常微分方程數(shù)值解法省公開課金獎全國賽課一等獎微課獲獎?wù)n件

第九章常微分方程數(shù)值解法/*NumericalMethodforOrdinaryDifferentialEquations*/本章主要介紹一階常微分方程初值問題數(shù)值解法。

初值問題及其數(shù)值解概念§1引言慣用一些解析解法：常數(shù)變易法、Lapalace變換等分離變量法、變量代換、一階常微分方程初值問題：1/55對于初值問題，假如在以下區(qū)域內(nèi)連續(xù)：（解存在唯一性）且關(guān)于滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)，使則初值問題存在唯一解，且解是連續(xù)可微。所謂數(shù)值解是指：在解存在區(qū)間上取一系列點(diǎn)逐一求出近似值等距節(jié)點(diǎn)：步長2/55

初值問題解析解及其數(shù)值解幾何意義：初值問題解表示過點(diǎn)一條曲線初值問題數(shù)值解表示一組離散點(diǎn)列可用擬合方法求該組數(shù)據(jù)近似曲線積分曲線3/55§2Euler方法

Euler方法導(dǎo)出將在點(diǎn)處進(jìn)行Taylor展開略去項(xiàng)：然后用代替，即得稱上述公式為向前Euler公式。4/55若將在點(diǎn)處進(jìn)行Taylor展開略去項(xiàng)：然后用代替，即得稱上述公式為向后Euler公式。向后Euler公式為隱式格式，需要利用迭代法求解5/55解：向前Euler公式：例1：分別利用向前和向后Euler方法求解初值問題數(shù)值解（取步長為）向后Euler公式：詳細(xì)計算結(jié)果見教材表9.2.1。6/557/55

常微分方程數(shù)值解法穩(wěn)定性設(shè)一個數(shù)值方法以定步長求解試驗(yàn)方程得到線性差分方程解。當(dāng)初，若，則稱該方法對步長為絕對穩(wěn)定；不然稱為不穩(wěn)定。將數(shù)值方法應(yīng)用于試驗(yàn)方程，若對一切都是絕對穩(wěn)定，則稱區(qū)域?yàn)樵摲椒ń^對穩(wěn)定域。上述定義表明，若數(shù)值方法可使任何一步產(chǎn)生誤差在后面計算中都能逐步減弱，則該方法為絕對穩(wěn)定。8/55比如，對于向前Euler法：將其應(yīng)用于試驗(yàn)方程當(dāng)時，誤差將逐步減弱，故此時方法穩(wěn)定。向前Euler法絕對穩(wěn)定域：當(dāng)因有誤差變?yōu)闀r，則有9/55

單步方法局部誤差和階單步法普通形式隱式單步法通常稱為增量函數(shù)顯式單步法設(shè)是準(zhǔn)確，用某種方法計算時產(chǎn)生截稱為某方法在點(diǎn)整體截斷誤差斷誤差，稱為該方法局部截斷誤差，即10/55其中為自然數(shù)，則稱該方法是階或含有階精度。假如給定方法局部截斷誤差為假如一個階單步方法局部截斷誤差為則稱為該方法局部截斷誤差主項(xiàng)。如向前Euler方法局部截斷誤差一階方法11/55

Euler方法誤差分析對初值問題中微分方程兩端在區(qū)間上積分假如用左矩形公式計算右端積分，并令其中上述等式中假如用代替，即得向前Euler格式。其局部截斷誤差為12/55設(shè)關(guān)于和均滿足Lipschitz條件，即和13/55其中而整體截斷誤差為14/55注意到15/55對于初值問題，假如關(guān)于滿足（向前Euler方法整體截斷誤差）Lipschitz條件，為對應(yīng)Lipschitz常數(shù)，當(dāng)時，向前Euler方法數(shù)值解一致收斂于初值問題準(zhǔn)確解，且整體截斷誤差滿足預(yù)計式假如，Euler方法整體截斷誤差為16/55一、Runge-Kutta方法基本思想§3龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法顯式單步法普通形式：R-K方法是利用一些點(diǎn)線性組合結(jié)構(gòu)增量函數(shù)，使得對應(yīng)方法局部截斷誤差階數(shù)盡可能高。

二階Runge-Kutta方法確定參數(shù)，使得與在點(diǎn)Taylor展開式有盡可能多相同項(xiàng)。17/55比較兩式相同項(xiàng)得方程組有沒有窮多解18/55若取其一組解則得到改進(jìn)Euler公式（二階方法）若取其另一組解則得到二階Heun（休恩）公式（見教材）。19/55二、顯式Runge-Kutta方法及其穩(wěn)定性和設(shè)是一個正整數(shù)，代表使用函數(shù)值個數(shù)，是一些特定權(quán)因子（均為實(shí)數(shù)），則稱以下方法（公式）為初值問題m級顯式Runge–Kutta公式，其中20/55類似前面處理方法，能夠得到四級方法：m=4局部截斷誤差最慣用一個四階方法：經(jīng)典顯式Runge-Kutta公式21/55解：例2：用經(jīng)典四階Runge-Kutta方法求解以下初值問題。經(jīng)典四階Runge-Kutta公式：22/5523/5524/55注：

對于顯式N級R-K方法，最多只能得到N階方法。

上述方法缺點(diǎn)：計算非常復(fù)雜。

可經(jīng)過積分方法確定參數(shù)。例2：確定以下三級三階顯式Runge-Kutta公式中參數(shù)：解：對微分方程兩邊積分得25/55采取Simpson公式計算上式右端積分項(xiàng)可設(shè)參數(shù)則有選擇剩下參數(shù)，使得26/55取27/5528/55取利用Taylor展開式29/55代入當(dāng)時，30/55例3：求經(jīng)典四階R-K方法絕對穩(wěn)定域。解：31/55其絕對穩(wěn)定域?yàn)槿?、隱式Runge-Kutta方法m級隱式R–K方法普通形式其中系數(shù)確實(shí)定方法同顯式R–K方法完全類似32/55(1)一級二階隱式中點(diǎn)方法：(2)二級四階隱式R-K方法：N級隱式R-K法能夠到達(dá)2N階缺點(diǎn)：需要求解非線性方程（組）33/55一、k步線性多步法§4線性多步法與預(yù)估-校正格式/*LinearMutistepMethodandPredictor-CorrectorFormat*/所謂線性多步法，指是某一步解公式不但與前一步值相關(guān)，而且與前面若干步解值相關(guān)方法。對初值問題兩邊積分得34/55將換為節(jié)點(diǎn)取節(jié)點(diǎn)，結(jié)構(gòu)q+1個點(diǎn)Lagrange插值多項(xiàng)式：

多步顯式公式35/55其中記若函數(shù)值已知，則得r+1步顯式方法36/55如時，可得二步顯式阿達(dá)姆斯（Adams）格式其中37/55

Adams顯式公式局部截斷誤差：由Lagrange插值余項(xiàng)知其中（第二積分中值定理）q+1階方法38/55取節(jié)點(diǎn)，結(jié)構(gòu)q+1個點(diǎn)Lagrange插值多項(xiàng)式：

多步隱式公式39/55其中記則得到r+1步q+1階隱式方法如時，可得二步隱式阿達(dá)姆斯（Adams）格式梯形公式40/55

慣用一個預(yù)報-校正公式：四階Adams預(yù)報-校正公式：（顯式）（隱式）初始迭代值由4階R-K方法計算41/55例4：用Adams預(yù)報-校正公式求解以下初值問題。解：Adams預(yù)報-校正公式：42/55R-K方法Adams預(yù)-校法準(zhǔn)確解011.00000000000.11.0954461.09544511530.21.183217131.2649121.26491106400.41.34164135711.34164078640.51.41421383341.41421356230.61.48323982421.48323969740.71.54919338041.54919333840.81.61245153641.61245154960.91.67331999931.6733301.01.73205071981.732050807543/55一、單步法收斂性/*ConvergenceofOnestepMethod*/§5理論分析顯式單步法普通形式引理9.5.1設(shè)為實(shí)序列，滿足其中，則44/55對于單步法，假如局部截斷誤差滿足則稱格式為階相容。設(shè)顯式單步法中增量函數(shù)滿足其中且格式階收斂，即局部截斷誤差為則該單步法是收斂，即為某正常數(shù)45/55證實(shí)：由格式階相容得定義由引理9.5.1得46/55二、穩(wěn)定性/*Stability*/對應(yīng)于常微分方程殘量算子定義為對應(yīng)于格式殘量算子為假設(shè)常微分方程連續(xù)解為，而數(shù)值解為在格點(diǎn)上滿足以下關(guān)系式點(diǎn)列47/55則對局部截斷誤差為單步法有其中若存在，使得對任意網(wǎng)格點(diǎn)上取值向量，有（其中為充分小網(wǎng)格尺度，是給定初始向量）則稱該單步法是穩(wěn)定。48/55上述定義思想：對于無誤差擾動差分格式真實(shí)計算中實(shí)際為當(dāng)時，小擾動下計算解