柯西不等式的證明及應(yīng)用論文

南京師范大學(xué)泰州學(xué)院畢業(yè)論文〔設(shè)計(jì)〕〔一三屆〕題目：柯西不等式的證明及應(yīng)用院〔系、部〕：數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)姓名：學(xué)號(hào)指導(dǎo)教師：南京師范大學(xué)泰州學(xué)院教務(wù)處制摘要：本文對(duì)柯西不等式及其推論、變形、推廣和積分形式進(jìn)行了詮釋?zhuān)敿?xì)介紹了柯西不等式的幾種典型證明方法，如配方法、判別式法、數(shù)學(xué)歸納法、運(yùn)用根本不等式和推廣不等式、利用二次型和向量?jī)?nèi)積等方法，并通過(guò)列舉一系列范例揭示柯西不等式在不等式證明、等式證明、求最值、解析幾何、求參數(shù)范圍、解方程、解函數(shù)、幾何等方面的應(yīng)用。說(shuō)明了柯西不等式是數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的不等式，它結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)和諧，在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有比擬廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都可以見(jiàn)到它的應(yīng)用。靈活巧妙地運(yùn)用它，往往可使一些比擬困難的問(wèn)題迎刃而解，甚至收到出奇制勝、事半功倍的效果，充分表達(dá)柯西不等式的重要性及較強(qiáng)的應(yīng)用性。關(guān)鍵詞：柯西不等式；證明；應(yīng)用Abstract:Inthispaper,Cauchyinequalityanditscorollary,deformation,diffusionandintegralformareexplainedindetail.What’smore,severaltypicalCauchyinequalityproofs,suchasthedistributionmethod,discriminantmethod,mathematicalinduction,theuseofthebasicandpromotionalinequality,usingthesecondtypeandvectorinnerproductareintroduced.Furthermore,thepaperrevealstheapplicationofCauchyinequalityininequalities,equalityproof,forthemostvalue,analyticgeometry,thescopeofdemandparameters,solvingequations,thesolutionfunctionandgeometrythroughaseriesofexamples.Cauchyinequalityisaveryimportantmathematicsinequality.Withinitsharmonioussymmetricalstructure,itiswidelyusedinelementarymathematics,highermathematicsandalmosteverybranchesofmathematics.Whenusingitflexibly,mostofthedifficultproblemscanbesolved,orevenuserscanreceiveasurprisemove,amultipliereffect.AllthesefullyreflecttheimportanceofCauchyinequalityandthestrongcapabilityofapplication.Keywords:Cauchyinequality;proof;application目錄1緒論31.1研究意義31.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀31.3本文解決的主要問(wèn)題42柯西不等式的詮釋52.1柯西不等式52.2柯西不等式的推論52.3柯西不等式的變形62.4柯西不等式的推廣72.5柯西不等式的積分形式83柯西不等式的證明93.1配方法93.2判別式法93.3數(shù)學(xué)歸納法103.4運(yùn)用根本不等式113.5運(yùn)用推廣不等式123.6利用二次型123.7利用向量?jī)?nèi)積134柯西不等式的應(yīng)用144.1在證明不等式方面的應(yīng)用144.2在證明等式方面的應(yīng)用164.3在求最值方面的應(yīng)用184.4在解析幾何方面的應(yīng)用194.5在求參數(shù)范圍問(wèn)題中的應(yīng)用224.6在解方程問(wèn)題中的應(yīng)用224.7在解函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用234.8在幾何上的應(yīng)用23結(jié)論26謝辭27參考文獻(xiàn)281緒論在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系，不等關(guān)系也是最根本的數(shù)學(xué)關(guān)系，不等式在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用。不等式問(wèn)題覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)，是當(dāng)今各層次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一，而不等式問(wèn)題的處理更以“多入口，方法巧”見(jiàn)長(zhǎng)。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，很多問(wèn)題又都能采用柯西不等式加以簡(jiǎn)單地解決。柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的不等式，它結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)和諧，具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，深受人們的喜愛(ài)。它在代數(shù)、幾何等方面的廣泛應(yīng)用是眾所周知的，它常常作為重要的根底去架設(shè)條件與結(jié)論間的橋梁，以證明和推廣其它不等式及競(jìng)賽題，它也是發(fā)現(xiàn)新命題的重要工具，是一個(gè)極有魅力的不等式。近年來(lái)，在高考試卷和國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中，越來(lái)越多地出現(xiàn)與之有關(guān)的題目，靈活巧妙地應(yīng)用柯西不等式，往往可使一些難題迎刃而解，甚至收到出奇制勝、事半功倍的效果。當(dāng)然，我們?cè)诮忸}中并不一定能看出它的直接應(yīng)用，需要適當(dāng)?shù)貥?gòu)造使用它的環(huán)境，以挖掘出隱含的聯(lián)系后到達(dá)最終目的。本文擬在介紹柯西不等式及其推論、變形、推廣和積分形式，給出了它的幾種典型證明方法，并通過(guò)一些例題講述了它在多方面的應(yīng)用，也涉及到一些重要的競(jìng)賽題。1.1研究意義柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，價(jià)值不可估量。將此定理作進(jìn)一步剖析，歸納它的各類(lèi)變形，將會(huì)有更多收獲。這個(gè)不等式結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)和諧，無(wú)論是在代數(shù)，還是幾何中都可以應(yīng)用，它在解決一些實(shí)際問(wèn)題或推導(dǎo)一些數(shù)學(xué)結(jié)論上非常有用，在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用都比擬廣泛。因此，對(duì)柯西不等式的探究是有益的。近年來(lái)，以柯西不等式為背景的試題已悄然在高考試卷和國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中出現(xiàn)。在解題過(guò)程中，靈活巧妙地應(yīng)用柯西不等式，從不同角度考慮問(wèn)題，有助于拓寬解題思路，提升解題技巧，并可以使一些比擬困難的問(wèn)題得以比擬簡(jiǎn)捷地解決，從而可以節(jié)省解題時(shí)間，提高效率，甚至可以收到出奇制勝、事半功倍的效果。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，它結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)優(yōu)美，具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，深受人們的喜愛(ài)。靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解。因此許多數(shù)學(xué)教師和資深數(shù)學(xué)教育家都在研究柯西不等式的證明及應(yīng)用問(wèn)題，如2004年洪順剛在皖西學(xué)院學(xué)報(bào)上發(fā)表了《柯西不等式的證明及其應(yīng)用》，探討了柯西不等式多種證明方法，反映了柯西不等式在函數(shù)求最值、證明不等式及其在幾何上的廣泛應(yīng)用，2009年鄒晶晶、周小玲，針對(duì)柯西不等式的重要性及較強(qiáng)的應(yīng)用性，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究報(bào)上發(fā)表了《柯西不等式的應(yīng)用》。近年來(lái)，在國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中，越來(lái)越多地出現(xiàn)與柯西不等式有關(guān)的題目，有學(xué)者也就其作出了研究，如2010年蔡玉書(shū)在數(shù)學(xué)通訊上發(fā)表了《用柯西不等式證明競(jìng)賽中的不等式》。但是這些研究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有能夠形成一個(gè)完整的體系，還需要做一個(gè)更深入的研究和討論。該課題在國(guó)內(nèi)仍備受關(guān)注。國(guó)外的研究情況由于資源的缺陷，還尚未清楚。1.3本文解決的主要問(wèn)題本文先對(duì)柯西不等式從定理、推論、變形、推廣和積分形式等方面進(jìn)行了詮釋?zhuān)缓蠼榻B了柯西不等式的幾種常用證明方法，如配方法、判別式法、數(shù)學(xué)歸納法、運(yùn)用根本不等式和推廣不等式、利用二次型和向量?jī)?nèi)積等方法，最后探討了柯西不等式在證明不等式、等式，求最值，解析幾何，求參數(shù)范圍，解方程，解函數(shù)，幾何問(wèn)題上的應(yīng)用。也講述了如何巧用柯西不等式及其推論、變形來(lái)解題，特別是一些高考題和國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，并介紹了一些解題技巧。2柯西不等式的詮釋柯西是法國(guó)數(shù)學(xué)家，1789年8月21日出生于巴黎，他對(duì)數(shù)論、代數(shù)、數(shù)學(xué)分析和微分方程等多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行了深入地研究，并獲得了許多重要的成果，著名的柯西不等式就是其中之一。2.1柯西不等式定理1對(duì)任意兩組實(shí)數(shù)，有，當(dāng)且僅當(dāng)與對(duì)應(yīng)成比例，即時(shí)等號(hào)成立。這個(gè)不等式稱(chēng)為柯西〔Cauchy〕不等式。說(shuō)明：的意義如下：在不全為零時(shí)，假設(shè)=0，那么對(duì)應(yīng)的=0；在時(shí)，可取任意實(shí)數(shù)[1]。2.2柯西不等式的推論柯西不等式是數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的不等式，它結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)和諧，具有極強(qiáng)的應(yīng)用性，深受人們的喜愛(ài)。所以，假設(shè)將此定理作進(jìn)一步剖析，歸納出它的推論，將會(huì)有更多收獲。推論1設(shè)是正實(shí)數(shù)，那么，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)[2]。證：比照柯西不等式，構(gòu)造如下兩組數(shù)：。由柯西不等式，得，即。所以原不等式成立[3]。推論2設(shè)是實(shí)數(shù)，那么，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)[2]。證：由柯西不等式有，取，有[4]。2.3柯西不等式的變形柯西不等式有多種變形，已經(jīng)成為許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的出發(fā)點(diǎn)。下面介紹的是競(jìng)賽解題中的常見(jiàn)形式。變形1對(duì)任意的兩組實(shí)數(shù)、，有。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)。注：這又可以表示為向量形式，即對(duì)于任意的向量有，其中，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)線(xiàn)性相關(guān)。這就是所謂的柯西—布涅柯夫斯基不等式。變形2對(duì)任意的兩組正實(shí)數(shù)、，有。當(dāng)且僅當(dāng)為常數(shù)時(shí)，上式等號(hào)成立。變形為，用來(lái)處理分式不等式常常帶來(lái)方便。變形3對(duì)任意的兩組正實(shí)數(shù)、，有。當(dāng)且僅當(dāng)為常數(shù)時(shí)，上式等號(hào)成立。變形為，用來(lái)處理分式不等式常常帶來(lái)方便。變形4對(duì)任意的兩組正實(shí)數(shù)、，有。當(dāng)且僅當(dāng)(為常數(shù)，)時(shí)，上式等號(hào)成立。變形為，用來(lái)處理分式不等式常常帶來(lái)方便。變形5對(duì)任意的兩組實(shí)數(shù)，有。當(dāng)且僅當(dāng)(為常數(shù)，)時(shí)，上式等號(hào)成立。2.4柯西不等式的推廣定理2對(duì)，有。證：記。由算數(shù)—幾何平均不等式有得[5]。2.5柯西不等式的積分形式柯西〔Cauchy〕不等式的積分形式稱(chēng)為施瓦茨〔Schwarz〕不等式。定理3假設(shè)、在上可積，那么。假設(shè)、在上連續(xù)，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)使得時(shí)成立〔不同時(shí)為零〕[6]。證：因?yàn)槎荚谏峡煞e，由定積分性質(zhì)，推得，及在上都可積，由定積分性質(zhì)：。因?yàn)樯鲜綄?duì)一切實(shí)數(shù)都成立，所以必須有。即施瓦茨〔Schwarz〕不等式成立[7]。3柯西不等式的證明柯西不等式的證明方法有很多種，下面介紹典型的幾種。3.1配方法。由此證明了且得等號(hào)成立的條件為：這等價(jià)于連比式[8]。3.2判別式法當(dāng)全為零時(shí)，命題顯然成立。如果不全為零，考察二次函數(shù)。因?yàn)椋瑢?duì)于任意。所以，的判別式：。從而，。當(dāng)且僅當(dāng)有二重根時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立。因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立[3]。3.3數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時(shí)，顯然成立。當(dāng)時(shí)，。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。那么，當(dāng)時(shí)，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)成立。因?yàn)樗运运跃C上所述，柯西不等式成立[9]。3.4運(yùn)用根本不等式運(yùn)用根本不等式。記。那么柯西不等式等價(jià)于，也等價(jià)于。，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；……，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。以上個(gè)式子相加得。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即等價(jià)命題成立。故柯西不等式成立。3.5運(yùn)用推廣不等式假設(shè)為正數(shù)，為非負(fù)數(shù)，，實(shí)數(shù)，那么〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立〕。在以上推廣不等式中取。有?；?jiǎn)得，。當(dāng)為零或幾個(gè)為零〔處于對(duì)稱(chēng)位置〕，不等式顯然成立。所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立[4]。評(píng)注：上述兩種證法都靈活運(yùn)用了的不等式。3.6利用二次型=,即關(guān)于、的二次型非負(fù)定，因此,此即[6]。3.7利用向量?jī)?nèi)積設(shè)是與的夾角，因?yàn)樗?。于是，。所以。?dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，即與共線(xiàn)，時(shí)等號(hào)成立[10]。以上給出了柯西不等式七種常用的證明方法，還有其它的一些證明方法這里就不逐一介紹了。這充分表達(dá)了柯西不等式的重要性和證法的多樣性。除此之外，柯西不等式的應(yīng)用也非常的廣泛。下面就柯西不等式的應(yīng)用進(jìn)行探討。4柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式作為重要的不等式，價(jià)值是不可估量的，它在解決一些實(shí)際問(wèn)題或推導(dǎo)一些數(shù)學(xué)結(jié)論上非常有用。靈活巧妙地運(yùn)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解，亦可使一些復(fù)雜繁瑣的題目簡(jiǎn)單化，從而可以拓寬解題思路，節(jié)省解題時(shí)間，提高效率，尤其是在國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽上。在應(yīng)用柯西不等式時(shí)，分析其結(jié)構(gòu)，運(yùn)用其解題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組和或多組數(shù)組。構(gòu)造數(shù)組時(shí)一要考慮柯西不等式的根本形式和推廣，二要考慮所要證明不等式的結(jié)構(gòu)，然后構(gòu)造數(shù)組。下面通過(guò)具體的例子介紹柯西不等式在以下問(wèn)題中的應(yīng)用。4.1在證明不等式方面的應(yīng)用柯西不等式在不等式的證明中有著十分重要的作用，它不僅應(yīng)用廣泛，而且用法靈活，許多不等式利用柯西不等式證明可以化難為易。有些證明不等式的題目外表上看與柯西不等式無(wú)關(guān)，然而通過(guò)對(duì)原不等式作適當(dāng)?shù)淖冃胃脑旌髤s可以應(yīng)用柯西不等式加以解決，當(dāng)然具體如何變形改造是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，這往往需要經(jīng)過(guò)觀察、直覺(jué)、猜想、推理等。下面通過(guò)一些具體例子加以說(shuō)明。例1證明三角不等式：。證：因?yàn)?，根?jù)柯西不等式，可得，。把上述兩個(gè)不等式相加，再除以，即可得成立。例2設(shè)為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，證明：。分析：對(duì)于這樣的不等式一般可以采用配對(duì)約分的方法來(lái)解決，但是采用配對(duì)約分有一定的要求：一般為分子項(xiàng)所涉及的字母次數(shù)為二次，而分母涉及字母次數(shù)均為一次。而對(duì)于上述不等式左邊不符合配對(duì)約分，雖然1可以看成“”，但分母是高次?？梢?，故可把不等式變?yōu)椋海@樣左邊分子、分母都到達(dá)了配對(duì)約分的要求。證：因?yàn)?，所以。于是左邊配?duì)約分，運(yùn)用柯西不等式，得=。。所以[11]。近年來(lái)，在國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，越來(lái)越多地出現(xiàn)以柯西不等式為背景的試題。在解題過(guò)程中，靈活巧妙地應(yīng)用柯西不等式，往往可使一些難題迎刃而解，甚至收到出奇制勝、事半功倍的效果。下面通過(guò)一些具體例子加以說(shuō)明。例3〔1998年伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克試題〕如果，且，證明：。證：注意到，由柯西不等式得。而，所以，不等式得證。例4〔第42屆IMO試題〕對(duì)所有正實(shí)數(shù)證明：。證：由柯西不等式得。再用柯西不等式得=。所以只要證。這由均值不等式得到。所以[12]。由上面的例子可知，柯西不等式在不等式的證明中具有廣泛的應(yīng)用，證明方法也非常靈活，應(yīng)用時(shí)要根據(jù)具體問(wèn)題，分析題中哪些項(xiàng)相當(dāng)于柯西不等式中的項(xiàng)。有些問(wèn)題為了應(yīng)用柯西不等式解決，甚至需要構(gòu)造項(xiàng)。因此，在利用柯西不等式解決問(wèn)題時(shí)，必須認(rèn)真分析，巧妙構(gòu)思，方能促進(jìn)問(wèn)題的盡快解決。4.2在證明等式方面的應(yīng)用柯西不等式有廣泛的應(yīng)用，特別在解決一些難于下手的等式問(wèn)題時(shí)，可另辟蹊徑，出奇制勝。不等式與等式是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)概念，柯西不等式既然含有等號(hào)，因此可用來(lái)解決等式問(wèn)題，這種用不等式解決等式問(wèn)題，有助于辯證思維的培養(yǎng)。例5假設(shè)且，求證：。證：。當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。又，所以。即[13]。例6為正數(shù)，為正整數(shù)，且。求證：。證：由條件及柯西不等式有。又由柯西不等式取等號(hào)的條件得。于是，。故說(shuō)明：此題的特殊性在于，對(duì)給定的正數(shù)，取到了最大值，導(dǎo)致、被唯一確定：。以上幾例都應(yīng)用了柯西不等式來(lái)證明，但不同的是有些可以直接應(yīng)用，有些那么需要使用一些方法如拆分常數(shù)、改變結(jié)構(gòu)、重新排列等，來(lái)構(gòu)造出符合柯西不等式的形式及條件，繼而到達(dá)使用柯西不等式解決有關(guān)問(wèn)題的目的。同時(shí)，與其他定理的應(yīng)用一樣，對(duì)柯西不等式也既要正用，又要逆用、變用、連用和巧用。4.3在求最值方面的應(yīng)用柯西不等式求最值多用于：多字母式子的最值和含約束條件式子的最值。其解題要點(diǎn)有兩步：放縮為常數(shù)，此時(shí)又回到用柯西不等式證明的關(guān)鍵，即找出適當(dāng)?shù)膬山M實(shí)數(shù)；確保等號(hào)可以取到。這主要是驗(yàn)證，假設(shè)求解中經(jīng)過(guò)屢次放縮，那么，還必須保證等號(hào)可以同時(shí)取到[14]。例7設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求的最大值。分析：因是一次式，配方法和判別式法無(wú)能為力，均值不等式似乎也用不上。這時(shí)可對(duì)照柯西不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式，考慮能否將題設(shè)解析式適當(dāng)改造，以充當(dāng)柯西不等式中的兩組數(shù)。解：根據(jù)柯西不等式，。即。因?yàn)?，所以。其中等?hào)當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)成立。由以上諸式解得。所以當(dāng)時(shí)，取最大值[3]。例8都是實(shí)數(shù)且，求的最大值。解：由柯西不等式知，故。所以。即，解得：。當(dāng)時(shí)，最大。所以的最大值為。例9且試求的最大值。解：根據(jù)柯西不等式的變形公式有。而，所以，即的最大值為[15]。說(shuō)明：此題是多元函數(shù)的最值問(wèn)題，假設(shè)用高等數(shù)學(xué)方法求解，那么顯得很麻煩。由此可見(jiàn)，柯西不等式是求解多元函數(shù)最值的重要工具，值得重視。4.4在解析幾何方面的應(yīng)用例10點(diǎn)，直線(xiàn)，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。解：設(shè)點(diǎn)為直線(xiàn)上的任意動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離實(shí)質(zhì)即為點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的最短距離。又，那么求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即為在約束條件下求關(guān)于的二元函數(shù)的最小值。根據(jù)柯西不等式得那么。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，也即時(shí)取等號(hào)。故點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為。說(shuō)明：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式是解析幾何中的一個(gè)重要公式，有很多證明方法，本文所給的方法可能是最簡(jiǎn)單的一個(gè)證法。縱觀上述證明，其運(yùn)用方法的幾何背景和解釋均將這二維平面形象化，由此可以考慮到三維空間點(diǎn)到面的的距離公式。這大大啟發(fā)人們的智慧，在維抽象空間中，如何求得子空間外一點(diǎn)到該子空間的距離，即點(diǎn)到空間中任何點(diǎn)距離最小者。例11橢圓與直線(xiàn)相切，求切點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)切點(diǎn)，那么由柯西不等式得。當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，即代入直線(xiàn)方程得。故切點(diǎn)的坐標(biāo)為。例12橢圓的離心率為，短軸上一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。圖4-1求橢圓的方程；圖4-1設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為〔如圖4-1〕,求面積的最大值。解：設(shè)橢圓的半焦距為。依題意解得。故所求橢圓方程為。設(shè)。那么直線(xiàn)的方程為。由原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為得即。那么的面積考慮到都在橢圓上，即那么。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立。故面積的最大值為。說(shuō)明：此題應(yīng)用柯西不等式的一個(gè)關(guān)鍵是，找出兩組數(shù)，不僅使，將面積放大為常數(shù)，而且能使等號(hào)可以取到[14]。4.5在求參數(shù)范圍問(wèn)題中的應(yīng)用利用柯西不等式可以求一些參數(shù)的范圍。解題時(shí)要分清主元與參數(shù)，利用柯西不等式構(gòu)造不等式，通過(guò)解不等式求出參數(shù)的范圍。例13對(duì)于滿(mǎn)足等式的任意實(shí)數(shù)，對(duì)恒有，求實(shí)數(shù)的范圍。解：因?yàn)樗砸沟脤?duì)恒有即也即。4.6在解方程問(wèn)題中的應(yīng)用這類(lèi)問(wèn)題的特殊性在于用不等式來(lái)處理等式。而之所以能這樣做，常常是式子的內(nèi)在結(jié)構(gòu)滿(mǎn)足柯西不等式取等號(hào)的條件。例14在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程分析：此題是三元二次方程組，依常規(guī)看，似乎少了一個(gè)方程，但運(yùn)用柯西不等式可化腐朽為神奇，使問(wèn)題解決柳暗花明，同時(shí)也讓我們領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的奇異美，陶冶我們的情操。解：由柯西不等式得。又。那么。即不等式中只有取等號(hào)時(shí)成立。從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得它與聯(lián)立得，。說(shuō)明：此題的特殊性在于不定方程有定解，其幾何意義是空間中的兩個(gè)球相切〔其球心距恰好等于兩半徑之和〕，因此，方程組就只有一個(gè)解。4.7在解函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用例15定義在上的函數(shù)，假設(shè)，且，求證：。證：因?yàn)橛智夜?。那么。即?.8在幾何上的應(yīng)用例16三角形三邊對(duì)應(yīng)高為內(nèi)切圓半徑為假設(shè)試判斷三角形的形狀。解：設(shè)三角形的面積為那么。所以。而所以所以所以。而由柯西不等式，得。圖4-2當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。故三角形為等邊三角形圖4-2例17為內(nèi)的一點(diǎn)，分別為到各邊所引垂線(xiàn)的垂足，求所有使為最小的點(diǎn)。解：如圖4-2，設(shè)的三邊面積為,及那么。由柯西不等式得即。也即。當(dāng)且僅當(dāng)〔即亦即〕時(shí)等號(hào)成立。因而使為最小點(diǎn)是的內(nèi)心[16]。從以上幾方面，可以看出柯西不等式確實(shí)有著廣泛的應(yīng)用，柯西不等式作為一個(gè)根本而又重要的不等式，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有一定的地位。能否熟練的應(yīng)用就要看我們是否有去用它的意識(shí)，而且能否掌握其中的技巧，如果我們具備了就會(huì)使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化，解題更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。結(jié)論柯西不等式結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)和諧，具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，深受人們的喜愛(ài)。它作為一個(gè)根本而又重要的不等式，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有一定的地位。它不僅在高等數(shù)學(xué)中式一個(gè)重要的不等式，而且它對(duì)于初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也有很大的指導(dǎo)意義。靈活巧妙地運(yùn)用柯西不等式能高瞻遠(yuǎn)矚，方便地解決初等和高等數(shù)學(xué)的有關(guān)問(wèn)題，從而加深知識(shí)的理解與穩(wěn)固。能否熟練地應(yīng)用就要看我們是否有去用它的意識(shí)，而且能否掌握其中的技巧，如果我們具備了就會(huì)使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化，解題更加方便，快捷，收到事半功倍的效果。如何應(yīng)用柯西不等式