是平行四邊形，此時，，若四邊形是等腰梯形，則也有，如圖所示，分別過P點和D點作，，垂足分別為E、F，由，可得，可知，，∴，∴，綜上，當為6或7時，．【點睛】本題考查了動點問題，涉及到了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、等腰梯形等知識，解題關(guān)鍵是正確理解題意，列出方程．25．（2022春·廣東江門·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，點P在邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動，點Q在邊上，以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在之間往返運動，兩個動點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止運動），設(shè)運動時間為t秒．(1)用含t的式子表示線段的長度：______cm，(2)當時，運動時間t為______秒時，以A、P、Q、B為頂點的四邊形是矩形．(3)當時，以P、D、Q、B為頂點的四邊形有沒可能是平行四邊形？若有，請求出t；若沒有，請說明理由．【答案】(1)(2)2(3)存在或使得以P、D、Q、B為頂點的四邊形是平行四邊形【分析】（1）先根據(jù)題意求出，再由即可求出答案；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，由此建立方程求解即可；（3）利用平行四邊形的性質(zhì)得到，由此可建立方程或，解方程即．【詳解】（1）解；由題意得，∴，故答案為；；（2）解：∵以A、P、Q、B為頂點的四邊形是矩形，∴，∴，解得，故答案為：2；（3）解；假設(shè)存在以P、D、Q、B為頂點的四邊形是平行四邊形，∴，∴或，解得或，∴存在或使得以P、D、Q、B為頂點的四邊形是平行四邊形．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確根據(jù)題意列出方程求解是解題的關(guān)鍵．核心知識6菱形1．（2022秋·貴州貴陽·九年級?？计谥校┤袅庑蝺蓷l對角線長分別為6和8，則這個菱形的面積為（）A．12 B．16 C．24 D．48【答案】C【分析】因為菱形的對角線互相垂直，互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．【詳解】解：菱形的面積為：故選：C【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵知道菱形的對角線互相垂直，然后根據(jù)面積等于對角線的一半求出結(jié)果．2．如圖，一個菱形的一條對角線長為7，面積為28，則該菱形的另一條對角線長為（

）．A．8 B．10 C．12 D．14【答案】A【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半，進行求解即可．【詳解】解：設(shè)菱形的兩條對角線分：，，∵菱形的面積，∴；故選A．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)．熟練掌握菱形的面積公式，是解題的關(guān)鍵．3．如圖，四邊形是平行四邊形，下列說法能判定四邊形是菱形的是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由菱形的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：能判定四邊形是菱形的是，理由如下：四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故選：A．【點睛】本題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．4．如果一個四邊形的對角線相等，那么順次連接這個四邊形各邊中點所得的四邊形一定是（）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【分析】根據(jù)三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半；即可得出這個四邊形各邊中點所得的四邊形四條邊長相等，即可得解．【詳解】解：如圖所示，四邊形中，，點分別是邊的中點，為邊的中點，為的中位線，，同理，得，，同理，可得，，，四邊形為菱形．故選：C．【點睛】此題考查了三角形的中位線定理與菱形的判定，熟練掌握三角形的中位線定理與菱形的概念是解答此題的關(guān)鍵．5．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期中）菱形的兩條對角線長分別是6和8，則此菱形的周長是（

）A．10 B．40 C．20 D．25【答案】C【分析】根據(jù)題意，作出圖形，在圖形中，結(jié)合菱形性質(zhì)，對角線互相垂直平分，利用勾股定理得到菱形邊長即可得到菱形周長．【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下：，，在中，，則，菱形的周長為，故選：C．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理求線段長，涉及菱形四條邊相等、對角線相互垂直平分等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．6．（2022秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，點E為的中點．若，則菱形的周長為（）A．6 B．12 C．24 D．36【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)可得出，，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出的長，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，，∴為直角三角形．∵，點E為線段的中點，∴．∴．故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出．7．（2022秋·甘肅蘭州·九年級統(tǒng)考期中）在菱形中，點P在對角線上，，垂足為E，，則點P到的距離是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】過點作，根據(jù)菱形的對角線互相平分可得是的平分線，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點到的距離．【詳解】解：過點作于F，是菱形的對角線，平分，于，于，，．故選：C．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的對角線平分一組對角的性質(zhì)和角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，菱形中，交于，于，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由菱形的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·河南鄭州·九年級校考期中）如圖，菱形的對角線、相交于點O，過點D作于點H，連接，，若菱形的面積為12，則的長為（

）A．10 B． C． D．5【答案】B【分析】在中先求得的長，根據(jù)菱形面積公式求得長，再根據(jù)勾股定理求得長，即可得到．【詳解】解：，，四邊形是菱形，，，，（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半），，，由得：，，，，，故選B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)得出．10．如圖，在菱形中，，，且，連接交對角線于點F，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由菱形的性質(zhì)和可證明是等邊三角形，繼而得出，，再由等邊三角形三線合一的性質(zhì)得出，通過證明，可得，再利用三角形內(nèi)角和進行求解即可．【詳解】∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，同理，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．證得是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，菱形的對角線相交于點O，，，將菱形按如圖所示的方式折疊，使點B與O重合，折痕為，則五邊形的周長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理求得，即可得是等邊三角形，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得和是等邊三角形，即可得，，根據(jù)，得是的中位線，可得，即可得【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵折疊，∴，，∴，，∴，，∴，，∴和是等邊三角形，∴，，∵，，∴是的中位線，∴，∴五邊形AEFCD的周長：，故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點，正確計算．12．（2023秋·遼寧丹東·九年級?？计谥校┮阎庑蔚膶蔷€長分別為6和8，則菱形的面積為______菱形的高是______．【答案】

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【分析】根據(jù)菱形的對角線