2023-2024學(xué)年天津市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試卷附答案解析

-2024學(xué)年天津市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試卷試卷共120分，考試用時(shí)100分鐘第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共9小題，每小題4分，共36分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．曲線在處的切線斜率為（

）A．－3 B． C． D．52．用這個(gè)自然數(shù)，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．60 B．90 C．180 D．2103．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．4．的展開(kāi)式中的系數(shù)為A． B． C． D．5．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則對(duì)于的描述正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．當(dāng)時(shí)取得最大值C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．當(dāng)時(shí)取得最小值6．甲乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種7．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A．－1 B．1 C． D．9．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．10．設(shè)函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，則．11．．12．在1，2，3，，500中，被5除余3的數(shù)共有個(gè)．13．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為；14．如圖，現(xiàn)要用4種不同的顏色對(duì)4個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，共有種不同的著色方法．（用數(shù)字作答）

15．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值，則a的取值范圍為．三、解答題：本大題共5小題，共60分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值．17．班上每個(gè)小組有12名同學(xué)，現(xiàn)要從每個(gè)小組選4名同學(xué)代表本組與其他小組進(jìn)行辯論賽．(1)每個(gè)小組有多少種選法?(2)如果還要從選出的同學(xué)中指定1名作替補(bǔ)，那么每個(gè)小組有多少種選法?(3)如果還要將選出的同學(xué)分別指定為第一、二、三、四辯手，那么每個(gè)小組有多少種選法？18．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)．(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最小值．19．已知函數(shù)，．(1)若在點(diǎn)處取得極值．①求的值；②證明：；(2)求的單調(diào)區(qū)間．20．已知函數(shù)，，．(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)若對(duì)任意的，，使得成立，求a的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求a的最小值．1．C【分析】先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以曲線在處的切線斜率為.故選：C2．C【分析】借助分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得.【詳解】百位上有共種選擇，十位、個(gè)位共有種選擇，故共有個(gè).故選：C.3．B【分析】先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于零可得增區(qū)間.【詳解】定義域?yàn)?，，令得，即，增區(qū)間為.故選：B4．D【解析】利用乘法分配律以及二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式中，的系數(shù)分別為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：D．【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.5．C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)圖象與函數(shù)圖象的關(guān)系可得答案.【詳解】由圖可知，時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，有極大值，不一定為最大值；時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，有極小值，不一定為最小值；時(shí)，，為減函數(shù)；綜上可得只有C正確.故選：C6．B【分析】借助分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得.【詳解】相同的那一本有5種可能選法，不同的一本有種可能選法，故共有種選法.故選：B.7．A【分析】由題設(shè)可得在上恒成立，結(jié)合判別式的符號(hào)可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，故在上恒成立，所以，即，故選：A.8．C【分析】借助導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)性，即可得其最大值.【詳解】,則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.故選：C.9．D【分析】首先不等式通過(guò)變形，再構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，不等式，變形為，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以.故選：D10．2e【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)值.【詳解】由可知，，所以.故答案為：11．【分析】借助排列數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可得.【詳解】.故答案為：.12．100【分析】構(gòu)造出等差數(shù)列，求項(xiàng)數(shù)即可.【詳解】被5除余3的數(shù)是，則其是首項(xiàng)為3，公差為5的等差數(shù)列通項(xiàng)公式，則，，，且該數(shù)列為遞增數(shù)列，∴在個(gè)數(shù)字中，有100個(gè)數(shù)被5除余3，故答案為：100.13．【分析】先求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求出展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù).【詳解】由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得，其中令，即，故展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：.14．48【分析】按照分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】按照分步計(jì)數(shù)原理，第1塊有4種方法，第2塊有3種方法，第3塊有2種，第4塊有2種方法，所以共有種涂色方法.故答案為：4815．【分析】先求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合極大值情況可求范圍.【詳解】，令，得或，且是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有極大值，所以，解得.故答案為：16．(1)單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為(2)極大值16，極小值【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，令，解得，則，隨的變化情況如下表：200取極大值取極小值故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為;（2）由小問(wèn)1知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值16;當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值．17．(1)495(2)1980(3)11880【分析】（1）從12名學(xué)生中任選4名即可，（2）先從12名學(xué)生中選4名，然后再?gòu)倪@4名學(xué)生中選1人，再利用分步乘法原理可求得結(jié)果，（3）先從12名學(xué)生中選4名，然后對(duì)這4名學(xué)生進(jìn)行全排列即可【詳解】（1）由題意可得每個(gè)小組有種選法，（2）由題意可得先從12名學(xué)生中選4名，然后再?gòu)倪@4名學(xué)生中選1人，所以由分步乘法原理可得共有種選法，（3）由題意可得先從12名學(xué)生中選4名，然后對(duì)這4名學(xué)生進(jìn)行全排列，所以由分步乘法原理可得共有種選法18．(1)(2)8【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）借助導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，即可得函數(shù)的最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，由點(diǎn)在切線上，可得，解得；（2）由（1）得，所以，令，解得，，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如表所示：＋－單調(diào)遞增單調(diào)遞減又由于，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值8.19．(1)①1；②證明見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）①先由在點(diǎn)處取得極值，求出參數(shù)的值；②經(jīng)分析函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即時(shí)，取得最小值，即可得證；（2）分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1）①由于函數(shù)，得，因?yàn)樵邳c(diǎn)處取得極值，所以,所以，經(jīng)檢驗(yàn)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上小于，在區(qū)間上大于，故在點(diǎn)處取得極小值．②由①得，，．令，解得．當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如表所示．x1－0＋單調(diào)遞減1單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值．所以，即．（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令解得，的解集為，的解集為，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.20．(1)；(2)；(3)1.【分析】（1）求出函數(shù)，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)即得.（2）求出函數(shù)在上的最小值，在上的最大值，再由給定恒成立建立不等式求解.（3）求出函數(shù)，由分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討值域即可得解.【詳解】（1）函數(shù)，則，由，求導(dǎo)得，所以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是.（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，，，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是．又，則在上也是單調(diào)遞增，，由對(duì)任意的，，使成立，等價(jià)于，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的范圍是．（3）依題意，，由，得，令，，求導(dǎo)得，令，，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然，，則存在唯一的，使得，即，即，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)