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文檔簡介

2023-2024學(xué)年寧夏銀川市高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知為拋物線的焦點,點在拋物線上,且,過點的動直線與拋物線交于兩點,為坐標原點,拋物線的準線與軸的交點為.給出下列四個命題:①在拋物線上滿足條件的點僅有一個;②若是拋物線準線上一動點,則的最小值為;③無論過點的直線在什么位置,總有;④若點在拋物線準線上的射影為,則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.42.要得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像,只需將的圖像()A.向右平移個單位長度,再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍B.向右平移個單位長度,再把各點的縱坐標縮短到原來的倍C.向左平移個單位長度,再把各點的縱坐標縮短到原來的倍D.向左平移個單位長度,再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍3.已知α,β表示兩個不同的平面,l為α內(nèi)的一條直線,則“α∥β是“l(fā)∥β”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是由一個棱柱挖去一個棱錐后的幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為A.72 B.64 C.48 D.325.已知函數(shù),,若存在實數(shù),使成立,則正數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.不等式組表示的平面區(qū)域為,則()A., B.,C., D.,7.已知集合,則()A. B. C. D.8.下列結(jié)論中正確的個數(shù)是()①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列通項公式為,則該數(shù)列是等差數(shù)列;②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等,則;③在中,“”是“”的必要不充分條件;④若,則的最大值為2.A.1 B.2 C.3 D.09.的展開式中有理項有()A.項 B.項 C.項 D.項10.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過何種變換可以得到的圖象()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位11.已知函數(shù),則在上不單調(diào)的一個充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.12.在棱長均相等的正三棱柱中,為的中點,在上,且,則下述結(jié)論:①;②;③平面平面:④異面直線與所成角為其中正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著,其中《方田》一章給出了弧田面積的計算公式.如圖所示,弧田是由圓弧AB和其所對弦AB圍成的圖形,若弧田的弧AB長為4π,弧所在的圓的半徑為6,則弧田的弦AB長是__________,弧田的面積是__________.14.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若,,則__________.15.在區(qū)間內(nèi)任意取一個數(shù),則恰好為非負數(shù)的概率是________.16.拋物線的焦點坐標為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,均為正項數(shù)列,其前項和分別為,,且,,,當(dāng),時,,.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.18.(12分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,滿足條件.(1)求角;(2)若邊上的高為,求的長.19.(12分)設(shè)橢圓的左右焦點分別為,離心率,右準線為,是上的兩個動點,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)證明:當(dāng)取最小值時,與共線.20.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.(1)說明曲線是哪一種曲線,并將曲線的方程化為極坐標方程;(2)已知點是曲線上的任意一點,又直線上有兩點和,且,又點的極角為,點的極角為銳角.求:①點的極角;②面積的取值范圍.21.(12分)在中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,并且.(1)已知_______________,計算的面積;請①,②,③這三個條件中任選兩個,將問題(1)補充完整,并作答.注意,只需選擇其中的一種情況作答即可,如果選擇多種情況作答,以第一種情況的解答計分.(2)求的最大值.22.(10分)已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點,且與圓相切.(1)求的值;(2)動點在拋物線的準線上,動點在上,若在點處的切線交軸于點,設(shè).求證點在定直線上,并求該定直線的方程.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

①:由拋物線的定義可知,從而可求的坐標;②:做關(guān)于準線的對稱點為,通過分析可知當(dāng)三點共線時取最小值,由兩點間的距離公式,可求此時最小值;③:設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達定理,可知焦點坐標的關(guān)系,進而可求,從而可判斷出的關(guān)系;④:計算直線的斜率之差,可得兩直線斜率相等,進而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解:對于①,設(shè),由拋物線的方程得,則,故,所以或,所以滿足條件的點有二個,故①不正確;對于②,不妨設(shè),則關(guān)于準線的對稱點為,故,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立,故②正確;對于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設(shè)方程為:,設(shè)與拋物線的交點坐標為,聯(lián)立直線與拋物線的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補,所以,故③正確.對于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點在同一條直線上,故④正確.故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了拋物線的性質(zhì),考查了直線方程,考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題,結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.2、D【解析】

先求得,再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識,選出正確選項.【詳解】依題意,所以由向左平移個單位長度,再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍得到的圖像.故選:D【點睛】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算,考查誘導(dǎo)公式,考查三角函數(shù)圖像變換,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】試題分析:利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷.解:根據(jù)題意,由于α,β表示兩個不同的平面,l為α內(nèi)的一條直線,由于“α∥β,則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知,則必然α中任何一條直線平行于另一個平面,條件可以推出結(jié)論,反之不成立,∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件.故選A.考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷;平面與平面平行的判定.4、B【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為4的正方形,高為5的正四棱柱,挖去一個底面邊長為4,高為3的正四棱錐,利用體積公式,即可求解。【詳解】由題意,幾何體的三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為4的正方形,高為5的正四棱柱,挖去一個底面邊長為4,高為3的正四棱錐,所以幾何體的體積為,故選B。【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算,在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時,要根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線,不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,利用相應(yīng)公式求解。5、A【解析】

根據(jù)實數(shù)滿足的等量關(guān)系,代入后將方程變形,構(gòu)造函數(shù),并由導(dǎo)函數(shù)求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,結(jié)合存在性問題的求法,即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù),,由題意得,即,令,∴,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,而,當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時,等號成立,∴,∴.故選:A.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,由基本不等式求函數(shù)的最值,存在性成立問題的解法,屬于中檔題.6、D【解析】

根據(jù)題意,分析不等式組的幾何意義,可得其表示的平面區(qū)域,設(shè),分析的幾何意義,可得的最小值,據(jù)此分析選項即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示,其中,,

設(shè),則,的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍,

由圖可得:當(dāng)過點時,直線在軸上的截距最大,即,當(dāng)過點原點時,直線在軸上的截距最小,即,故AB錯誤;

設(shè),則的幾何意義為點與點連線的斜率,由圖可得最大可到無窮大,最小可到無窮小,故C錯誤,D正確;故選:D.【點睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用,關(guān)鍵是對目標函數(shù)幾何意義的認識,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

解不等式得出集合A,根據(jù)交集的定義寫出A∩B.【詳解】集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},,故選C.【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題,是基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義,線面關(guān)系,余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可;【詳解】解:①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列的通項公式為,可得為一次項系數(shù)),則該數(shù)列是等差數(shù)列,故①正確;②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等,則與可以相交或平行,故②錯誤;③在中,,而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,故“”可得“”,由“”可得“”,故“”是“”的充要條件,故③錯誤;④若,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故④正確;綜上可得正確的有①④共2個;故選:B【點睛】本題考查命題的真假判斷,主要是正弦定理的運用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),考查運算能力和推理能力,屬于中檔題.9、B【解析】

由二項展開式定理求出通項,求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù),即可求解.【詳解】,,當(dāng),,,時,為有理項,共項.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式項的特征,熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個解析式為,再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為,根據(jù)圖像:,,故,即,,,取,得到,函數(shù)向右平移個單位得到.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.11、D【解析】

先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件,即在上有解,即可得出結(jié)論.【詳解】,若在上不單調(diào),令,則函數(shù)對稱軸方程為在區(qū)間上有零點(可以用二分法求得).當(dāng)時,顯然不成立;當(dāng)時,只需或,解得或.故選:D.【點睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點的求法,屬于中檔題.12、B【解析】

設(shè)出棱長,通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行,推出①的正誤;判斷是的中點推出②正的誤;利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤;建立空間直角坐標系求出異面直線與所成角判斷④的正誤.【詳解】解:不妨設(shè)棱長為:2,對于①連結(jié),則,即與不垂直,又,①不正確;對于②,連結(jié),,在中,,而,是的中點,所以,②正確;對于③由②可知,在中,,連結(jié),易知,而在中,,,即,又,面,平面平面,③正確;以為坐標原點,平面上過點垂直于的直線為軸,所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立如圖所示的直角坐標系;,,,,,;,;異面直線與所成角為,,故.④不正確.故選:.【點睛】本題考查命題的真假的判斷,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面垂直,直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查空間想象能力以及邏輯推理能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、612π﹣9【解析】

過作,交于,先求得圓心角的弧度數(shù),然后解解三角形求得的長.利用扇形面積減去三角形的面積,求得弧田的面積.【詳解】∵如圖,弧田的弧AB長為4π,弧所在的圓的半徑為6,過作,交于,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知,垂直平分.∴α=∠AOB==,可得∠AOD=,OA=6,∴AB=2AD=2OAsin=2×=6,∴弧田的面積S=S扇形OAB﹣S△OAB=4π×6﹣=12π﹣9.故答案為:6,12π﹣9.【點睛】本小題主要考查弓形弦長和弓形面積的計算,考查中國古代數(shù)學(xué)文化,屬于中檔題.14、【解析】

由題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)已知條件,列出方程組,求得的值,利用求和公式,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為,因為,即,解得,,所以.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式,及前n項和公式的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,正確求解首項和公比是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先分析非負數(shù)對應(yīng)的區(qū)間長度,然后根據(jù)幾何概型中的長度模型,即可求解出“恰好為非負數(shù)”的概率.【詳解】當(dāng)是非負數(shù)時,,區(qū)間長度是,又因為對應(yīng)的區(qū)間長度是,所以“恰好為非負數(shù)”的概率是.故答案為:.【點睛】本題考查幾何概型中的長度模型,難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標事件對應(yīng)的區(qū)間長度.16、【解析】

變換得到,計算焦點得到答案.【詳解】拋物線的標準方程為,,所以焦點坐標為.故答案為:【點睛】本題考查了拋物線的焦點坐標,屬于簡單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】

(1),所,兩式相減,即可得到數(shù)列遞推關(guān)系求解通項公式,由,整理得,得到,即可求解通項公式;(2)由(1)可知,,即可求得數(shù)列的前項和.【詳解】(1)因為,所,兩式相減,整理得,當(dāng)時,,解得,所以數(shù)列是首項和公比均為的等比數(shù)列,即,因為,整理得,又因為,所以,所以,即,因為,所以數(shù)列是以首項和公差均為1的等差數(shù)列,所以;(2)由(1)可知,,,即.【點睛】此題考查求數(shù)列的通項公式,以及數(shù)列求和,關(guān)鍵在于對題中所給關(guān)系合理變形,發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系,裂項求和作為一類常用的求和方法,需要在平常的學(xué)習(xí)中多做積累常見的裂項方式.18、(1).(2)【解析】

(1)利用正弦定理的邊角互化可得,再根據(jù),利用兩角和的正弦公式即可求解.(2)已知,由知,在中,解出即可.【詳解】(1)由正弦定理知由己知,而∴,(2)已知,則由知先求∴∴∴【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性質(zhì)、兩角和的正弦公式,需熟記定理與公式,屬于基礎(chǔ)題.19、(Ⅰ)(Ⅱ)證明見解析.【解析】由與,得,,的方程為.設(shè),則,由得.①(Ⅰ)由,得,②,③由①、②、③三式,消去,并求得,故.(Ⅱ),當(dāng)且僅當(dāng)或時,取最小值,此時,,故與共線.20、(1)曲線為圓心在原點,半徑為2的圓.的極坐標方程為(2)①②【解析】

(1)求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程,消參后求得的普通方程,判斷出對應(yīng)的曲線,并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標方程.(2)①將的極角代入直線的極坐標方程,由此求得點的極徑,判斷出為等腰三角形,求得直線的普通方程,由此求得,進而求得,從而求得點的極角.②解法一:利用曲線的參數(shù)方程,求得曲線上的點到直線的距離的表達式,結(jié)合三角函數(shù)的知識求得的最小值和最大值,由此求得面積的取值范圍.解法二:根據(jù)曲線表示的曲線,利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點到直線的距離的最大值和最小值,進而求得面積的取值范圍.【詳解】(1)因為曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),因為則曲線的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點,半徑為2的圓.所以的極坐標方程為,即.(2)①點的極角為,代入直線的極坐標方程得點極徑為,且,所以為等腰三角形,又直線的普通方程為,又點的極角為銳角,所以,所以,所以點的極角為.②解法1:直線的普通方程為.曲線上的點到直線的距離.當(dāng),即()時,取到最小值為.當(dāng),即()時,取到最大值為.所以面積的最大值為;所以面積的最小值為;故面積的取值范圍.解法2:直線的普通方程為.因為圓的半徑為2,且圓心到直線的距離

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