隨機(jī)過(guò)程及其統(tǒng)計(jì)描述

隨機(jī)過(guò)程及其統(tǒng)計(jì)描述2

關(guān)鍵詞：

隨機(jī)過(guò)程 狀態(tài)和狀態(tài)空間 樣本函數(shù) 有限維分布函數(shù) 均值函數(shù) 方差函數(shù) 自相關(guān)函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù) 互相關(guān)函數(shù) 互協(xié)方差函數(shù) 正態(tài)過(guò)程 獨(dú)立增量過(guò)程泊松過(guò)程維納過(guò)程第十章隨機(jī)過(guò)程及其統(tǒng)計(jì)描述第2頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天

信號(hào)是個(gè)隨時(shí)間、空間、或其它某個(gè)參量變化的，攜帶某種信息的物理量。通常遇到最多的是時(shí)間信號(hào)，是隨時(shí)間變化的物理量。因此，人們用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法建立隨機(jī)信號(hào)的數(shù)學(xué)模型→隨機(jī)過(guò)程。第3頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天

下面由一個(gè)試驗(yàn)實(shí)例來(lái)建立隨機(jī)過(guò)程的概念。舉例：在相同條件下，對(duì)同一雷達(dá)接收機(jī)的內(nèi)部噪聲電壓（或電流）經(jīng)過(guò)大量的重復(fù)測(cè)試后，設(shè)觀測(cè)到的所有的可能結(jié)果有m種，記錄下m個(gè)不相同的波形。S第4頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：這里對(duì)每一個(gè)t

T,X(t)是一隨機(jī)變量.T叫做參數(shù)集.常把t看作為時(shí)間,稱X(t)為時(shí)刻t時(shí)過(guò)程的狀態(tài),而X(t1)=x(實(shí)數(shù))說(shuō)成是t=t1時(shí)過(guò)程處于狀態(tài)x,對(duì)于一切tT,X(t)所有可能取的一切值的全體稱為隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)空間.第5頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天t固定，

變化：X(ti,ζ)隨機(jī)變量（狀態(tài)）。

t固定，

固定：X(ti,ζk)一個(gè)確定的值。

t變化，

固定：X(t,ζk)確定的時(shí)間函數(shù)(隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)）

t變化，

變化：X(t,ζ

)隨機(jī)過(guò)程（一族時(shí)間函數(shù)的總體，

或隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量）下標(biāo)i和k，分別表示確定的某個(gè)時(shí)刻i和確定的某個(gè)樣本k。對(duì)隨機(jī)過(guò)程而言：一般，隨機(jī)變量寫(xiě)成:X,Y,Z。隨機(jī)過(guò)程寫(xiě)成:X(t),Y(t),Z(t)

樣本函數(shù)寫(xiě)成:x(t),y(t),z(t)或X1(t)……Xn(t)

第6頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天7

例1：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，樣本空間是S={H,T}，現(xiàn)定義：1234第7頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天8

第8頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天9

第9頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天10

第10頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例5：考慮拋擲一顆骰子的試驗(yàn)：第11頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天12隨機(jī)過(guò)程的分類：隨機(jī)過(guò)程可根據(jù)參數(shù)集T和任一時(shí)刻的狀態(tài)分為四類，參數(shù)集T可分為離散集和連續(xù)集兩種情況，任一時(shí)刻的狀態(tài)分別為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量?jī)煞N：連續(xù)參數(shù)連續(xù)型的隨機(jī)過(guò)程，如例2，例3連續(xù)參數(shù)離散型的隨機(jī)過(guò)程，如例1，例4離散參數(shù)離散型的隨機(jī)過(guò)程，如例5離散參數(shù)連續(xù)型的隨機(jī)過(guò)程，第12頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天13§2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述一維分布函數(shù)族刻畫(huà)了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)個(gè)別時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性。第13頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天科爾莫戈羅夫定理：為了描述隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻狀態(tài)之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系,第14頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天15

例1：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，定義一隨機(jī)過(guò)程：第15頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天16

第16頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天

隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望如果將過(guò)程X(t)中的

t

看成是固定的，則

X(t)就是一個(gè)隨機(jī)變量，它隨機(jī)的取值x，其在

t

時(shí)刻取x值的概率密度為

。據(jù)期望的定義：mX(t)

描述了X(t)所有樣本函數(shù)在各個(gè)時(shí)刻擺動(dòng)的中心－－即X(t)在各個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)(隨機(jī)變量)的數(shù)學(xué)期望。第17頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天

二、隨機(jī)過(guò)程X(t)的均方值和方差同理，把過(guò)程X(t)中的t視為固定時(shí)，

X(t)為時(shí)刻t的狀態(tài)（隨機(jī)變量）。其二階原點(diǎn)矩：將t視為變量時(shí)，即為過(guò)程X(t)的均方值。同理，過(guò)程X(t)的方差：過(guò)程X(t)的均方差：第18頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天故離散型隨機(jī)過(guò)程Y(t)的數(shù)學(xué)期望為：對(duì)離散型隨機(jī)過(guò)程Y(t),t∈T.若所有狀態(tài)取值的樣本空間為S＝{y1,y2,…,ym}。均方值為：方差為：表示狀態(tài)Y(t)取t時(shí)刻值為yi的概率。第19頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)下面兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程

X(t)，

Y(t)它們的期望和方差都相同，mx(t)=mY(t)，

x(t)=

Y(t)。但從樣本函數(shù)看有明顯不同。x

(t)隨時(shí)間變化慢，不同時(shí)刻的兩個(gè)狀態(tài)X(t1),X(t2)之間的依賴性強(qiáng)（相關(guān)性強(qiáng)）。y(t)隨時(shí)間變化快，不同時(shí)刻的兩個(gè)狀態(tài)Y(t1),Y(t2)之間的依賴性弱（相關(guān)性弱）。因此期望和方差不能反應(yīng)過(guò)程內(nèi)部變化快慢、相關(guān)性強(qiáng)弱的狀況。第20頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般用來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程“任意兩個(gè)時(shí)刻的兩個(gè)狀態(tài)之間內(nèi)在聯(lián)系”的重要數(shù)字特征

——自相關(guān)函數(shù)定義為：它反應(yīng)了任意兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)X(t1)與X(t2)之間的“相關(guān)程度”。

·狀態(tài)X(t1)與X(t2)之間的相關(guān)程度也可以用自協(xié)方差函數(shù)來(lái)描述：第21頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)系數(shù)定義為：注：隨機(jī)過(guò)程的期望、方差、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)系數(shù)等存在的條件是：以后，所有例題都滿足上述兩個(gè)條件，不必再去驗(yàn)證第22頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天23第23頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天24

~~第24頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天25

第25頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天26求它的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。第26頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天27(三)二維隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和數(shù)字特征第27頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天28第28頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天29

第29頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天30§3泊松過(guò)程及維納過(guò)程第30頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天31

獨(dú)立增量過(guò)程的性質(zhì)：第31頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天32綜上可得:第32頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天第33頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天(1)第34頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天第35頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天第36頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天第37頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天（4）協(xié)方差函數(shù)第38頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天第39頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天40若N(t)是強(qiáng)度為λ的泊松流，則增量的概率分布為：特別地，當(dāng)t0=0時(shí)：第40頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天如果強(qiáng)度l非均勻,即l是時(shí)間的函數(shù)l=l(t),t0.則稱泊松過(guò)程為非齊次的.對(duì)于非齊次泊松過(guò)程,用類似的方法,可得第41頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天42第42頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天等待時(shí)間及其概率分布

在較多的實(shí)際問(wèn)題中,通常對(duì)質(zhì)點(diǎn)的觀察,不是對(duì)時(shí)間間隔(t1,t2]中出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)計(jì)數(shù),而是對(duì)記錄到某一預(yù)定數(shù)量的質(zhì)點(diǎn)所需要的時(shí)間進(jìn)行計(jì)時(shí).例如,為研究含某種放射性元素的物質(zhì),常對(duì)它發(fā)射出來(lái)的粒子作計(jì)時(shí)試驗(yàn).

一般,設(shè)質(zhì)點(diǎn)(或事件)依次重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)刻

t1,t2,...,tn,...

是一強(qiáng)度為l的泊松流,{N(t),t0}為相應(yīng)的泊松過(guò)程.第43頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天以慣用記號(hào)記

W0=0,Wn=tn,n=1,2,....

Wn是一隨機(jī)變量,表示第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)(或事件第n次)出現(xiàn)的等待時(shí)間.如下圖所示.T1T2TkOW1W2Wk-1Wkt第44頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天45第45頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天點(diǎn)間間距及其概率分布

記Ti=Wi-Wi-1,i=1,2,...它也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,稱為相繼出現(xiàn)的第i-1個(gè)質(zhì)點(diǎn)和第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)間間距.第46頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天47點(diǎn)間間距及其概率分布

記Ti=Wi-Wi-1,i=1,2,...它也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,稱為相繼出現(xiàn)的第i-1個(gè)質(zhì)點(diǎn)和第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)間間距.第47頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天48

定理一：強(qiáng)度為λ的泊松流(泊松過(guò)程)的點(diǎn)間間距是相互獨(dú)立的隨 機(jī)變量，且服從同一指數(shù)分布定理二：如果任意相繼出現(xiàn)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)間間距是相互獨(dú)立， 且服從同一個(gè)指數(shù)分布：

這兩個(gè)定理刻畫(huà)出了泊松過(guò)程的特征，定理二告訴我們，要確定一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程是不是泊松過(guò)程，只要用統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)點(diǎn)間間距是否獨(dú)立，且服從同一個(gè)指數(shù)分布。則質(zhì)點(diǎn)流構(gòu)成強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程第48頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天49(二)維納過(guò)程維納過(guò)程是布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型以W(t)表示運(yùn)動(dòng)中一微粒從時(shí)刻t=0到時(shí)刻t>0的位移的橫坐標(biāo)，且設(shè)W(0)=0。由于微粒的運(yùn)動(dòng)是受到大量隨機(jī)的、相互獨(dú)立的分子碰撞的結(jié)果，于是:

粒子在時(shí)段(s,t]上的位移可看作是許多微小位移的 和，根據(jù)中心極限定理，假設(shè)位移W(t)