高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.8函數(shù)y=Asinwx+φ的圖像與性質(zhì)2省公開課一等獎新名師獲獎PP

1.8

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖像與性質(zhì)(二)1/51【知識提煉】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）(A>0)性質(zhì)定義域R值域［-A，A］周期T=對稱軸方程令ωx+φ=，求得x=2/51對稱中心令ωx+φ=_________,求得單調(diào)性遞增區(qū)間由≤ωx+φ≤求得遞減區(qū)間由≤ωx+φ≤求得kπ,k∈Z3/51【即時小測】1.思索以下問題(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)最小正周期是T=嗎?提醒:不是.應(yīng)為T=.4/51(2)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在[α,β]上值域，當(dāng)x1=α,x2=β時函數(shù)值是函數(shù)最值嗎？提醒：不一定，若區(qū)間[α,β]是函數(shù)單調(diào)區(qū)間，當(dāng)x1=α,x2=β時函數(shù)值是函數(shù)最值，當(dāng)區(qū)間[α,β]不是單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)將ωx+φ看作一個整體，結(jié)合圖像求最值.5/512.函數(shù)y=2sin圖像兩條相鄰對稱軸間距離為(

)

【解析】選B.故兩條相鄰對稱軸間距離為.6/513.函數(shù)y=cos最小正周期為,則ω=

(

)A.10B.5C.-10D.±10【解析】選D.由

解得:ω=±10.7/514.函數(shù)y=sin一個遞增區(qū)間是(

)A.[-π,0] 【解析】選B.因為

所以

當(dāng)k=0時,顯然8/515.函數(shù)y=sin2x在區(qū)間上值域為______.【解析】因為x∈,所以2x∈,結(jié)合圖像可得函數(shù)值域為.答案:9/51【知識探究】知識點函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)觀察如圖所表示內(nèi)容,回答以下問題:問題:怎樣借助正弦函數(shù)性質(zhì)得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)性質(zhì)?10/51【總結(jié)提升】對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)兩點說明(1)借助周期性:研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間、對稱性等問題時,能夠先研究在一個周期內(nèi)單調(diào)區(qū)間、對稱性,再利用周期性推廣到全體實數(shù).(2)整體思想:研究當(dāng)x∈[α,β]時函數(shù)值域時,應(yīng)將ωx+φ看作一個整體θ,利用x∈[α,β]求出θ范圍,再結(jié)合y=sinθ圖像求值域.11/51【題型探究】類型一函數(shù)y=Asin(ωx+φ)值域【典例】(·衡水高一檢測)已知函數(shù)f(x)=2sin.(1)求f(x)最小正周期.(2)求f(x)在區(qū)間上最大值和最小值及取得最值時x值.12/51【解題探究】怎樣求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在定區(qū)間上值域?提醒:先求出ωx+φ在定區(qū)間上范圍,將ωx+φ看作一個角,依據(jù)正弦函數(shù)圖像寫出值域.13/51【解析】(1)f(x)最小正周期

(2)當(dāng)

所以

故-1≤2sin≤2,故函數(shù)值域為[-1,2].當(dāng)x=-時,函數(shù)取最小值-1;當(dāng)x=時,函數(shù)取最大值2.14/51【延伸探究】若本例條件不變,試求函數(shù)在區(qū)間上值域.【解析】當(dāng)

故

故函數(shù)值域為[-,2].15/51【方法技巧】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b值域(最值)求解策略(1)x∈R時:把“ωx+φ”視為一個整體,結(jié)合函數(shù)y=Asinx+b中sinx有界性求其值域.(2)x∈[a,b]時:把“ωx+φ”視為一個整體,先依據(jù)x∈[a,b],求出“ωx+φ”范圍,在此基礎(chǔ)上類比函數(shù)y=Asinx+b值域求法,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性或函數(shù)圖像求解.16/51【賠償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)該函數(shù)所表示曲線上一個最高點為(2,),由此最高點到相鄰最低點間曲線與x軸交于點(6,0).(1)求f(x)函數(shù)解析式.(2)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間.(3)若x∈[0,8],求f(x)值域.17/51【解析】(1)由曲線y=Asin(ωx+φ)一個最高點是(2,),得A=,又最高點(2,)到相鄰最低點間,曲線與x軸交于點(6,0),則=6-2=4,即T=16,所以

此時

代入得

所以這條曲線解析式為

18/51(2)因為

解得x∈[16k-6,2+16k],k∈Z.所以函數(shù)遞增區(qū)間為[-6+16k,2+16k],k∈Z,因為

解得x∈[2+16k,10+16k],k∈Z,所以函數(shù)遞減區(qū)間為:[2+16k,10+16k],k∈Z.19/51(3)因為x∈[0,8],由(2)知函數(shù)f(x)在[0,2]上是增加,在[2,8]上是降低,所以當(dāng)x=2時,f(x)有最大值為,當(dāng)x=8時,f(x)有最小值為-1,故f(x)值域為[-1,].20/51類型二函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)綜合應(yīng)用【典例】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<

)圖像在y軸上截距為1,它在y軸右側(cè)第一個最大值點和最小值點分別為(x0,2)和(x0+π,-2).(1)求f(x)解析式.(2)若存在m∈R,任意x∈

使f(x)≤m2-3m-2成立,求m取值范圍.21/51【解題探究】(1)怎樣確定周期和A值?提醒:由最大值點、最小值點能夠確定周期和A值.(2)不等式恒成立意義是什么?提醒:不等式恒成馬上f(x)max≤m2-3m-2成立.22/51【解析】(1)因為函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)圖像在y軸右側(cè)第一個最大值點和最小值點分別為(x0,2)和(x0+π,-2).所以T=2π,即ω=1,A=2,所以f(x)=2sin(x+φ),又因為函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)圖像在y軸上截距為1,23/51所以函數(shù)圖像過(0,1),所以sinφ=,因為|φ|<,所以φ=,所以f(x)=(2)f(x)=在x∈時函數(shù)最大值為2.所以2≤m2-3m-2,解得:m≥4或m≤-1.24/51【方法技巧】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)綜合應(yīng)用注意點(1)對于平移問題,應(yīng)尤其注意要提取x系數(shù),即將ωx+φ變?yōu)棣睾笤儆^察x改變.(2)對于對稱性、單調(diào)性問題應(yīng)尤其注意將ωx+φ看作整體,代入普通表示式解出x值.25/51(3)對于值域問題一樣是將ωx+φ看作整體,不一樣是依據(jù)x范圍求ωx+φ范圍,再依據(jù)圖像求值域.(4)對于奇偶性問題,由φ來確定,φ=kπ(k∈Z)時是奇函數(shù),φ=kπ+(k∈Z)時是偶函數(shù).26/51【變式訓(xùn)練】(·冀州高一檢測)函數(shù)y=3sin圖像為C,下面結(jié)論中,錯誤是(

)A.圖像C關(guān)于直線x=-對稱B.圖像C關(guān)于點對稱C.函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是增加D.由y=3cos2x得圖像向右平移個單位長度能夠得到圖像C27/51【解析】選C.A,B經(jīng)驗證可知正確,C中當(dāng)不是正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間,錯誤;D中y=3cos2x得圖像向右平移個單位長度能夠得到y(tǒng)=3cos因為

正確.28/51【賠償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=2sin

(ω>0)最小正周期為π.(1)求函數(shù)f(x)遞增區(qū)間.(2)將函數(shù)f(x)圖像向左平移

個單位,再向上平移1個單位,得到函數(shù)y=g(x)圖像,求y=g(x)在區(qū)間[0,10π]上零點個數(shù).29/51【解析】(1)由周期為π,得ω=2,得f(x)=2sin,由正弦函數(shù)遞增區(qū)間得

得

所以函數(shù)f(x)遞增區(qū)間為,k∈Z.30/51(2)將函數(shù)f(x)圖像向左平移個單位,再向上平移1個單位得到y(tǒng)=2sin2x+1圖像,所以g(x)=2sin2x+1,令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),所以函數(shù)在每個周期上恰有兩個零點,[0,10π]恰為10個周期,故g(x)在[0,10π]上有20個零點.31/51類型三三角函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用角度1:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)單調(diào)性【典例】(·淮北高一檢測)函數(shù)y=sin遞減區(qū)間是(

)32/51【解題探究】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時需要對函數(shù)解析式做怎樣變形?提醒:利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)解析式變?yōu)?/p>

33/51【解析】選C.函數(shù)

令

解得

角度2:函數(shù)φ=+kπ,k∈Z奇偶性與對稱性34/51【典例】(·哈爾濱高一檢測)函數(shù)y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)是R上偶函數(shù),則φ值是(

)

35/51【解題探究】若函數(shù)為偶函數(shù),則φ普通表示式是什么?提醒:若函數(shù)為偶函數(shù),則φ普通表示式為φ=+kπ,k∈Z.【解析】選C.若函數(shù)為偶函數(shù),則φ=+kπ,k∈Z,因為0≤φ≤π,故φ=.36/51【拓展延伸】若函數(shù)y=sin(2x+φ)

圖像關(guān)于x=

對稱,則φ=________.【解析】由題意

答案:-37/51【方法技巧】1.關(guān)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)對稱性與奇偶性(1)將ωx+φ看作整體,代入到y(tǒng)=sinx對稱中心、對稱軸表示式能夠求出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)對稱中心、對稱軸或求φ值.(2)若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù),則φ=π+kπ,k∈Z,若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù),則φ=

+kπ,k∈Z,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)奇偶性實質(zhì)是函數(shù)對稱中心、對稱軸特殊情況.38/512.求解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)

單調(diào)區(qū)間四個步驟(1)將ω化為正值.(2)依據(jù)A符號確定應(yīng)代入y=sinθ單調(diào)增區(qū)間,還是單調(diào)減區(qū)間.(3)將ωx+φ看作一個整體,代入到上述單調(diào)區(qū)間中解出x范圍即為函數(shù)在R上單調(diào)區(qū)間.(4)假如要求函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)區(qū)間,則給k賦值求單調(diào)區(qū)間.39/51【變式訓(xùn)練】(·安徽高考)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正常數(shù))最小正周期為π,當(dāng)x=

時,函數(shù)f(x)取得最小值,則以下結(jié)論正確是(

)40/51【解題指南】求出函數(shù)f(x)解析式,利用正弦函數(shù)圖像和性質(zhì)進行判斷.41/51【解析】選A.因為函數(shù)f（x）=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正常數(shù))最小正周期為π,所以T==π?ω=2,所以f(x)=Asin(2x+φ)，當(dāng)x=時,所以

當(dāng)

時函數(shù)f(x)取得最大值.42/51下面只需要判斷2,-2,0與最近最高點處對稱軸距離越大,函數(shù)值越小.當(dāng)k=0時,當(dāng)k=1時,當(dāng)k=-1時,所以

43/51【賠償訓(xùn)練】把函數(shù)y=cos向左平移m(m>0)個單位,所得圖像關(guān)于y軸對稱,則m最小值為(