矩陣在通信中的應(yīng)用論文

1、矩陣?yán)碚?論文)矩陣?yán)碚撛谕ㄐ蓬I(lǐng)域的應(yīng)用學(xué)生： 學(xué)號(hào)：矩陣?yán)碚撛谕ㄐ蓬I(lǐng)域的應(yīng)用【摘 要】矩陣是數(shù)學(xué)的基本概念之一，也是線性代數(shù)的核心內(nèi)容。矩陣廣泛運(yùn)用于各個(gè)領(lǐng)域，如數(shù)學(xué)建模、密碼學(xué)、化學(xué)、通信和計(jì)算機(jī)科學(xué)等，解決了大量的實(shí)際問(wèn)題。本文主要介紹矩陣在通過(guò)信領(lǐng)域的應(yīng)用，如：在保密通信中，應(yīng)用逆矩陣對(duì)通信的信息進(jìn)行加密；在信息論中，利用矩陣?yán)碚撚?jì)算信源熵、信道容量等；在信息論的信道編碼中，利用監(jiān)督矩陣，生成矩陣，對(duì)信道中的信息進(jìn)行編碼，利用錯(cuò)誤圖樣對(duì)信道傳輸?shù)男畔⑦M(jìn)行糾正；此外，矩陣分析在MIMO技術(shù)這個(gè)模塊中也有著很重要的應(yīng)用，基本可以說(shuō)矩陣分析是MIMO技術(shù)研究的基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞： 矩陣;保密通信;

2、信道容量;信道編碼;MIMO 1、引言隨著科技快速穩(wěn)健的發(fā)展，通信技術(shù)也得到了飛速的發(fā)展，人們對(duì)通信的要求也不斷提高，不僅要求通信的實(shí)時(shí)性、有效性，還要求通信的保密性。而現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，由于噪聲的影響，常常使通信出現(xiàn)異常，這就要求人們對(duì)接收到的信號(hào)能夠更好的實(shí)現(xiàn)檢錯(cuò)糾錯(cuò)。此外，在頻譜資源的匱乏己經(jīng)成為實(shí)現(xiàn)高速可靠傳輸通信系統(tǒng)的瓶頸。一方面，是可用的頻譜有限;另一方面，是所使用的頻譜利用率低下。因此，提高頻譜利用率就成為解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段。多進(jìn)多出(MIMO)1技術(shù)即利用多副發(fā)射天線和多副接收天線進(jìn)行無(wú)線傳輸?shù)募夹g(shù)，該技術(shù)能夠很好的解決頻譜利用率的問(wèn)題。然而對(duì)以上通信中存在的問(wèn)題的分析和研究都需

3、要用到矩陣?yán)碚摰闹R(shí)，本文把矩陣?yán)碚摵推湓谕ㄐ蓬I(lǐng)域的應(yīng)用緊密結(jié)合，通過(guò)建立一些簡(jiǎn)單的分析模型，利用矩陣知識(shí)將通信領(lǐng)域很多復(fù)雜的計(jì)算和推導(dǎo)變得簡(jiǎn)單明了。2、矩陣在通信領(lǐng)域中的應(yīng)用2.1 矩陣在保密通信中的應(yīng)用2保密通信是當(dāng)今信息時(shí)代的一個(gè)非常重要的課題, 而逆矩陣正好在這一領(lǐng)域有其應(yīng)用。我們可以用逆矩陣34所傳遞的明文消息進(jìn)行加密(即密文消息)，然后再發(fā)給接收方,而接收方則可以采用相對(duì)應(yīng)的某種逆運(yùn)算將密文消息編譯成明文。保密通信的加密原理：信息發(fā)送端首先根據(jù)密鑰矩陣A的階數(shù)（|A|=n）,將明文轉(zhuǎn)換為n維數(shù)向量X,然后將X與A相乘得到密文Y,既Y=AX,再將Y發(fā)送,信息端接受到Y(jié)后,則利用密鑰矩

4、陣A-1（其中A與A-1互為可逆矩陣）與Y相乘,則會(huì)得到明文X,既:A-1Y =A- 1AX=X。2.2 矩陣在信息論中的應(yīng)用在信息論中，將信源概率P(X)、信道轉(zhuǎn)移概率P(Y|X)、信宿概率P(Y)寫(xiě)成矩陣的形式，從而將信源到信宿之間復(fù)雜的對(duì)應(yīng)關(guān)系變得更簡(jiǎn)潔，寫(xiě)成矩陣關(guān)系即為：P(Y)=P(X)PY|X。此外，當(dāng)將信息論中的關(guān)于信源熵H(X)、信道噪聲熵H(Y|X)、平均互信息I(X;Y)、信道容量C等的繁瑣的計(jì)算寫(xiě)成矩陣形式時(shí)，便可以用計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行處理，這樣便大大提高了計(jì)算速率。2.3 矩陣在信道編碼中的應(yīng)用在信道編碼和保密通信中，利用矩陣實(shí)現(xiàn)對(duì)信道中傳輸信息和信源信息的編碼，既降低了無(wú)線

5、通信的誤碼率，也實(shí)現(xiàn)了通信的保密性。在對(duì)信道傳輸?shù)男畔⑦M(jìn)行信道編碼時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)檢錯(cuò)和糾錯(cuò)的能力，往往需要在原來(lái)經(jīng)過(guò)編碼的信源信息中添加部分冗余，而這些添加的冗余便作為監(jiān)督位對(duì)每一組編碼進(jìn)行監(jiān)督。含有監(jiān)督碼元的編碼矩陣就構(gòu)成監(jiān)督矩陣H。在信道編碼中，比較典型的便是漢明碼（能夠糾正一位錯(cuò)誤，最小碼距為3的編碼效率高的線性分組碼），下面簡(jiǎn)單介紹信道編碼中的漢明碼的編碼步驟。構(gòu)造滿秩的(n-k)×n校驗(yàn)矩陣H。Si=riHT i=1,2,3,.,2k其中，ri是第i個(gè)接收碼字，1×n向量；si是第i個(gè)接收碼字的誤碼標(biāo)志，1×(n-k)向量；2n-kn+1;當(dāng)ri=ci,取

6、Si=riHT= ciHT=0; ci是第i個(gè)發(fā)送碼字，1×n向量。設(shè)滿秩的k×n生成矩陣G。G=Ik×kGk×(n-k)ci=xiG i=1,2,3,.,2k其中，xi是第i個(gè)發(fā)送消息，1×k向量；由生成矩陣G與校驗(yàn)矩陣H之間GHT=0求出G即可編碼?？芍?，利用矩陣之后，編碼變得簡(jiǎn)潔明了。2.4 矩陣在MIMO中的應(yīng)用無(wú)線信道的一個(gè)重要特性就是存在衰落。MIMO5是多輸入多輸出系統(tǒng)，它能夠?qū)鹘y(tǒng)通信系統(tǒng)中存在的多徑因素變成對(duì)用戶通信性能有利的因素,提高系統(tǒng)抗衰落性能。從而極大增加系統(tǒng)容量，提高頻譜利用率，改善無(wú)線鏈路的質(zhì)量，成倍地提高業(yè)務(wù)傳輸

7、速率。通信信道容量是信道進(jìn)行無(wú)失真?zhèn)鬏斔俾实纳辖纾虼搜芯縈IMO的信道容量6具有巨大的指導(dǎo)意義。矩陣?yán)碚撛谕ㄐ诺碾y點(diǎn)在于信道的處理，因此，矩陣?yán)碚撆c無(wú)線信道的研究是一個(gè)很好的切入點(diǎn)。在MIMO技術(shù)的研究中，對(duì)于MIMO信道的容量的研究具有著重大的意義。目前，MIMO技術(shù)的信道容量和空時(shí)編碼，空時(shí)復(fù)用等技術(shù)都離不開(kāi)矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用。為了描述MIMO信道7，令發(fā)射天線數(shù)目為Nt，接受天線數(shù)目為Nr。當(dāng)發(fā)送信號(hào)所占用的帶寬足夠小的時(shí)候，信道可以被認(rèn)為是平坦的，這樣在某特定時(shí)刻，發(fā)射的符號(hào)構(gòu)成一個(gè)Nt×1的矢量Xt，接受的符號(hào)構(gòu)成一個(gè)Nr×1的矢量Yt，和一個(gè)信道矩陣H，三者的關(guān)系

8、為： (1)其中， (2)表示高斯白噪聲，方差為n2；H為Nr×Nt信道矩陣，即 (3)其中，hij表示從發(fā)射天線i到接受天線j的信道系數(shù)。這樣，式（1）可寫(xiě)為 (4)式中，上標(biāo)表示在時(shí)刻。根據(jù)奇異值分解（SVD）理論，信道矩陣可以進(jìn)行分解，得到 (5) (6)為矩陣H的全部非零奇異值。U和V分別是和的酉矩陣，滿足，其中和分別是和的單位陣。這樣，式（1）變?yōu)?(7)對(duì)式（7）進(jìn)行變換，有 (8)取，則有 (9)于是我們得到一個(gè)與MIMO信道等效的表達(dá)形式，在這個(gè)等效的表達(dá)形式中，D為信道矩陣，原來(lái)的MIMO信道就等效地轉(zhuǎn)化為個(gè)平行的信道，每個(gè)信道的系數(shù)則為。下面應(yīng)用矩陣?yán)碚搶?duì)MIMO

9、信道容量進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算。我們假設(shè)信道矩陣在接收端已經(jīng)完全已知，但是它是隨機(jī)的，因此我們可以得到瞬時(shí)信道容量為：（10）其中，Ix,y是在已知信道的情況下輸入與輸出之間的互信息量，有：（11）其中，H(y)是y的信息熵（微分熵），定義：，其中是的概率（概率密度）。H（y）是的差分嫡，是給定條件下的差分嫡，由于發(fā)送信號(hào)與噪聲之間是獨(dú)立的，因此有1，所以上式可以重新寫(xiě)為：（12）由于噪聲概率密度函數(shù)確定，所以為定值，當(dāng)信道為加性高斯信道時(shí)，信源服從高斯分布時(shí)此時(shí)接收信號(hào)也服從高斯分布，根據(jù)信息論理論，此時(shí)取最大，即為信道容量。此時(shí)和的信息熵分別為：（13）（14）所以我們可以得到信道瞬時(shí)交互信息，也

10、即信息容量為：（15）工程中一般定義信道容量為單位時(shí)間內(nèi)平均互信息的最大值，故定義MIMO的信道容量：（16）其中T為一個(gè)符號(hào)周期，根據(jù)采樣定理，其中B為信號(hào)帶寬，取，代入（16）式，得：（17）這便是MIMO的信道容量一般公式。在得到MIMO信道容量一般公式后便是利用奇異值分解計(jì)算MIMO信道容量：對(duì)于MIMO無(wú)線信道，信道是極其復(fù)雜的，因此原始的信道矩陣也就顯得復(fù)雜，不便于分析，而且一般矩陣不經(jīng)過(guò)處理計(jì)算行列式很困難。這就自然想到在信源端對(duì)發(fā)射信號(hào)做某種預(yù)處理，使得經(jīng)過(guò)預(yù)處理的信號(hào)經(jīng)過(guò)的信道變得簡(jiǎn)單易分析，而且具體實(shí)現(xiàn)也變得簡(jiǎn)單。對(duì)于信道矩陣來(lái)說(shuō)，對(duì)角矩陣是最簡(jiǎn)單的，所以自然就想到把信道矩

11、陣分解，利用矩陣?yán)碚撝械钠娈愔捣纸饪梢赃_(dá)到這種目的。由矩陣?yán)碚摰南嚓P(guān)知識(shí)易知，每個(gè)接收天線收到的信號(hào)矢量可以表示如下：（18）利用矩陣奇異值分解和相關(guān)的信息論知識(shí)易求得MIMO鏈路信道容量的計(jì)算公式為：（19）由上式可以看出,MIMO鏈路的信道容量很大程度上取決于H的秩r。矩陣的秩越大，容量也越大。所以，MIMO正是利用無(wú)線信道的多徑效應(yīng)使相距超過(guò)半個(gè)波長(zhǎng)的天線盡量不相關(guān)，從而使信道矩陣秩越大，進(jìn)而在不增加帶寬和發(fā)射功率的情況下增加系統(tǒng)容量。3、分析總結(jié)通過(guò)這次小論文，我發(fā)現(xiàn)矩陣分析這門(mén)數(shù)學(xué)課在本專業(yè)的很多領(lǐng)域中有很重要的應(yīng)用。通過(guò)應(yīng)用矩陣?yán)碚摰南嚓P(guān)知識(shí)，將保密通信、信息論、信道編碼、MIMO

12、鏈路中的許多繁瑣而復(fù)雜的計(jì)算簡(jiǎn)化，并使其易于用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。在應(yīng)用矩陣?yán)碚摰南嚓P(guān)知識(shí)解決通信中的問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)該搞清楚問(wèn)題的背景，通過(guò)分析提出面臨的問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題建立形象的幾種模型；然后對(duì)比選擇合適的模型進(jìn)行研究；然后在提出解決方案，算法的計(jì)算，仿真，總結(jié)。參考文獻(xiàn)1 KaiYu, B. Ottersten. Models for MIMO propagation channels-A reviewWileyjournal on Wireless Communication sand Mobile Computing，2002,V01.2,No.7:6536662 熊小兵,可逆矩陣在保密通信中的應(yīng)用J.大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23(3):1081113 張新發(fā).初等矩陣的關(guān)系及可逆矩陣的分解J大學(xué)數(shù)學(xué),2003,19(2):82854 歐海文,戴宗鐸.一個(gè)無(wú)重復(fù)生成所有可逆矩陣的算法J數(shù)學(xué)雜志，1999，19(3):2702765 J.P.Kermoal, L.Schumacher, K.I.Pedersen, eta1.Astochastic MIMO radiochannel model with exper