新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第28講排列組合(原卷版+解析)

第28講排列組合【知識點總結(jié)】1.分類加法計數(shù)原理①有n類方法完成一件事②任兩類無公共方法（互斥）共有③每類中每法可單獨做好這件事種不同方法.2.分步乘法計數(shù)原理①必須走完n步，才能完成任務(wù)完成一件事②前一步怎么走對后一步怎么共有③走無影響（獨立）種不同方法.3.排列與排列數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個（不同）元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同元素中選取m個元素(n≥m)的排列個數(shù)共有.4.組合與組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個(不同)元素，并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)共有.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）互不相同的盆菊花，其中盆為白色，盆為黃色，盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法（）A．種 B．種 C．種 D．種例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某地計劃在10月18日至11月18日舉辦“菊花花會”，如圖是某展區(qū)的一個菊花布局圖，現(xiàn)有5個不同品種的菊花可供選擇擺放，要求相鄰的兩個展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（）A．240種 B．300種C．360種 D．420種例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有()A．66種 B．60種 C．36種 D．24種例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘南古邑，民俗文化資源豐富.在一次民俗文化表演中，某部門安排了《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》、《女書表演》六個節(jié)目，其中《祁陽小調(diào)》與《道州調(diào)子戲》不相鄰，則不同的安排種數(shù)為（）A．480 B．240 C．384 D．1440例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）疫情期間，有6名同學(xué)去社區(qū)做防疫志愿者，根據(jù)需要，要安排這6名同學(xué)去甲?乙兩個核酸檢測點，每個檢測點至少去2名同學(xué)，則不同的安排方法共有()A．10種 B．20種 C．50種 D．70種例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A、B、C三個班級中，要求每個班級至少分到一人，則甲被分到A班級的概率為（）A． B． C． D．例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從三個小區(qū)中選取6人做志愿者，每個小區(qū)至少選取1人，則不同的選取方案數(shù)為（）A．10 B．20 C．540 D．1080例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））將4本不同的書本全部分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每位同學(xué)都分到書的分法有（）A．12種 B．24種 C．32種 D．36種例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））10名同學(xué)合影，站成了前排3人，后排7人，現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對順序不變，則不同的調(diào)整方法的種數(shù)為_______（用數(shù)字作答）．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某班有9名運動員，其中5人會打籃球，6人會踢足球，現(xiàn)從中選出2人分別參加籃球賽和足球賽，則不同的選派方案有（）A．28種 B．30種C．27種 D．29種2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機(jī)航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是（）A．26 B．60C．18 D．10803．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某班班干部有4名男生和5名女生組成，從9人中選1人參加某項活動，則不同的選法共有（）A．4種 B．5種 C．9種 D．20種4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知某教學(xué)大樓共有四層，每層都有東、西兩個樓梯，則從一層到四層不同的走法種數(shù)為（）A．32 B．23C．43 D．245．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0~9這十個數(shù)字中選擇（數(shù)字可以重復(fù)），有車主第一個號碼（從左到右）只想在數(shù)字3，5，6，8，9中選擇，其他號碼只想在1，3，6，9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有（）A．180種 B．360種C．720種 D．960種6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某公交車上有6位乘客，沿途4個車站，乘客下車的可能方式有（）A．64種 B．46種 C．24種 D．360種7．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在某校舉行一次閱讀分享活動中，需從4名男生和3名女生中任選4人參加，若這4人必須既有男生又有女生，則不同的選法的種數(shù)是（）A． B． C． D．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇．要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為A．24種 B．48種 C．72種 D．96種9．（2021·福建·三模）《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)?數(shù)學(xué)著作，公元3世紀(jì)初中國數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了“勾股圓方圖”(如圖)，用以證明其中記載的勾股定理.現(xiàn)提供4種不同顏色給如圖中5個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同涂色的方法種數(shù)為（）A．36 B．48 C．72 D．9610．（2021·陜西·西安市經(jīng)開第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））用5種不同顏色給圖中5個車站的候車牌(，，，，)染色，要求相鄰的兩個車站間的候車牌不同色，有（）種染色方法A．120 B．180 C．360 D．42011．（2021·河南·高三階段練習(xí)（理））如圖，準(zhǔn)備用種不同的顏色給、、、、五塊區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域隨機(jī)用一種顏色涂色，且相鄰區(qū)域（有公共邊的）所涂顏色不能相同，則不同涂色方法的種數(shù)共有（）A． B． C． D．12．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））甲、乙、丙、丁4名同學(xué)和1名老師站成一排合影留念，要求老師必須站在中間，則不同站法種數(shù)為（）A． B． C． D．13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某國際會議結(jié)束后，中、美、俄等21國領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人也站前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對其他國家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．種 B．種C．種 D．種14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有()A．66種 B．60種 C．36種 D．24種15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）七人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙?丙兩人必須相鄰，則排法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種16．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）高三某班課外演講小組有4位男生、3位女生，從中選拔出3位男生、2位女生，然后5人在班內(nèi)逐個進(jìn)行演講，則2位女生不連續(xù)演講的方式有（）A．864種 B．432種 C．288種 D．144種17．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是（）A．12 B．24 C．64 D．8118．（2022·全國·高三專題練習(xí)）第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日在北京開幕．為保證冬奧會順利進(jìn)行，組委會需要提前把各項工作安排好．現(xiàn)要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服務(wù)，每天一人，甲兩天，乙三天，丙和丁各一天，則不同的安排方法有（）A．840種 B．140種C．420種 D．210種19．（2021·四川·綿陽中學(xué)高三階段練習(xí)）某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110二、填空題20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有A，B，C型高級電腦各一臺，甲.乙.丙.丁4個操作人員的技術(shù)等級不同，甲.乙會操作三種型號的電腦，丙不會操作C型電腦，而丁只會操作A型電腦.從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，則不同的選派方法有________種(用數(shù)字作答).21．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））某公司招牌5名員工，分給下屬的甲乙兩個部門，其中2名英語翻譯人員不能分給同一部門，另3名電腦編程人員不能都分給同一部門，則不同的分配方案種數(shù)是______．22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）小明有4枚完全相同的硬幣，每個硬幣都分正反兩面.他想把4個硬幣擺成一摞，且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對，不同的擺法有________種.23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________組．24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）杭州亞運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加了A、B、C三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目，若甲不能參加A、B項目，乙不能參加B、C項目，那么共有__________種不同的選拔志愿者的方案.（用數(shù)字作答）25．（2020·全國·高三專題練習(xí)）寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動車外出旅游，實名制購票，每人一座，恰在同一排五個座位（一排共五個座位），上車后五人在這五個座位上隨意坐，則恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有__________種.26．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））將甲、乙、丙、丁四位輔導(dǎo)老師分配到A，B，C，D四個班級，每個班級一位老師，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，則共有分配方案的種數(shù)為______．27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為了應(yīng)對美歐等國的經(jīng)濟(jì)制裁，俄羅斯天然氣公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，則不同的裁員方案的種數(shù)為________．28．（2022·河北張家口·高三期末）四個不同的小球隨機(jī)放入編號為的四個盒子中，則恰有兩個空盒的概率為___________.29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某賓館安排A，B，C，D，E五人入住3個房間，每個房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則共有________種不同的安排方法．(用數(shù)字作答)30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙?丙?丁四人分別去甘肅?內(nèi)蒙古?北京三個地方旅游，每個地方至少有一人去，且甲?乙兩人不能同去一個地方，則不同分法的種數(shù)有___________.31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有7人排隊接種新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙丁相鄰，則有______種不同的排隊方法.（用數(shù)字作答）32．（2020·遼寧·凌源市第二高級中學(xué)高三期中）現(xiàn)有7名志愿者，其中只會俄語的有3人，既會俄語又會英語的有4人.從中選出4人擔(dān)任“一帶一路”峰會開幕式翻譯工作，2人擔(dān)任英語翻譯，2人擔(dān)任俄語翻譯，共有_______種不同的選法．33．（2020·全國·模擬預(yù)測（理））世界第三屆無人駕駛智能大賽在天津召開，現(xiàn)在要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、安保、禮儀、服務(wù)四項不同工作，若小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有______種.34．（2018·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)高三階段練習(xí)）從6名志愿者中選出4個人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔工作，其中甲、乙兩個人不能從事翻譯工作，則選派志愿者的方案共有_____種（用數(shù)值作答）三、解答題35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數(shù)．（1）選其中5人排成一排；（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人；（3）全體站成一排，男、女各站在一起；（4）全體站成一排，男生不能站在一起．第28講排列組合【知識點總結(jié)】1.分類加法計數(shù)原理eq\o\ac(○,1)有n類方法完成一件事eq\o\ac(○,2)任兩類無公共方法（互斥）共有eq\o\ac(○,3)每類中每法可單獨做好這件事種不同方法.2.分步乘法計數(shù)原理eq\o\ac(○,1)必須走完n步，才能完成任務(wù)完成一件事eq\o\ac(○,2)前一步怎么走對后一步怎么共有走無影響（獨立）種不同方法.3.排列與排列數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個（不同）元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同元素中選取m個元素(n≥m)的排列個數(shù)共有.4.組合與組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個(不同)元素，并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)共有.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）互不相同的盆菊花，其中盆為白色，盆為黃色，盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【詳解】紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，即紅色菊花兩邊各一盆白色菊花，一盆黃色菊花，共有種擺放方法．故選：D.例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某地計劃在10月18日至11月18日舉辦“菊花花會”，如圖是某展區(qū)的一個菊花布局圖，現(xiàn)有5個不同品種的菊花可供選擇擺放，要求相鄰的兩個展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（）A．240種 B．300種C．360種 D．420種【答案】D【詳解】先放A，共有5種選擇，若B、D選則同一種花，有四種選擇，剩下的C、E均有三種選擇，共種，若B、D選則不同種花，有種選擇，剩下的C、E均有兩種選擇，共種，故共有180+240=420種.故選：D.例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有()A．66種 B．60種 C．36種 D．24種【答案】B【詳解】首先對五名學(xué)生全排列，則共有種情況，又因為只有甲在乙的左邊或右邊兩種情況，所以甲不排在乙的左邊的不同的站法共有種情況.故選：B例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘南古邑，民俗文化資源豐富.在一次民俗文化表演中，某部門安排了《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》、《女書表演》六個節(jié)目，其中《祁陽小調(diào)》與《道州調(diào)子戲》不相鄰，則不同的安排種數(shù)為（）A．480 B．240 C．384 D．1440【答案】A【詳解】第一步，將《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《女書表演》四個節(jié)目排列，有種排法；第二步，將《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》插入前面的4個節(jié)目的間隙或者兩端，有種插法；所以共有種不同的安排方法.故選：A例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）疫情期間，有6名同學(xué)去社區(qū)做防疫志愿者，根據(jù)需要，要安排這6名同學(xué)去甲?乙兩個核酸檢測點，每個檢測點至少去2名同學(xué)，則不同的安排方法共有()A．10種 B．20種 C．50種 D．70種【答案】C【詳解】根據(jù)題意，分2種情況，(1)①將6人分為人數(shù)為2和4的2組，有種分組方法，②將分好的2組全排列，安排到2個核酸點，有種情況，則有種不同的安排方法；(2)①將6人分為人數(shù)為3和3的2組，有種分組方法，②將分好的2組全排列，安排到2個核酸點，有種情況，則有種不同的安排方法；∴不同的安排方法有，故選：C．例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A、B、C三個班級中，要求每個班級至少分到一人，則甲被分到A班級的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將甲、乙、丙、丁名同學(xué)分到三個班級中，要求每個班級至少分到一人，則將甲、乙、丙、丁名同學(xué)分成三組，人數(shù)分別為1，1，2；則共有種方法，分配給三個班級的所有方法有種；甲被分到A班，有兩種情況：甲單獨一人分到A班，則剩余兩個班級分別為1人和2人，共有種；二，甲和另外一人分到A班，則剩余兩個班級各1人，共有種；綜上可知，甲被分到班的概率為.故選：B.例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從三個小區(qū)中選取6人做志愿者，每個小區(qū)至少選取1人，則不同的選取方案數(shù)為（）A．10 B．20 C．540 D．1080【答案】A【詳解】從三個小區(qū)中選取6人做志愿者，每個小區(qū)至少選取1人，即6個志愿者名額分到3個小區(qū)，每個小區(qū)至少1個，等價于6個相同的小球分成3組，每組至少1個，將6個小球排成一排，除去兩端共有5個空，從中任取2個插入擋板，共有（種）方法，即從三個小區(qū)中選取6人做志愿者，每個小區(qū)至少選取1人，不同的選取方案數(shù)為10.故選：A例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））將4本不同的書本全部分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每位同學(xué)都分到書的分法有（）A．12種 B．24種 C．32種 D．36種【答案】D【詳解】依題意，將4本不同的書任取2本為1份，余下兩本各1份，分成3份有種分法，再將分得的3份送給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人1份有種送法，由分步計數(shù)乘法原理得：，所以每位同學(xué)都分到書的分法有36種.故選：D例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））10名同學(xué)合影，站成了前排3人，后排7人，現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對順序不變，則不同的調(diào)整方法的種數(shù)為_______（用數(shù)字作答）．【答案】420【詳解】可從后排7人中任取2人，插入前排，調(diào)整方法數(shù)為．故答案為：420．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某班有9名運動員，其中5人會打籃球，6人會踢足球，現(xiàn)從中選出2人分別參加籃球賽和足球賽，則不同的選派方案有（）A．28種 B．30種C．27種 D．29種【答案】A【分析】依題意可得有人既會踢足球又會打籃球，有3人只會打籃球，有4人只會踢足球，則選派的方案有四類：①選派兩種球都會的兩人；②從兩種球都會的選1人踢足球，再從只會打籃球的選1人；③從兩種球都會的選1人打籃球，再從只會踢足球的選1人；④選派只會打籃球和踢足球的運動員分別打籃球和踢足球；按照分步乘法計數(shù)原理與分類加法計數(shù)原理計算可得；【詳解】解：有9名運動員，其中5人會打籃球，6人會踢足球，則有人既會踢足球又會打籃球，有3人只會打籃球，有4人只會踢足球，所以選派的方案有四類：選派兩種球都會的運動員有2種方案；選派兩種球都會的運動員中一名踢足球，只會打籃球的運動員打籃球，有（種）方案；選派兩種球都會的運動員中一名打籃球，只會踢足球的運動員踢足球，有（種）方案；選派只會打籃球和踢足球的運動員分別打籃球和踢足球，有（種）方案.綜上可知，共有（種）方案，故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機(jī)航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是（）A．26 B．60C．18 D．1080【答案】A【分析】按照分類加法計數(shù)原理計算可得；【詳解】解：由分類加法計數(shù)原理知有（種）不同走法.故選：A3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某班班干部有4名男生和5名女生組成，從9人中選1人參加某項活動，則不同的選法共有（）A．4種 B．5種 C．9種 D．20種【答案】C【分析】分兩類：從男生中選和從女生中選，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得總的選法數(shù)量﹒【詳解】分兩類：一類從男生中選，有4種方法；一類從女生中選，有5種方法；用加法原理共有4＋5＝9種方法．故選：C．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知某教學(xué)大樓共有四層，每層都有東、西兩個樓梯，則從一層到四層不同的走法種數(shù)為（）A．32 B．23C．43 D．24【答案】B【分析】由于每上一層樓有2種走法，所以由分步乘法原理可求得答案【詳解】根據(jù)題意，教學(xué)大樓共有四層，每層都有東、西兩個樓梯，則從一層到二層，有2種走法，同理從二層到三層、從三層到四層也各有2種走法，則從一層到四層共有2×2×2＝23種走法．故選：B.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0~9這十個數(shù)字中選擇（數(shù)字可以重復(fù)），有車主第一個號碼（從左到右）只想在數(shù)字3，5，6，8，9中選擇，其他號碼只想在1，3，6，9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有（）A．180種 B．360種C．720種 D．960種【答案】D【分析】按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；【詳解】解：按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法.因此車牌號碼可選的所有可能情況有（種）.故選：D6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某公交車上有6位乘客，沿途4個車站，乘客下車的可能方式有（）A．64種 B．46種 C．24種 D．360種【答案】B【分析】對于每一位乘客都有4種下車可能，即可求6位乘客的可能下車情況數(shù).【詳解】由題意，每一位乘客都有4種選擇，故乘客下車的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46種，故選：B．7．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在某校舉行一次閱讀分享活動中，需從4名男生和3名女生中任選4人參加，若這4人必須既有男生又有女生，則不同的選法的種數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】這4人必須既有男生又有女生分為3類，然后根據(jù)分步計數(shù)原理以及組合數(shù)分別求出結(jié)果，再利用分類計數(shù)原理即可求出結(jié)果.【詳解】這4人必須既有男生又有女生分為3類，（1）1男生3女生，共有種，（2）2男生2女生，共有種，（3）3男生1女生，共有種，根據(jù)分類計數(shù)原理，共有種，故選：D.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇．要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【答案】C【詳解】試題分析：按照先A再BD最后CE的順序，分兩種情況涂色，1：BD同色，有;2：BD不同色，有種考點：1.分步計數(shù)原理；2.分情況討論9．（2021·福建·三模）《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)?數(shù)學(xué)著作，公元3世紀(jì)初中國數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了“勾股圓方圖”(如圖)，用以證明其中記載的勾股定理.現(xiàn)提供4種不同顏色給如圖中5個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同涂色的方法種數(shù)為（）A．36 B．48 C．72 D．96【答案】C【分析】根據(jù)題意，分2步依次分析區(qū)域和區(qū)域的涂色方法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①對于區(qū)域，三個區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法，②對于區(qū)域，若區(qū)域與顏色相同，區(qū)域有2種選法，若區(qū)域與顏色不同，則區(qū)域有1種選法，區(qū)域也只有1種選法，則區(qū)域有種涂色的方法，則有種涂色的方法，故選：C.10．（2021·陜西·西安市經(jīng)開第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））用5種不同顏色給圖中5個車站的候車牌(，，，，)染色，要求相鄰的兩個車站間的候車牌不同色，有（）種染色方法A．120 B．180 C．360 D．420【答案】D【分析】根據(jù)用三種顏色、四種顏色、五種顏色分三類，結(jié)合分類計算原理、排列的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】用三種顏色涂色，則有種方式；用四種顏色涂色，則有種方式；用五種顏色涂色，則有種方式，所以一共有種方式.故選：D.11．（2021·河南·高三階段練習(xí)（理））如圖，準(zhǔn)備用種不同的顏色給、、、、五塊區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域隨機(jī)用一種顏色涂色，且相鄰區(qū)域（有公共邊的）所涂顏色不能相同，則不同涂色方法的種數(shù)共有（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，涂色分步進(jìn)行，第一步對于區(qū)域，有種顏色可選，第二步對于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有種情況，第三步對于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有種情況，第四步對于、區(qū)域，分種情況討論，然后利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果【詳解】根據(jù)題意，涂色分步進(jìn)行分析：對于區(qū)域，有種顏色可選，即有種情況，對于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有種情況，對于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有種情況，對于、區(qū)域，分種情況討論：若區(qū)域與區(qū)域涂色的顏色相同，則區(qū)域有種顏色可選，即有種情況，此時、區(qū)域有種情況；若區(qū)域與區(qū)域所涂的顏色不相同，則區(qū)域有種情況，區(qū)域有2種情況，此時、區(qū)域有種情況，則、區(qū)域共有種情況，則不同涂色的方案種數(shù)共有種．故選：C．12．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））甲、乙、丙、丁4名同學(xué)和1名老師站成一排合影留念，要求老師必須站在中間，則不同站法種數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】只需考慮將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)全排列即刻.【詳解】解：根據(jù)題意，將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)全排列，有種排法，老師必須站在中間，有1種安排方法，則有種站法；故選:B13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某國際會議結(jié)束后，中、美、俄等21國領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人也站前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對其他國家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【分析】先排中國，再排美俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人，其他國家任意排即可﹒【詳解】中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人站前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，有種站法；其他18國領(lǐng)導(dǎo)人可以任意站，因此有種站法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有種站法．故選：D．14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有()A．66種 B．60種 C．36種 D．24種【答案】B【分析】首先利用全排列并結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】首先對五名學(xué)生全排列，則共有種情況，又因為只有甲在乙的左邊或右邊兩種情況，所以甲不排在乙的左邊的不同的站法共有種情況.故選：B15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）七人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙?丙兩人必須相鄰，則排法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】特殊元素優(yōu)先安排，先讓甲從頭、尾中選取一個位置，再利用捆綁法即求.【詳解】特殊元素優(yōu)先安排，先讓甲從頭、尾中選取一個位置，有種選法，乙、丙相鄰，捆綁在一起看作一個元素，與其余四個元素全排列，最后乙、丙可以換位，故共有(種)．故選：D16．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）高三某班課外演講小組有4位男生、3位女生，從中選拔出3位男生、2位女生，然后5人在班內(nèi)逐個進(jìn)行演講，則2位女生不連續(xù)演講的方式有（）A．864種 B．432種 C．288種 D．144種【答案】A【分析】分步完成：第一步選3位男生排列，第二步選2位女生插入男生形成的空檔中，由乘法原理可得．【詳解】由題意可分步完成：第一步選3位男生排列，第二步選2位女生插入男生形成的空檔中，方法數(shù)為．故選：A．17．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是（）A．12 B．24 C．64 D．81【答案】B【分析】題目考察簡單的排列問題，即四本書選三本給三個人，符合的含義【詳解】4本不同的課外讀物選3本分給3位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法種數(shù)為．故選：B18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日在北京開幕．為保證冬奧會順利進(jìn)行，組委會需要提前把各項工作安排好．現(xiàn)要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服務(wù)，每天一人，甲兩天，乙三天，丙和丁各一天，則不同的安排方法有（）A．840種 B．140種C．420種 D．210種【答案】C【分析】使用特殊元素法，直接計算即可.【詳解】由題可知：甲兩天，乙三天，丙和丁各一天所以不同的安排方法有種故選：C19．（2021·四川·綿陽中學(xué)高三階段練習(xí)）某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110【答案】B【分析】根據(jù)題意，按“2人既會英語又會法語”的參與情況進(jìn)行討論，由加法原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，按“2人既會英語又會法語”的參與情況分成三類．①“2人既會英語又會法語”不參加，這時有種；②“2人既會英語又會法語”中有一人入選，這時又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，因此有種；③“2人既會英語又會法語”中兩個均入選，這時又分三種情況：兩個都譯英文、兩個都譯日文、兩人各譯一個語種，因此有種．綜上分析，共可開出種．故選：B．二、填空題20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有A，B，C型高級電腦各一臺，甲.乙.丙.丁4個操作人員的技術(shù)等級不同，甲.乙會操作三種型號的電腦，丙不會操作C型電腦，而丁只會操作A型電腦.從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，則不同的選派方法有________種(用數(shù)字作答).【答案】8【分析】由題意，分選甲.乙.丙，選甲.乙.丁，選甲.丙.丁，選乙.丙.丁四類，利用分類加法計數(shù)原理求解.【詳解】解：由于丙，丁兩位操作人員的技術(shù)問題，要完成“從4個操作人員中選3人去操作這三種型號的電腦”這件事，則甲，乙兩人至少要選派一人，可分四類：第1類，選甲.乙.丙3人，由于丙不會操作C型電腦，分2步安排這3人操作的電腦的型號，有2×2＝4種方法；第2類，選甲.乙.丁3人，由于丁只會操作A型電腦，這時安排3人分別去操作這三種型號的電腦，有2種方法；第3類，選甲.丙.丁3人，這時安排3人分別去操作這三種型號的電腦，只有1種方法；第4類，選乙.丙.丁3人，同樣也只有1種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有4＋2＋1＋1＝8種選派方法.故答案為：821．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））某公司招牌5名員工，分給下屬的甲乙兩個部門，其中2名英語翻譯人員不能分給同一部門，另3名電腦編程人員不能都分給同一部門，則不同的分配方案種數(shù)是______．【答案】12【分析】分甲部門2名電腦編程人員和1名電腦編程人員兩種情況討論，按照分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理計算可得；【詳解】解：由題意可得，①若甲部門要2名電腦編程人員，則有3種情況；2名英語翻譯人員的分配方法有2種．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，分配方案共有（種）．②若甲部門要1名電腦編程人員，則有3種情況；2名英語翻譯人員的分配方法有2種．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，分配方案有（種）．由分類加法計數(shù)原理，可得不同的分配方案共有（種）．故答案為：22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）小明有4枚完全相同的硬幣，每個硬幣都分正反兩面.他想把4個硬幣擺成一摞，且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對，不同的擺法有________種.【答案】5【分析】運用枚舉法即可求得答案.【詳解】記反面為1，正面為2，則正反依次相對有12121212，21212121兩種；有兩枚反面相對有21121212，21211212，21212112三種，共5種擺法.故答案為：5.23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________組．【答案】60【分析】首先根據(jù)題意分成兩類，分別計算各類的結(jié)果再相加即可.【詳解】分兩類：第一類：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6＝30(組)不同的結(jié)果．第二類：用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，則有5×6＝30(組)不同的結(jié)果．共可得到30＋30＝60(組)．故答案為：6024．（2022·全國·高三專題練習(xí)）杭州亞運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加了A、B、C三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目，若甲不能參加A、B項目，乙不能參加B、C項目，那么共有__________種不同的選拔志愿者的方案.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由題意，按照甲乙是否參加志愿活動分4種情況討論，求出每種情況的選拔方案數(shù)量，再由加法計數(shù)原理相加計算.【詳解】根據(jù)題意，分4種情況討論：①甲乙都不參加志愿活動，在剩下的4人中任選3人參加即可，有種選拔方法；②甲參加但乙不參加志愿活動，甲只能參加C項目，在剩下的4人中任選2人參加A、B項目，有種選拔方法；③乙參加但甲不參加志愿活動，乙只能參加A項目，在剩下的4人中任選2人參加B、C項目，有種選拔方法；④甲乙都參加志愿活動，在剩下的4人中任選1人參加B項目，有種選拔方法，則有.故答案為：25．（2020·全國·高三專題練習(xí)）寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動車外出旅游，實名制購票，每人一座，恰在同一排五個座位（一排共五個座位），上車后五人在這五個座位上隨意坐，則恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有__________種.【答案】45【分析】先選出坐對位置的人，再對剩下四人進(jìn)行錯排，最后利用分布計數(shù)乘法原理求結(jié)果.【詳解】先選出坐對位置的人，即從5人中選1人，有5種可能；剩下四人進(jìn)行錯排，設(shè)四人座位為，則四人都不坐在自己位置上有這9種可能；所以恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有種故答案為：45【點睛】本題考查錯排問題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.26．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））將甲、乙、丙、丁四位輔導(dǎo)老師分配到A，B，C，D四個班級，每個班級一位老師，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，則共有分配方案的種數(shù)為______．【答案】14【分析】根據(jù)甲分配的班級分類討論：一甲分到班，二是甲分到中的一個班級，注意考慮乙班級即可得．【詳解】將分配方案分為甲分配到B班和甲不分配到B班兩種情況：①甲分配到B班（種）分配方案；②甲不分配到B班有（種）分配方案．由分類加法計數(shù)原理可得，共有（種）分配方案．故答案為：14．27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為了應(yīng)對美歐等國的經(jīng)濟(jì)制裁，俄羅斯天然氣公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，則不同的裁員方案的種數(shù)為________．【答案】182【分析】根據(jù)甲、乙中裁一人、都不裁進(jìn)行分類討論，由此求得不同的裁員方案的種數(shù).【詳解】甲、乙中裁一人的方案有種，甲、乙都不裁的方案有種，故不同的裁員方案共有＝182(種)．故答案為：18228．（2022·河北張家口·高三期末）四個不同的小球隨機(jī)放入編號為的四個盒子中，則恰有兩個空盒的概率為___________.【答案】【分析】結(jié)合古典概型概率計算公式以及排列組合的計算，求得所求概率.【詳解】四個不同的小球隨機(jī)放入編號為的四個盒子中共有種，若恰有兩個空盒，則四個不同的小球可分成1個和3個或2個和2個，共有種，故恰有兩個空盒的概率為.故答案為：29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某賓館安排A，B，C，D，E五人入住3個房間，每個房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則共有________種不同的安排方法．(用數(shù)字作答)【答案】114【分析】先將人分成三組，再安排到個房間，結(jié)合對立事件來計算出不同的安排方法數(shù).【詳解】5個人住3個房間，每個房間至少住1人，則有(3，1，1)和(2，2，1)兩種，當(dāng)為(3，1，1)時，有＝60(種)，A，B住同一房間有＝18(種)，故有60－18＝42(種)，當(dāng)為(2，2，1)時，有·＝90(種)，A，B住同一房間有＝18(種)，故有90－18＝72(種)，根據(jù)分類計數(shù)原理可知，共有42＋72＝114(種)．故答案為：114.30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙?丙?丁四人分別去甘肅?內(nèi)蒙古?北京三個地方旅游，每個地方至少有一人去，且甲?乙兩人不能同去一個地方，則不同分法的種數(shù)有___________.【答案】30【分析】先計算4人中有兩名分在一個地方的種數(shù)，和其余二個看作三個元素進(jìn)行全排列，再排除甲乙被分到同一個地方的情況即可﹒【詳解】先計算