新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第07講比較大小(原卷版+解析)

第07講比較大小【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．【典型例題】例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則（）A． B．C． D．例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，對(duì)任意，，均有成立，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a＝log0.53，b＝20.3，c＝0.30.5，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則（）A． B．C． D．例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，，，則，，大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，其中，，，則（）A． B． C． D．例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，則，，的大小排序?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，，試比較，，的大小為（）A． B．C． D．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則，，，則（）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，下列不等式成立的是（）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若實(shí)數(shù)，，互不相等，且滿足，則（）A． B． C．， D．，6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若，b＝log25，c＝ln3，則（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)，，，則（）A． B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則（）A． B． C． D．11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)正數(shù)，，滿足，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B． C． D．16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則（）A． B． C． D．18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，，，，則，，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系正確的為（）A． B．C． D．20．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．21．（2021·全國(guó)·貴陽一中一模（文））已知，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．22．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．23．（2021·廣東茂名·高三階段練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．24．（2021·四川資陽·一模（理））設(shè)，，，則a，b，c大小關(guān)系為（）A． B． C． D．25．（2021·重慶·高三階段練習(xí)）設(shè)，，均為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．二、多選題26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．27．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）若，，則（）A． B．C． D．28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿足，則（）A． B．C． D．30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則（）A．B．C．D．31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．第07講比較大小【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．【典型例題】例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，，，根據(jù)在上是增函數(shù)，所以，即.故選：D.例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，對(duì)任意，，均有成立，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵對(duì)任意，，均有成立，∴此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，∵是偶函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，，，∵，∴，∵，∴，∴，即，故選：D.例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a＝log0.53，b＝20.3，c＝0.30.5，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c【答案】A【詳解】解：∵log0.53＜log0.51＝0，∴a＜0，∵20.3＞20＝1，∴b＞1，∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故選：A．例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由，可得，所以，所以A不正確；由，，因?yàn)椋傻?，所以，所以B正確；由函數(shù)為上的遞減函數(shù)，因?yàn)?，可得，所以C錯(cuò)誤；例如：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以D錯(cuò)誤.故選：B.例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，，，則，，大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】；，；．故選：．例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，，，所以，故選：C.例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，其中，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，則，同理，，令，則，當(dāng)；當(dāng)，∴在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即可得，又，，由圖的對(duì)稱性可知，.故選：C例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，則，，的大小排序?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】D【詳解】方法一：設(shè).則，，，又，所以，可得.方法二：由.得，即，可得.故選：D【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，，試比較，，的大小為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將??與0?1相比較，即可得到結(jié)論.【詳解】解：∵，，，∴，故選：B.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得出、的大小.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值大于0，所以；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，所以，所以.故選：B.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可求解.【詳解】，，，，，，.故選：D.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，結(jié)合題意，可判斷A、B、D的正誤；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可判斷C的正誤，即可得答案.【詳解】對(duì)于：構(gòu)造函數(shù)，由于，則函數(shù)在上為減函數(shù)，又因?yàn)椋瑒t有，所以錯(cuò)誤；對(duì)于：構(gòu)造函數(shù)，由于，則函數(shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)椋瑒t，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以正確;對(duì)于D：，由于，所以，所以，所以錯(cuò)誤；故選：C5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若實(shí)數(shù)，，互不相等，且滿足，則（）A． B． C．， D．，【答案】D【分析】令，然后分別求解出，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)直接判斷出大小關(guān)系.【詳解】解：設(shè)，則，，，根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象易得：，，即，，故選：D.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若，b＝log25，c＝ln3，則（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷可得；【詳解】解：，，所以，，，所以故選：B7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性可知，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以；又，所以，?故選：B.8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用比差法分別比較與，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?；又，所以，所?故選：D.9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化比較即可．【詳解】解：，是奇函數(shù)，，，，則，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，，即，故選：C．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得，，，然后利用作差法判斷的大小即可【詳解】首先，，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：A.11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到0<log2e<log23，利用換底公式轉(zhuǎn)化可得到a<b<1，利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將c化簡(jiǎn)得到3為底的冪，可以判定c>1,從而得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】解：∵0<log2e<log23，，即ln2>log32，∴a<b<1，，∴a<b<c.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于基礎(chǔ)題.關(guān)于不同底數(shù)的對(duì)數(shù)的大小比較，常常是利用換底公式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)進(jìn)行比較，對(duì)于指數(shù)，對(duì)數(shù)式之間的比較大小，常常是利用中間值，比如常見的1，0等比較大小.12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明,再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以．所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，即，故，又因?yàn)?，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：實(shí)數(shù)大小的比較，一般先和0比，再和比，再和特殊值比較，再利用作差法和作商法比較.多用到函數(shù)的單調(diào)性比較.13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大??；【詳解】解：設(shè)，，則恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，∵，，∴，故選：D.14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)比較三個(gè)自變量的大小，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較三個(gè)函數(shù)值的大小即可.【詳解】函數(shù)，，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，即.故選：B【點(diǎn)睛】對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)正數(shù)，，滿足，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系得到，，，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷可得；【詳解】解：設(shè)，所以，，，由已知得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，，所以.故選：D.16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定的范圍,對(duì)于需要借助中間數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，然后與比較大小即可.【詳解】函數(shù)在R上是減函數(shù)，，又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以，而函數(shù)是R上增函數(shù)，，故選：B.17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷，然后判斷，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由，，可得，，則有，所以；，則.故選:C18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，，，，則，，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判定在上單調(diào)遞減，所以，整理可得；根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得，，從而得到答案．【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以，所以；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，同理，所以，即.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，屬中檔題.19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系正確的為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：，，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，，故選：B.20．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算以及基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】由，得，，所以，整理得，故A正確；由，得，又，所以，故B正確.因?yàn)椋?，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，D錯(cuò)誤．故選：D21．（2021·全國(guó)·貴陽一中一模（文））已知，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，同除以6可變形得，利用導(dǎo)數(shù)研究增減性，即可判斷大小.【詳解】，，，令，則，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，，，，，∴，故選：A．22．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別用和可得和，結(jié)合放縮可比大小，將“”化對(duì)數(shù)，即可比較a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以．又，所以，故選：B．23．（2021·廣東茂名·高三階段練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由于，，故分別對(duì)其取以為底的對(duì)數(shù)和以為底的對(duì)數(shù)，進(jìn)而比較大小.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即因?yàn)?，所以，即所以，?故選：A24．（2021·四川資陽·一模（理））設(shè)，，，則a，b，c大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較的大小即可.【詳解】由，即，又，可得，即，∴.故選：D.25．（2021·重慶·高三階段練習(xí)）設(shè)，，均為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，再根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系及換底公式得到，，，然后進(jìn)行求解即可．【詳解】解：因?yàn)?、、為正?shù)，令，，則，，，所以，，，，，，，，，，故選：D二、多選題26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由題知，再依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】由，得，則，，由于，，所以，，所以，故ACD正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD.27．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）若，，則（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用換底公式結(jié)合作商法可判斷AD選項(xiàng)的正誤；利用作商法結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，則，，，，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，，D錯(cuò).故選：AC.28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用冪指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.【詳解】∵.∴即，故項(xiàng)正確，