湖南省益陽市筑金壩中學高三數學理月考試題含解析

湖南省益陽市筑金壩中學高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設平面向量，則

A．

B．

C.

D.參考答案：D略2.已知函數的定義域為，且滿足，當時，，則函數的大致圖象為（

）參考答案：A3.已知i為虛數單位，復數z滿足，則（

）A. B. C. D.參考答案：C由題得.故選C.4.已知實數x，y滿足不等式組，則目標函數z=2y﹣x的最大值為（）A．14 B．13 C．12 D．11參考答案：D【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出約束條件表示的可行域，判斷目標函數z=2y﹣x的位置，求出最大值．【解答】解：作出約束條件不等式組的可行域如圖，目標函數z=2y﹣x在A處取得最小值，由解得A（7，9），目標函數z=2y﹣x的最大值為z=2×9﹣7=11．故選：D．5.復數化簡的結果為

A.

B.

C.

D.參考答案：A，選A.6.集合，則=(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B7.點p為雙曲線：和圓：的一個交點，且,其中，為雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為（

）A

B

+1

C

1+

D

2參考答案：B8.如圖是某班50位學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是：，，，，，，則圖中的值等于A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.等差數列的前n項和為,且滿足,則下列數中恒為常數的是（）

A.

B.

C.

D.參考答案：D10.已知向量，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D由題意，所以答案A，B都不正確；又，且，所以答案C不正確，應選答案

D。

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程在區(qū)間上的所有解的和等于

。

參考答案：

12.對于定義在區(qū)間D上的函數f(X),若存在閉區(qū)間和常數c，使得對任意x1,都有，且對任意x2D,當時，恒成立，則稱函數f(x)為區(qū)間D上的“平頂型”函數.給出下列說法：①“平頂型”函數在定義域內有最大值；②函數為R上的“平頂型”函數；③函數f(x)=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數；

④當

時，函數

是區(qū)間

上的“平頂型”函數.其中正確的是________.(填上所有正確結論的序號）參考答案：①④；13.已知函數，若a,b,c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，

則a＋b＋c的取值范圍為

．參考答案：(25,34) 14.△ABC中，D是BC上的點，DA=DB=2，DC=1，則AB?AC的最大值是．參考答案：

【考點】三角形中的幾何計算．【分析】由題意，D是BC上的點，DA=DB=2，DC=1，設AB=m，AC=n，根據余弦定理建立關系，利用基本不等式的性質求解．【解答】解：△ABC中，D是BC上的點，DA=DB=2，DC=1，設AB=m，AC=n，cos∠BDA=，cos∠CDA=，∠BDA與∠CDA互補，∴=﹣，可得：2n2+m2=18．那么：AB?AC=m?n=≤×=（當且僅當m=取等號）故答案為．15.若，則ab的值是

．參考答案：-716.直線過橢圓的左焦點和一個頂點，則橢圓的方程為

．參考答案： 17.在平面上“等邊三角形內任意一點到三邊的距離之和為定值”，類比猜想在空間中有

.參考答案：正四面體內任意一點到四個面的距離之和為定值略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數，（）.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）求證：當時，對于任意，總有成立.參考答案：（Ⅰ）函數的定義域為，.當時，當變化時，，的變化情況如下表：00↘

↗

↘.……2分

當時，當變化時，，的變化情況如下表：00↗

↘

↗

.……4分綜上所述，當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，；當時，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為.……5分

（2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，；在上單調遞減，且.

所以時，.因為，所以，令，得.…………7分①當時，由，得；由，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.所以.因，對任意，總有.…10分②當時，在上恒成立，所以函數在上單調遞增，.所以對于任意，仍有.綜上所述，對于任意，總有.

…14分19.某市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者．現從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組[20，25），第2組[25，30），第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參廣場的宣傳活動，應從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的條件下，該縣決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率．參考答案：略20.已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且acosC+asinC﹣b﹣c=0．（1）求A；（2）若AD為BC邊上的中線，cosB=，AD=，求△ABC的面積．參考答案：【考點】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化簡已知的式子，由內角和定理、誘導公式、兩角和差的正弦公式化簡后，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出A；（2）由題意和平方關系求出sinB，由內角和定理、誘導公式、兩角和的正弦公式求出sinC，由正弦定理求出a和c關系，根據題意和余弦定理列出方程，代入數據求出a、c，由三角形的面積公式求出答案．【解答】解：（1）由題意知，acosC+asinC﹣b﹣c=0，由正弦定理得：sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0，由sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）得，sinAcosC+sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC=0，則sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC=0，又sinC≠0，則sinA﹣cosA=1，化簡得，，即，又0＜A＜π，所以A=；（2）在△ABC中，cosB=得，sinB==…則sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==…由正弦定理得，==…設a=7x、c=5x，在△ABD中，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2﹣2?AB?BD?cosB，，解得x=1，則a=7，c=5…所以△ABC的面積S==…21.（本小題滿分16分）某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示坐標系下經過原點O的一條拋物線（圖中標出的數據為已知條件）.在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面米，入水處距池邊的距離為4米，運動員在距水面高度為5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調整好入水姿勢，否則就會出現失誤．（1）求這條拋物線的解析式；（2）在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（Ⅰ）中的拋物線，且運動員在空中調整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為米，問此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由．參考答案：解：（1）在給定的直角坐標系下，設最高點為A，入水點為B，拋物線的解析式為．

…………1分由題意，知O（0，0），B（2，－10），且頂點A的縱坐標為．

…………4分或

…………7分∵拋物線對稱軸在y軸右側，∴,又∵拋物線開口向下，∴a＜0,從而b＞0,故有

∴拋物線的解析式為．

…………10分（2）當運動員在空中距池邊的水平距離為米時，即時，，

…………14分∴此時運動員距水面的高為10－＝＜5，因此，此次跳水會失誤。

……16分22.如圖，正三棱