一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習題精選(含答案)

1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習題精選（含答案）1.A .選擇題（共（2014?宜賓）2.X +3x - 2=022小題）若關(guān)于X的一元二次方程的兩個根為B . X2- 3x+2=0x1=1, x2=2 ,則這個方程是（）C . X2- 2x+3=0D . x2+3x+2=02.A .（2014?昆明）-4已知X1,X2是一元二次方程 X2- 4x+仁0的兩個實數(shù)根，則 X1?X2等于（B . - 1C . 13.（2014 ?玉林）X1,X2是關(guān)于X的一元二次方程 X2- mx+m - 2=0的兩個實數(shù)根,是否存在實數(shù) m使xI=O成立？則正確的結(jié)論是（A . m=0時成立m=2時成立C. m=

2、0或2時成立D .不存在4. A .（2014?南昌）10,是方程B .X2 - 2x - 3=0的兩個實數(shù)根，則 2+ 的值為（9C . 75.A .（2014 ?貴港）-10若關(guān)于X的一元二次方程 x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根分別為X仁-2,B . 10C. -6x2=4 ,則b+c的值是（D . - 16. A .（2014?煙臺）-1或5關(guān)于 X的方程X2- ax+2a=0的兩根的平方和是 5 ,貝U a的值是（B . 1C . 57.A .2（2014?攀枝花）若方程 X +X -仁0的兩實根為+ = - 1B . = 1a>,那么下列說法不正確的是（C . 2+ =3）D

3、. _a8.A .（2014 ?威海）方程-2或3X2 -（ m+6） X+m2=0有兩個相等的實數(shù)根，且滿足1+2=12,貝U m的值是（B . 3C . - 2D . - 3 或 29. （2014?長沙模擬）若關(guān)于 X的一元二次方程X2+ （ k+3） x+2=0的一個根是-2 ,則另一個根是（）A . 2B . 1C. - 1D . 02 210 . （2014?黃岡樣卷）設(shè) a, b是方程X +x - 2015=0的兩個實數(shù)根，則 a +2a+b的值為（）A. 2012B. 2013C. 2014D . 201511. （2014?江西模擬）一元二次方程X2- 2x- 3=0與3x2

4、 - 11x+6=0的所有根的乘積等于（）A .-6B .6C .3D .-312 .（2014?峨眉山市二模）已知X1、X2是方程X2 -（k - 2）x+k2+3k+5=0的兩個實數(shù)根，則的取大值疋（）A .19B .18C .15D . 1313 . （2014?陵縣模擬）已知：x1、x2是一元二次方程 x2+2ax+b=0的兩根，且x1+x2=3, x1x2=1 ,貝U a、b的值分別 是（）A . a= 3, b=1B. a=3, b=1C. a，b=- 16D a= = , b=114. (2013?湖北)已知A . - 1,是一兀二次方程B . 92 - 5x - 2=0的兩個實

5、數(shù)根，則C. 232+ + 的值為(D . 2715. （2013?桂林）已知關(guān)于X的一元二次方程 2+2x+a -仁0有兩根為1和x2,且x12 -X12=0,則a的值是（）A . a=1B . a=1 或 a= - 2C. a=2D . a=1 或 a=216. （2013?天河區(qū)二模）已知一元二次方程2- 4x+3=0兩根為X1、2,則1+2=（）A . 4B . 3C . - 4D . - 317 . （2013?青神縣一模）已知 m和n是方程22- 5- 3=0的兩根，則一 一一的值等于（） nA . JSB . 5C . _3D . _主53318 . （2012?萊蕪）已知 m、

6、n是方程2+2 . ：x+仁0的兩根，則代數(shù)式 m2÷n3m 的值為（）A . 9B .均C . 3D . 519 . （2012?天門）如果關(guān)于 X的一元二次方程 2+4x+a=0的兩個不相等實數(shù)根 x1, x2滿足X1X2 - 2x1 - 2x2- 5=0,那么a的值為（）A .3B .-3C .13D .-1320 .（2011?錦江區(qū)模擬）若方程2- 3x -2=0的兩實根為X1、X2,則(X1+2) (X2+2)的值為（)A .-4B .6C .8D .1221 .（2011?鄂州模擬）已知2P -P- 1=0,1 -q-q2=0,且Pq,則竺乜的值為（Q)A .1B .2

7、C .1D .2 - 12222 .（2010?濱湖區(qū)一模）若 ABC的一邊a為4,另兩邊b、C分別滿足b2- 5b+6=0,C2-5c+6=0,則厶ABC的周長為（）A .9B .10C .9或10D .8或9或10二.填空題（共4小題）23 . （2014?萊蕪）若關(guān)于X的方程X2+ （k- 2） x+k2=0的兩根互為倒數(shù)，則 k=.2 224 . （2014?呼和浩特）已知 m , n是方程X +2x - 5=0的兩個實數(shù)根，則 m - mn+3m+n= 25 . （2014?廣州）若關(guān)于 X的方程X +2mx+m +3m - 2=0有兩個實數(shù)根 x1、2,則1 （2+1） +2的最小

8、值為 26 . （2014?桂林）已知關(guān)于 X的一元二次方程 X + （2k+1 ） x+k - 2=0的兩根為X1和2,且（x1 - 2） （x1 - x2）=0, 則k的值是.三.解答題（共4小題）2 227. (2014?瀘州)已知i, x2是關(guān)于X的一元二次方程 X - 2 ( m+1) x+m +5=0的兩實數(shù)根.(1) 若(Xi - 1) (X2 - 1) =28 ,求 m 的值；(2) 已知等腰 ABC的一邊長為7,若X1, 2恰好是 ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長.3x128. (2014?日照二模)已知 X1, X2是關(guān)于X的一元二次方程 X2+ (3a - 1)

9、x+2a2-仁0的兩個實數(shù)根，其滿足( -X2) (X1 - 3x2) = - 80.求實數(shù)a的所有可能值.2 一 229. (2013?孝感)已知關(guān)于 X的一元二次方程 X -( 2k+1) x+k +2k=0有兩個實數(shù)根1, 2.(1) 求實數(shù)k的取值范圍；(2) 是否存在實數(shù)k使得X1?X2- X12-X22成立？若存在，請求出 k的值；若不存在，請說明理由.30. (2001 ?蘇州)已知關(guān)于X的一元二次方程 / - 2kx+-k2 - 2=02(1) 求證：不論k取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2) 設(shè)X1、x2是方程的兩個根，且 x12- 2kx1+2x1x2=5,求k的值.

10、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習題精選（含答案）參考答案與試題解析一 選擇題（共22小題）1. （2014?宜賓）若關(guān)于X的一元二次方程的兩個根為i=1, 2=2,則這個方程是（）2229A . x2+3x - 2=0B . Xr - 3x+2=0C. x2 - 2x+3=0D . x2+3x+2=0考點：根與系數(shù)的關(guān)系.分析：解決此題可用驗算法，因為兩實數(shù)根的和是1+2=3 ,兩實數(shù)根的積是1 >2=2 .解題時檢驗兩根之和是否a為3及兩根之積一是否為2即可.a解答：解：兩個根為 X1=1 , X2=2則兩根的和是 3,積是2 .A、 兩根之和等于-3,兩根之積等于-2,所以此選項不正確；

11、B、兩根之和等于 3 ,兩根之積等于 2 ,所以此選項正確；C、兩根之和等于 2 ,兩根之積等于 3 ,所以此選項不正確；D、兩根之和等于-3,兩根之積等于 2 ,所以此選項不正確， 故選：B .點評：驗算時要注意方程中各項系數(shù)的正負.2. （2014?昆明）已知Xi, X2是一元二次方程 2- 4x+仁0的兩個實數(shù)根，則 Xi?x2等于（）2- m+m - 2=0的兩個實數(shù)根，是否存在實數(shù)m 丄 =0成xl x2C . m=0或2時成立D .不存在A . - 4B . - 1C . 1D . 4考點：根與系數(shù)的關(guān)系.專題：計算題.分析：直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解.解答：解：根據(jù)韋達定理得 X

12、1?x2=1 . 故選：C .點評：本題考查了 兀二次方程a2+bx+c=0（ a0）的根與系數(shù)的關(guān)系：右方程兩個為X1,x2,則x1+x2=,x1?x2-.333. （2014?玉林）1, 2是關(guān)于X的一元二次方程立？則正確的結(jié)論是（）考點： 分析：A . m=0時成立B . m=2時成立根與系數(shù)的關(guān)系.先由一兀二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，x1+2=m, 12=m - 2 .假設(shè)存在實數(shù) m使.+ =0成立，則巧七m=0,再用判別式進行檢驗即可.解答:解：T X1, X2是關(guān)于X的一元二次方程 2- m+m - 2=0的兩個實數(shù)根,. 1+2=m , 12=m - 2 .假設(shè)存在實數(shù) m使亠

13、+亠=O成立，則 _2=0,引七itl T £/ =0,D - 2. m=0.當 m=0 時，方程 X2 - mx+m - 2=0 即為 x2- 2=0,此時 =8 > 0, m=0符合題意.故選：A.點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x, x2是方程2+px+q=0的兩根時，那么i+2=- P,i2=q .4. （ 2014?南昌）若, 是方程X2 - 2x - 3=0的兩個實數(shù)根，則 2+ p2的值為（）A . 10B . 9C. 7D . 5考點：根與系數(shù)的關(guān)系.分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得+=2 , =- 3,則將所求的代數(shù)式變形為（+ 2- 2 將其

14、整體代入即可求值.解答：解：I , 是方程x2- 2x - 3=0的兩個實數(shù)根， + =2 , = - 3, 2+ 2= （ + ） 2 - 2 =22- 2× （- 3） =10.故選：A.點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.25. （2014?貴港）若關(guān)于X的一元二次方程 X +bx+c=0的兩個實數(shù)根分別為 X仁-2, 2=4,則b+c的值是（）A . - 10B . 10C. - 6D . - 1考點：根與系數(shù)的關(guān)系.分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到-2+4= - b,- 2×4=c,然后可分別計算出 b、

15、C的值，進一步求得答案即可.解答：解：關(guān)于X的 兀二次方程 X +bx+c=0的兩個頭數(shù)根分別為 X仁-2, 2=4, 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得-2+4= - b, - 2 >4=c,解得 b= - 2, C= - 8 b+c= - 10.故選：A.點評：此題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：X1+X2= l', X1X2.S326. （2014?煙臺）關(guān)于X的方程2- ax+2a=0的兩根的平方和是 5,貝U a的值是（）A .-1 或 5B . 1C . 5D . - 1考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式.專題：計算題.分析：設(shè)方程的兩根為 X

16、1 , X2 ,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到X1+2=a, X1?X2=2a ,由于X12+X22=5 ,變形得到（X1+X2）2 - 2X1?X2=5 ,則a2- 4a- 5=0 ,然后解方程，滿足的a的值為所求.解答：解：設(shè)方程的兩根為 X1, 2,則1+2=a, x1?x2=2a,22L X1 +X2 =5 ,2 (X1+X2)- 2X1?x2=5, a2- 4a- 5=0, a1=5 , a2= - 1,/ =a 8a0, a= 1. 故選：D.點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為xi,x2,則xi+x2=,aX1?X2=二.也考查了一元二

17、次方程的根的判別式.327. （ 2014?攀枝花）若方程 X +x -仁0的兩實根為 那么下列說法不正確的是（）A . + = - 1B . = - 1C . Oa + =3D . 1 卜 I =考點： 專題： 分析：根與系數(shù)的關(guān)系.莎乍=-1計算題.先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到Oa- = - 1, a = - 1,再利用完全平方公式變形a2+ 2得到（ ） 2 - 2 a 禾U用通分變形_+_得到，然后利用整體代入的方法分別計算兩個代數(shù)式的值，這樣可對各選項進行判CL I CL 斷.解答:a = - 1 .=(-1) 2-2×(- 1) =3 ;OLI LI-I -1=卩II Cl

18、&-1= ( O- B) 2- 2a解：根據(jù)題意得 a = - 1, 所以a2+點評:故選：D.本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （ a0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為1,2,則1+2=- ,x1?x2 .& （2014?威海）方程x2-（ m+6） x+m2=0有兩個相等的實數(shù)根，且滿足x1+x2=x1x2,貝U m的值是（）A . - 2 或 3B . 3C . - 2D . - 3 或 2考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式.專題：判別式法.分析： 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有：x1+x2=m+6, x1x2=m2,再根據(jù)X1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，進一

19、步由方程x2-（ m+6） +m2=0有兩個相等的實數(shù)根得出b2- 4ac=0,求得m的值，由相同的解解決問題.2解答： 解： T X1+x2=m+6 , X1x2=m , X1+x2=x1x2,2 m+6=m ,解得m=3或m= - 2,方程X2-（ m+6） x+m2=0有兩個相等的實數(shù)根，2 2 2 2 =b - 4ac= （ m+6）- 4m =- 3m +12m+36=0解得m=6或m= - 2 m= - 2.故選：C.點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0, a, b, C為常數(shù)）根的判別式 =b2- 4ac.當厶> 0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當 =0,

20、方程有兩個相等的實數(shù)根；當< 0,方程沒有實數(shù)根.同時考查了一元二次、2b亡方程ax +bx+c=0 （a）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1, x2,則x1+x2=-, x1?x2.aa （2014?長沙模擬）若關(guān)于 X的一元二次方程X2+ （ k+3） x+2=0的一個根是-2 ,則另一個根是（）A . 2B . 1C. - 1D . 0考點：根與系數(shù)的關(guān)系.分析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系X 1?X2*來求方程的另一個根.a解答：解：設(shè)X1、x2是關(guān)于X的一兀二次方程 X + ( k+3) x+2=0的兩個根， 由韋達疋理，得 X1 ?x2=2 ,即-2x2=2,解得，X2

21、=- 1 .即方程的另一個根是-1 .故選C .點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系.在利用根與系數(shù)的關(guān)系X1+X2=-上、x1?x2*時，要注意等式中的a、b、IaC所表示的含義.10. (2014?黃岡樣卷)設(shè)2a, b是方程X +x - 2015=0的兩個實數(shù)根，則A . 2012B. 2013C. 20142a +2a+b的值為（）D. 2015考點：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解. 專題：計算題.2 2 2分析： 先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a +a- 2015=0 ,即a +a=2015,則a +2a+b變形為a+b+2015 ,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到 a+b= - 1,然后

22、利用整體代入的方法計算.解答： 解：T a是方程x2+ - 2015=0的根，2 2 a +a - 2015=0 ,即 a +a=2015,2 a +2a+b=a+b+2015 , a, b是方程x2+x - 2015=0的兩個實數(shù)根 a+b= - 1, a2+2a+b=a+b+2015= - 1+2015=2014. 故選C.評：2小、' 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若X1, 2是一元二次方程 ax +bx+c=0 (a0)的兩根時，x1+x2= -一 , x12 .也a a 考查了一元二次方程的解.11. (2014 ?江西模擬)一元二次方程A . - 6B . 6x2- 2x- 3

23、=0與3x2 - 11x+6=0的所有根的乘積等于（）C. 3D . - 3考點：根與系數(shù)的關(guān)系.分析：由一兀二次方程 X2- 2x - 3=0和3x2- 11x+6=0先用判別式判斷方程是否有解，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系XilyrI二二，即可直接得出答案.1 E a解答：2解：由一元二次方程 x2- 2x - 3=0 , =4+16=20 > 0, X1X2= - 3 ,由一元二次方程 3x2- 11x+6=0 , =121 - 4×30-49>0, X1x2=2 3 ×2= 6故選A .點評：本題考查了一兀二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.解此類題目要把代數(shù)式變形為兩根之

24、積的形式.12. (2014?峨眉山市二模)已知 x1、x2是方程x2-( k - 2) x+k2+3k+5=0的兩個實數(shù)根，則 衍 +七？的最大值是( )A . 19B . 18C . 15D . 13考點：根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的最值.分析： 根據(jù)XI、x2是方程x2-( k - 2) x+ (k2+3k+5) =O的兩個實根，由為即可求出k的取值范圍，然后根據(jù) 根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.解答：解：由方程有實根，得 %,即(k- 2) 2- 4 ( k2+3k+5 ) 2所以 3k +I6k+16 O, 所以(3k+4) ( k+4) 0解得-4k-3又由 x+x2=k- 2, xi?x2

25、=k2+3k+5 ,得2 2 2 2 2 2 2xi +x2 = (xi+x2)- 2xix2= (k- 2)- 2 ( k +3k+5) = - k - IOk - 6=19 -( k+5),當k= - 4時，Xi2+22取最大值18.故選：B.點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是根據(jù)先求出k的取值范圍再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進行求解.i3. (20i4?陵縣模擬)已知：xi、x2是一元二次方程 x2+2ax+b=0的兩根，且xi+x2=3, xix2=i，貝U a、b的值分別 是()A. a= 3, b=iB. a=3, b=iC.D3(a=-±, b=- i a=-&

26、#177;, b=ii4. （20i3?湖北）已知 A . - i6 2考點：根與系數(shù)的關(guān)系.專題：計算題.分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到得xi+x2= - 2a, xix2=b,即-2a=3, b=i ,然后解一次方程即可.解答：解：根據(jù)題意得 xi+x2= - 2a, xix2=b ,所以-2a=3, b=i ,解得a=-三b=i.故選D.點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：右xi, x2是一兀二次方程 ax +bx+c=0 (a)的兩根時，xi +x2= , xix2.aa2+ + 的值為（D . 27, 是一元二次方程 x2- 5x - 2=0的兩個實數(shù)根，則B . 9C. 23考點：分析：

27、解答:點評：根與系數(shù)的關(guān)系.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系+=-上， =二，求出+和 的值，再把要求的式子進行整理，即可得出答案.a a解：i , 是方程x2- 5x - 2=0的兩個實數(shù)根，. + =5 , = - 2,又 T /+ + = ( + ) 2 - 2 2 2 + + =5 +2=27 ;故選D.此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法，若、bC方程兩個為 xi, X2,則 xi+x2= , Xix2Laa2 2i5. （20i3?桂林）已知關(guān)于X的一元二次方程 X +2x+a - i=0有兩根為xi和2,且xi -xi2=0,則a的值是（）A

28、 . a=iB . a=i 或 a= - 2C. a=2D . a=i 或 a=2考點：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解.專題：壓軸題.分析： 根據(jù)x2- X1X2=0可以求得X仁O或者X1=X2,所以 把Xi=O代入原方程可以求得 a=1; 利用根的判別式 等于0來求a的值.解答：解：解Xl2 - X12=0 ,得X仁0 ,或 Xi=X2, 把Xi=O代入已知方程，得a- 1=0,解得：a=1; 當 1=2 時， =4 - 4 (a- 1) =0, 即卩 8 - 4a=0,解得：a=2.綜上所述，a=1或a=2.故選：D.點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解的定義解答該題的技巧性

29、在于巧妙地利用了根的判別式 等于0來求a的另一值.216. (2013?天河區(qū)二模)已知一元二次方程X - 4x+3=0兩根為X1、2,則1+2=()A . 4B . 3C . - 4D . - 3考點：根與系數(shù)的關(guān)系.分析：根據(jù)一元二次方程 X2- 4+3=0兩根為X1、X2,直接利用X1+X2=-丄求出即可.3解答： 解：T 一元二次方程X2 - 4+3=0兩根為X1、2,. X1+X2= - =4 .a故選A .點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確記憶根與系數(shù)關(guān)系公式是解決問題的關(guān)鍵.17 . (2013?青神縣一模)已知 m和n是方程22- 5- 3=0的兩根，則二二的

30、值等于()m nA . JB . l.-53考點：根與系數(shù)的關(guān)系.專題：計算題.分析:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=解答:解：根據(jù)題意得 m+n= 一,mn=-5一,mn=-237，再變形Ir得到+nmn,然后利用整體思想計算.1丄血n_52IrIrlnInz所以故選D .本題考查了一元二次方程a2+bx+c=0( a0)的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為1 ,2,則1+2=, x1?x2 .aa18. (2012?萊蕪)已知m、n是方程2+2 Ix+1=0的兩根，則代數(shù)式I ' I I的值為()+4 .考點： 專題： 分析：根與系數(shù)的關(guān)系；二次根式的化簡求值. 整體思想._I2根據(jù)一兀二

31、次方程 ax +bX+c=0 ( a0)的根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n= - 2 二，mn=1 ,再變形J ：得,然后把m+n= - 2 :, mn=1整體代入計算即可.解答:J tr+n ) 2÷n解： m、n是方程2+23d+1=0的兩根, m+n= 2 J ：-, mn=1 , . I： : I Ll "： .1 .=.,上- l=3 .點評:故選C.本題考查了一兀二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根與系數(shù)的關(guān)系:若方程兩根分別為 X1 , X2,則X1+X2=,aX1?X2=二.也考查了二次根式的化簡求值.219. (2012?天門)如果關(guān)于 X的一元二次方程 X

32、 +4x+a=0的兩個不相等實數(shù)根 1, 2滿足12 - 2x1 - 2x2- 5=0, 那么a的值為()A . 3C. 13D . - 13考點：分析：解答:點評:根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式.利用根與系數(shù)的關(guān)系求得X12=a, X1+2= - 4 ,然后將其代入 X12 - 2x1 - 2x2- 5=12 - 2 (1+2)- 5=0列出關(guān)于a的方程，通過解方程即可求得a的值.2解：/ 1, 2是關(guān)于X的一元二次方程 X +4x+a=0的兩個不相等實數(shù)根， X1X2=a, X1 +X2= - 4, 12- 2x1 - 2x2- 5=12- 2 (1+2)- 5=a- 2 × (-

33、4)- 5=0 , 即卩 a+3=0 ,解得，a=- 3;故選B.本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系.將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.20 . (2011?錦江區(qū)模擬)若方程A .X - 3x - 2=0的兩實根為X1、2,則(x1+2) (x2+2)的值為(6C. 8D . 12考點： 分析：解答:根與系數(shù)的關(guān)系.根據(jù)(X1+2) ( X2+2 ) =X1 X2+2x 1+2x2+4=X 1X2+2 ( X1+X2) 和與積，代入數(shù)值計算即可.解： X1、X2是方程X2- 3x - 2=0的兩個實數(shù)根.X1+X2=3 , X1?x2= - 2.又 T (X1+2) (X

34、2+2) =x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2 (X1+X2)將 X1+X2=3、X1?X2= - 2 代入，得(X1+2) ( X2+2) =X 1x2+21+22+4=X1x2+2 (X1+X2) +4= 故選C+4,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即兩根的(-2) +2 ×3+4=8 .點評:將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.e+1Q2 2的值為（）21. (2011?鄂州模擬)已知 P - P- 1=0 , 1 - q- q =0,且 Pq ,則A . 1B . 2C.D . .:-22考點： 專題： 分析：根與系數(shù)的關(guān)系.計算題.首先把

35、1 - q-q2=0變形為 Jq-1-0 ,然后結(jié)合P2- P- 1=0,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)解答:的關(guān)系可以得到 P與丄是方程x2 - X -仁0的兩個不相等的實數(shù)根,Q那么利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出所求代數(shù)式的值.2 2解：由 P - P -仁0 和 1 - q- q =0,可知 p), q), 又 pq,由方程1 - q - q2=0的兩邊都除以q2得：q P與丄是方程X2- X -仁0的兩個不相等的實數(shù)根, Q則由韋達定理，得IiP+_=1 ,1J=p+-=1.q L-I+丄Q故選A.點評:本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系（丄）-I=O是解題的關(guān)鍵，然后利用Q根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出所求代

36、數(shù)式的值.22. （2010?濱湖區(qū)一模）若 ABC的一邊a為4,另兩邊b、C分別滿足b 1 2首先把1 - q-q2=0變形為q - 5b+6=0, c2 - 5c+6=0 ,則 ABC的周長為（）A . 9B . 10C. 9 或 10D . 8 或 9 或 10考點：根與系數(shù)的關(guān)系；三角形三邊關(guān)系.專題：壓軸題.分析：由于兩邊b、C分別滿足b2 -5b+6=0,c2-5c+6=0 ,那么b、C可以看作方程x2 -5x+6=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到 b+c=5 , bc=6,而厶ABC的一邊a為4,由此即可求出 ABC的一邊a為4周長.解答： 解：.兩邊 b、C 分別滿足 b2

37、- 5b+6=0 , c2- 5c+6=0, b、C可以看作方程x2- 5x+6=0的兩根， b+c=5, bc=6,而厶ABC的一邊a為4, 若b=c,則b=c=3或b=c=2 ,但2+2=4 ,所以三角形不成立，故 b=c=3 . ABC 的周長為 4+3+3=10 或 4+2+2 若b J, ABC的周長為4+5=9 .故選C.利用根與系數(shù)的關(guān)系來三角形的周長.此點評：此題把一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系與三角形的周長結(jié)合起來,題要注意分類討論.二填空題（共4小題）23. （2014?萊蕪）若關(guān)于X的方程X2+ （k-2） x+k2=0的兩根互為倒數(shù)，則 k= 1考點：根與系數(shù)的關(guān)系.專題

38、：判別式法.分析：根據(jù)已知和根與系數(shù)的關(guān)系 X12*得出k2=1 ,求出k的值，再根據(jù)原方程有兩個實數(shù)根，求出符合題意的3k的值.解答：解：I' X1X2=k2,兩根互為倒數(shù)， k2=1,解得k=1或-1;T方程有兩個實數(shù)根，> 0,當k=1時，< 0,舍去, 故k的值為-1.故答案為：-1 .點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)X1, X2是關(guān)于X的一兀二次方程ax +bx+c=0 （a）, a, b, C為常數(shù)）的兩個實數(shù)根，則 X1+X2= , X1X2=上進行求解.aa2 224. （2014?呼和浩特）已知 m , n是方程x2+2x - 5=0的兩個實數(shù)根，則

39、m2 - mn+3m+n= 8考點：根與系數(shù)的關(guān)系；一兀二一次方程的解.專題：常規(guī)題型.分析：根據(jù)m+n=-2,am?n= - 5 ,直接求出 m、n即可解題.解答：解: m、n是方程X2+2x 5=0的兩個實數(shù)根，. mn= 5, m+n= 2,/ m2+2m 5=0 2 , m =5 2m2m mn+3m+n= (5 2m) ( 5) +3m+n=10+m+n =10 2=8故答案為：8.X1、x2,貝U x1 (x2+x 1) +x22 的最小值為點評：此題主要考查了一元二次方程根根的計算公式，根據(jù)題意得出m和n的值是解決問題的關(guān)鍵.25. （2014?廣州）若關(guān)于X的方程2+2mx+m

40、 2+3m 2=0有兩個實數(shù)根考點：根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的最值.專題：判別式法.分析：由題意可得 =b2 4ac%,然后根據(jù)不等式的最小值計算即可得到結(jié)論.解答：解：由題意知，方程 x2+2mx+m 2+3m 2=0有兩個實數(shù)根， 貝廿 =b2 4ac=4m2 4 ( m2+3m 2) =8 12m 0, mZ X 2T 1 (2+1) +22=(X2+X1) X1X22 2=(2m)-( m +3m - 2)2=3m 3m+22=3 (m2- m+)+2當m=時，有最小值4'故答案為：上.4點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，考查了一元二次不等式的最值問題. 總結(jié)一元二次方

41、程根的情況與判別式的關(guān)系：(1) > 0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2) =0?方程有兩個相等的實數(shù)根；3) < 0?方程沒有實數(shù)根.26. (2014?桂林)已知關(guān)于 X的一元二次方程 X + (2k+1 ) +k 2=0的兩根為Xi和2,且(i 2) (Xi 2) =0, 則k的值是 -2或-二.4考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式.分析：先由(Xi 2) (Xi X2) =0,得出Xi 2=0或Xi X2=0 ,再分兩種情況進行討論： 如果Xi 2=0 ,將=2 代入 X2+(2k+i ) X+k2 2=0,得 4+2 (2k+i) +k2 2=0 ,解方程求出 k= 2;

42、如果 Xi 2=0,那么將 i+2= (2k+i ), XiX2=k2 2代入可求出k的值，再根據(jù)判別式進行檢驗.解答：解：T ( Xi 2) ( Xi X2) =0, Xi 2=0 或 Xi X2=0 . 如果Xi 2=0,那么X仁2,將 =2 代入 X2+ (2k+i) X+k2 2=0,得 4+2 (2k+i) +k2 2=0 ,整理，得 k2+4k+4=0 ,解得k= 2; 如果Xi X2=0 ,2 2 2 2那么(Xi X2) = (Xi+X2) 4i2= ( 2k+i ) 4 (k 2) =4k+9=0 , 解得k=-丄4又 T = (2k+i) 2-4 ( k2- 2) 0.解得

43、：k-.4所以k的值為-2或-=.4故答案為：-2或-_!.4點評：本題考查了一兀二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，注意在利用根與系數(shù)的關(guān)系時，需用判別式進 行檢驗.三解答題(共4小題)27. (2014?瀘州)已知xi, x2是關(guān)于X的一元二次方程 2- 2 ( m+1) x+m2+5=0的兩實數(shù)根.(1) 若(Xi - 1) (x2- 1) =28 ,求 m 的值；(2) 已知等腰 ABC的一邊長為7,若X1, X2恰好是 ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長.考點：根與系數(shù)的關(guān)系；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì).專題：代數(shù)幾何綜合題.分析：2(1) 利用(X1 - 1) (x2

44、- 1) =x1?x2-( x1+x2) +仁m +5 - 2 ( m+1) +仁28 ,求得 m 的值即可；(2) 分7為底邊和7為腰兩種情況分類討論即可確定等腰三角形的周長.解答：解：(1) T X1, X2是關(guān)于X的一兀二次方程 X2 2 ( m+1) x+m2+5=O的兩實數(shù)根，2/. x1+x2=2 ( m+1), x1?x2=m +5,2/ (x1 - 1) (x2- 1) =x1?x2-( x1+x2) +1=m +5 - 2 ( m+1) +1=28 ,解得：m= - 4或m=6 ；當m= 4時原方程無解，/ m=6 ；(2)當7為底邊時，此時方程 x2- 2 ( m+1) x

45、+m2+5=O有兩個相等的實數(shù)根，2 2 =4 ( m+1)- 4 ( m +5) =0 ,解得：m=2,方程變?yōu)閤2- 6x+9=0 ,解得：X1=x2=3 , 3+3 V 乙不能構(gòu)成三角形；當7為腰時，設(shè)x 1=7, 代入方程得：49- 14 (m+1) +m2+5=O ,解得：m=10或4, 當m=10時方程變?yōu)?x2- 22x+105=0 ,解得：x=7或15 7+7 V 15,不能組成三角形； 當m=4時方程變?yōu)?x2- 10x+21=0 ,解得：x=3或7,此時三角形的周長為 7+7+3=17 .點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知兩根之和和兩根之積分

46、別與系數(shù)的關(guān) 系.28. (2014?日照二模)已知 x1, X2是關(guān)于X的一元二次方程 X2+ (3a- 1) x+2a2-仁O的兩個實數(shù)根，其滿足(3x1 -X2) (X1 - 3x2) = - 80.求實數(shù)a的所有可能值.考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式.專題：計算題.分析：根據(jù)的意義由一兀二次方程 X2+ (3a- 1) x+2a2 - 1=0的兩個實數(shù)根得到 為，即(3a- 1) 2-4 (2a2- 1)=a2 - 6a+5),根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到 x1+x2= -( 3a - 1), x1?x2=2a2 - 1,由(3x1 - x2) (x1 - 3x2) = - 80 變形得到 3(X1+X2) 2- 16X1X2= - 80,于是有 3(3a- 1) 2- 16 (2a2- 1) =- 80,解方程得到 a=3 或 a=-5然后代入驗算即可得到實數(shù) a的值.解答：解：T x, x2是關(guān)于X的一元二次方程X2+ (3a- 1) x+2a2-仁O的兩個實數(shù)根， /. ,即(3a- 1) 2 - 4 ( 2a2 - 1) =a2 - 6a+50所以a5或a .(3分). x