福建省龍巖市高中畢業(yè)班三月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

龍巖市2024年高中畢業(yè)班三月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.考生將自己的姓名?準(zhǔn)考證號及所有的答案均填寫在答題卡上，2.答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項(xiàng)”.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出一元二次不等式和指數(shù)不等式，再根據(jù)交集含義即可.【詳解】，，則，故選：B2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.8 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)概念即可得到答案.【詳解】，則，故選：A.3.已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由題意知，．故選C．【考點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．【思路點(diǎn)睛】解決這類空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題，一般是借助長方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．4.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得，則得到其夾角.【詳解】，因?yàn)?，所以兩向量垂直，則，故選：C.5.的展開式中的系數(shù)為（）A.91 B.21 C.14 D.49【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)進(jìn)行合理賦值即可.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，則，，則展開式中的系數(shù)為，故選：D.6.已知，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和與差的余弦、正弦公式并進(jìn)行弦化切求得正確答案.【詳解】，，，分子分母同時(shí)除以得：①，由于，所以，所以，所以，所以，即，分子分母同時(shí)除以得：即，代入①得：，解得.故選：A.7.已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，則（）A.4 B. C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線為，利用拋物線的幾何性質(zhì)求出和拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直線的方程可知，直線經(jīng)過焦點(diǎn)，利用拋物線的定義表示出以為直徑的圓的半徑和圓心,由得到關(guān)于的方程，解方程求出，則得到弦長.【詳解】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線為，即，解得，因?yàn)?，所以拋物線的方程為：，其焦點(diǎn)為，又直線，所以直線恒過拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，聯(lián)立方程，兩式相減可得，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，解得可得，所以點(diǎn)是以為直徑的圓的圓心，由拋物線的定義知，圓的半徑，因?yàn)椋?，解得，則，則.故選：C.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（）A. B.為奇函數(shù)C. D.的周期為3【答案】C【解析】【分析】令，則得，再令即可得到奇偶性，再令則得到其周期性，最后根據(jù)其周期性和奇偶性則得到的值.【詳解】令，得得或，當(dāng)時(shí)，令得不合題意，故，所以A錯誤；令得，且的定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，所以B錯誤；令，得，所以，所以，則，則，所以的周期為6，所以D錯誤；令，得，因?yàn)樗?，所以，故C正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用賦值法得到其奇偶性和周期性，并依此性質(zhì)求出函數(shù)值即可.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】【分析】對A和C利用不等式性質(zhì)即可判斷，對B和D舉反例即可反駁.【詳解】對A，因?yàn)?，則兩邊同乘得，兩邊同乘得，則，故A正確；對B，當(dāng)時(shí)，，故B錯誤；對C，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以，故C正確；對D，舉例，則，而，此時(shí)兩者相等，故D錯誤.故選：AC10.已知點(diǎn)與圓是圓上的動點(diǎn)，則（）A.的最大值為B.過點(diǎn)直線被圓截得的最短弦長為C.D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對A利用圓外點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離最值模型即可判斷；對B，利用弦長公式即可判斷；對C，根據(jù)投影向量與向量數(shù)量積之間的關(guān)系即可即可；對D，根據(jù)向量共線定理并結(jié)合向量減法的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離即可.【詳解】對A，圓的圓心坐標(biāo)，半徑，將原點(diǎn)代入圓的方程有，則原點(diǎn)在圓外，則，則，故A正確；對B，將代入圓方程得，則點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)圓心到過點(diǎn)的直線距離為，則,而被截的弦長為，則弦長最短為，故B錯誤；對C，作出在上投影向量，則，因?yàn)?，即，則，故C正確；對D，對與共線，則的最小值為點(diǎn)到直線的距離，易知直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，已知分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，下列說法正確的是（）A.不存在使得B.若四點(diǎn)共面，則C.若，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，且平面，則點(diǎn)的軌跡長度為D.若，由平面分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體和，某球能夠被整體放入或，則該球的表面積最大值為【答案】ACD【解析】【分析】由中邊長的大小，判斷A選項(xiàng)；由正方體的截面判斷B選項(xiàng)，由面面平行得點(diǎn)的軌跡，計(jì)算長度判斷C選項(xiàng)；體積法計(jì)算內(nèi)切球半徑和表面積，判斷D選項(xiàng).【詳解】正方體中，由，故中，不可能是直角三角形的斜邊，即不存在使得，A選項(xiàng)正確；分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面在正方體上的截面為正六邊形，則四點(diǎn)共面，有，B選項(xiàng)錯誤；若，則為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，取上靠近的三等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接則在正方形中，可得，平面，平面，則有平面，同理可由，證明平面，平面，，所以平面平面，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，且平面，所以即為點(diǎn)的軌跡，，C選項(xiàng)正確；若，則為的中點(diǎn)，平面分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體和，平面在正方體上的截面為正六邊形，某球能夠被整體放入或，該球的表面積最大時(shí)，是以為頂點(diǎn)，底面為正六邊形的正六棱錐的內(nèi)切球，正六邊形的邊長為，面積為，正六棱錐，側(cè)棱長，每個(gè)側(cè)面面積為，棱錐的高為，設(shè)該球的半徑為，由體積法可得，解得，所以該球的表面積為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：正方體中的線面位置關(guān)系，角度距離和截面等問題，要充分利用好正方體的結(jié)構(gòu)特征，而內(nèi)切球的半徑，可利用體積法計(jì)算.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.定義在上的函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性和單調(diào)性得到不等式，解出即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，則關(guān)于直線對稱，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，則由得，即解得，則解集為，故答案為：.13.在中，為上一點(diǎn)，為的角平分線，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式列式計(jì)算即得.【詳解】由得，，解得.故答案為：14.斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)分別是的重心，點(diǎn)是的外心.記直線的斜率分別為，若，則橢圓的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可得，，結(jié)合已知求出即可求出離心率.【詳解】取的中點(diǎn)，依題意，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，設(shè)，由兩式相減得，直線斜率，直線斜率，則，直線的斜率分別為，同理，又，因此，解得，所以橢圓的離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及直線被圓錐曲線所截弦中點(diǎn)及直線斜率問題，可以利用“點(diǎn)差法”，設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程作差求解.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.2023年秋季，支原體肺炎在我國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人.某市醫(yī)院傳染病科從該市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽查了200人，并調(diào)查其患病情況，將調(diào)查結(jié)果整理如下：有慢性疾病沒有慢性疾病未感染支原體肺炎6080感染支原體肺炎4020（1）試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）有關(guān)（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）計(jì)算卡方值并與臨界值比較即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布特點(diǎn)寫出分布列，再計(jì)算其期望即可.【小問1詳解】假設(shè)歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病無關(guān).則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.【小問2詳解】由已知得，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以.16.如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正三角形，，，設(shè)平面平面.（1）作出（不要求寫作法）；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？請說明理由；（3）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）作圖見解析；（2）為線段的中點(diǎn)，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用平面的基本事實(shí)作出直線.（2）取線段的中點(diǎn)，利用線面平行的判定推理即得.（3）取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】延長交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)畫直線，則直線即為所作直線，如圖：平面，則平面，同理平面，又平面，平面，因此平面平面，即平面平面，所以直線即為所作直線.【小問2詳解】點(diǎn)為的中點(diǎn)，使平面.由，得，而，則，即為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，于是，而平面平面，因此平面，所以線段的中點(diǎn)，使平面.【小問3詳解】分別取中點(diǎn)，連接，則，而，則有，又平面，于是平面，即平面，而平面，則，由為中點(diǎn)，得，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)向量為平面的法向量，則，取，得，又為平面一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.設(shè)等差數(shù)列的公差為，令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，再代入計(jì)算得到，解出即可得到其通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，再利用錯位相減法即可得到答案.【小問1詳解】，，，即，，，又，，，，解得:或，又.【小問2詳解】設(shè)數(shù)列公比為，，，，又，，，.，①，②①②:，，.18.已知函數(shù)是大于0的常數(shù)，記曲線在點(diǎn)處的切線為在軸上的截距為.（1）若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出其單調(diào)區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程及其橫截距，根據(jù)已知構(gòu)造函數(shù)并解不等式得解.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，切線方程為：，令，得，由，得，又，，，又由，得，即，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，而，則由，得，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題往往涉及到分類討論，分類討論標(biāo)準(zhǔn)的確定是關(guān)鍵，一般依據(jù)導(dǎo)數(shù)是否有零點(diǎn)、零點(diǎn)存在時(shí)零點(diǎn)是否在給定的范圍內(nèi)及零點(diǎn)在給定范圍內(nèi)時(shí)兩個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系來分層討論.19.已知雙曲線是雙曲線的左頂點(diǎn)，直線.（1）設(shè)直線過定點(diǎn)，且交雙曲線于兩點(diǎn)，求證：直線與的斜率之積為定值；（2）設(shè)直線與雙曲線有唯一的公共點(diǎn).（i）已知直線與雙曲線的兩條漸近線相交于兩點(diǎn)，求證：；（ii）過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸?軸于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）設(shè)直線，將其與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再計(jì)算斜率乘積，代入韋達(dá)定理式，化簡即可；（2）（i）將直線與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)相切則得到，求出，分別求出坐標(biāo)即可證明；（ii）求出過點(diǎn)與直線的直線方程，再求出，消去則得到