2020-2021學(xué)年山東省棗莊市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年山東省棗莊市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一.單項(xiàng)選擇題（共8小題）.

1.直線x--1=0的傾斜角a=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.己知。。：/+y2=l與。C：x2+y2-lx-4y+l=0,則兩圓的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離C.外切D.內(nèi)切

3.如圖：在平行六面體中，M為4G,的交點(diǎn).若標(biāo)=2，說=4，

為=%則向量而=（）

1—1——1**1——_-

A.-萬a+]b^cB.ya-*yb+ccr--^a-^1b—+cnD-5la*-5Ib*4+_—c

4.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)

明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)摭，解之為二，又合面為一在

某種玩法中，用如表示解下〃（〃W9,〃6N*）個圓環(huán)所需的移動最少次數(shù)，若0=1.且

（2^-1,n為偶數(shù)

工大"，則解下5個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（）

2an_1+2,n為奇數(shù)

A.7B.13C.16D.22

5.在長方體ABCO-AiBiGDi中，A8=BC=1,AAi=J§,則異面直線A￡h與。Bi所成角

的余弦值為（）

A.—B.返C.返D.返

5652

6.數(shù)列｛詼｝,｛瓦｝滿足a”兒=1,a?=n2+5n+6,neN*.則｛瓦｝的前10項(xiàng)之和為（）

A.—B.—C.—D.—

13133939

7.已知拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為/,P是/上一點(diǎn)，。是直線P尸與C的一個

交點(diǎn)，若而=4而，則|。月=（）

7R

A.—B.3C.—D.2

22

22

8.己知雙曲線C：^--^l（a>0,b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,點(diǎn)P是C的右

支上一點(diǎn)，PFI_LPF2.連接PQ與y軸交于點(diǎn)M，若向0|=2|0M（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則

雙曲線。的漸近線方程為（）

A.y=土丘B(yǎng).y=±2xc.尸土7^D.y=±3x

二.多項(xiàng)選擇題（共4小題）?

9.已知點(diǎn)F（0,2）為圓錐曲線。的焦點(diǎn),則C的方程可能為（)

12_

A.y=8xBD.-y

22D.*2=](0<w<4)

C.且-=1(0</n<4)

m-4mmm-4

10.已知遞減的等差數(shù)列｛?。那?，7項(xiàng)和為S〃，S5=S9,則（)

A.〃7>0B.S7最大C.Si4>0D.Si3>0

11.我們通常稱離心率是返工的橢圓為“黃金橢圓”.如圖,22

已知橢圓C：號■吃=1

2a」b2

（a>b>0）,Ai,42,Bi,&分別為左、右、上、下頂點(diǎn),Fi,凡分別為左、右焦點(diǎn),

P為橢圓上一點(diǎn)，下列條件中能使橢圓C為“黃金橢圓”的是（）

B.

ZFIBIA2=90°

C.軸，且尸0〃4囪

D.四邊形4&A28的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)R,Fi

12.如圖，棱長為1的正方體ABCO-A41GQ中，P為線段A]B上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），

則下列結(jié)論正確的是（)

A.直線。聲與AC所成的角可能是

6

B.平面Oi4P_L平面AiAP

C.三棱錐Dx-CDP的體積為定值

D.平面APR截正方體所得的截面可能是直角三角形

三、填空題(共4小題).

&n+1&n

13.在數(shù)列｛〃“｝中，若山=1,=-t,1,則如=.

33

14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,2,0),B(x,3,-1),C(4,y,2),若A,

B,C三點(diǎn)共線，則x+y=.

15.如圖，在長方體ABCD-AiBiGU中，AAi=4B=2,AD=1,點(diǎn)尺G分別是A8,CCi

的中點(diǎn)，則點(diǎn)Di到直線GF的距離為.

16.已知圓C的方程為/+爐=2,點(diǎn)P是直線x-2y-5=0上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C

的兩條切線PA、PB,A、B為切點(diǎn)，則四邊形PACB的面積的最小值為：直線

AB過定點(diǎn).

四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2門

17.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F與曲線￡<：2——y2=i的右焦點(diǎn)重合.

3》

(1)求拋物線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若拋物線。上的點(diǎn)尸滿足|尸用=6,求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

18.已知｛小｝是等差數(shù)列，｛為｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，0=歷=1,再從①02+3=10；

②歷〃4=4;③加=〃5這三個條件中選擇,兩個作為已知.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛包｝的前”項(xiàng)和.

19.已知直線/經(jīng)過兩條直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點(diǎn)，且與直線x+y-2=0

垂直.

(1)求直線/的方程；

(2)若圓C過點(diǎn)(1,0),且圓心在無軸的正半軸上，直線/被該圓所截得的弦長為2加，

求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

20.如圖，四棱錐P-A8CO的側(cè)面△%￡＞是正三角形，底面ABC。是直角梯形，/BAD

=ZADC=90°,AB=AD=2DC,M是BC邊的中點(diǎn).

(1)求證：PMLAD；

(2)若28=揚(yáng)8,求直線尸M與平面PA8所成角的正弦值.

21.已知數(shù)列｛〃“｝為等差數(shù)列，S”是數(shù)列｛斯｝的前”項(xiàng)和,且s=2,S3-6,數(shù)列｛仇｝滿足:

b?=2bi=4,當(dāng)〃23,時，a\b\,^anbn—(2〃-2)瓦+2.

(1)求數(shù)列他〃｝,｛九｝的通項(xiàng)公式；

(2)令cn€N*，證明：ci+c2+，??+CnV2.

nbn

22.設(shè)圓/+爐-2e-21=0的圓心為尸，點(diǎn)。(-北，0),點(diǎn)H為圓上動點(diǎn)，線段

HQ的垂直平分線與線段HP交于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若直線/與曲線C交于點(diǎn)A,B,與圓。：*2+y=2切于點(diǎn)M,問：是否

為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由.

參考答案

一.單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4()分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.直線x--1=0的傾斜角a=()

A.30°B.60°C.120°D.150°

解：可得直線x/y-l=0的斜率為公=—?=返，

B3

由斜率和傾斜角的關(guān)系可得tana=返，

3

又；0°WaW180°

...a=30°

故選：4

2.已知O。：/+y2=i與0c：x2-+y2-2x-4)H-1=0,則兩圓的位置關(guān)系是()

A.相交B.相離C.外切D.內(nèi)切

解：根據(jù)題意，OO：x2+/=l,其圓心為(0,0),半徑r=l,

OC：x2+y2-2x-4y+l=0,即(x-1)2+(y-2)2=4,其圓心為(1,2),半徑R=2,

圓心距IOC|=71+4=A/"^，

則有R-r=lV|OC|<R+r=3,則兩圓相交,

故選：4

3.如圖：在平行六面體ABC。-AiBCQ中，M為4G,8Q的交點(diǎn).若標(biāo)=2，菽=4，

A.［余］示B.ya-^b+cC.--1a-^b+cD-a-b+c

解：；在平行六面體ABC。-A山IGOI中，M為4G,BOi的交點(diǎn).

AB=a>AD=b>孫='

??響量前=畫卷市

=可卷（證+疝）

故選：A.

4.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)

明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)按，解之為二，又合面為一”.在

某種玩法中，用的表示解下〃（〃<9,〃€N*）個圓環(huán)所需的移動最少次數(shù)，若0=1.且

f2an_1-l,n為偶數(shù)

an=\工夫*卜，則解下5個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（）

2^+2,n為奇數(shù)

A.7B.13C.16D.22

解：由于。1=1,所以〃2=次1-1=1,〃3=2僅+2=4,〃4=2。3-1=7,〃5=2〃4+2=16.

故選：C.

5.在長方體ABC。-A閏中，AB=BC=\,A4i=V3>則異面直線A5與。叫所成角

的余弦值為（）

A.—B.返C.返D.返

5652

解：以。為原點(diǎn)，ZM為x軸，DC為y軸，。。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

?.?在長方體ABC。-481Gz)i中，AB=BC=\,

M=

(1,0,0),Di(0,0,愿)，。(0,0,0),

Bi(1,1，招，

AD「(-1,0,?),DB]=(1,1,舊)，

設(shè)異面直線AD\與DBi所成角為6,

必JDBJ_2—恒

則cos0

|電I?I西|2代5'

...異面直線Ad與。Bi所成角的余弦值為匹.

5

故選：C.

6.數(shù)列｛z｝,｛5｝滿足a,仇=1,a?=n2+5n+6,〃eN*,則｛仇｝的前10項(xiàng)之和為()

.4n5?810

A.—D.—■C.-----Un.-----

13133939

解：數(shù)列｛〃”),｛兒｝滿足“仇=1,如=層+5〃+6,朕N*,

:.b=-一-.1.-1_一L

"n2+5n+6(n+2)(n+3)n+2n+3'

；.｛d｝的前10項(xiàng)之和為：

c1L1L1L,111110

344556121331339

故選：D.

7.已知拋物線C：爐=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,尸是/上一點(diǎn)，。是直線PF與C的一個

交點(diǎn)，若祚=4而，則|。月=()

7R

A.—B.3C.—D.2

22

解：設(shè)。到/的距離為d,則|QF|=d,

??,而=4而,

：.\PQ\=3d,

不妨設(shè)直線尸尸的斜率為--2&,

?:F(2,0),

???直線P廠的方程為y=-2&(x-2),

與＞2=8元聯(lián)立可得工=1,

??.|QE=d=l+2=3,

故選：B.

8.己知雙曲線C：工5-勺l（a〉O,b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,點(diǎn)P是C的右

支上一點(diǎn)，PF|_LPF2.連接PQ與y軸交于點(diǎn)M，若向0|=2|0M（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則

雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±&rB.y=±2xC.y=±遍rD.y=±3x

|PFI|0M|1

解:在△PFiB中,tanZPFiF2=2=

|PF1ITMrT

：.\PFI\=2\PF2\,

由雙曲線的定義知，\PFi\-\PF2\=2a,

：.\PFi\=4a,\PF2\^2a,

,：PF\VPFi,

：.\PF\?+\PF^=\F\F^,即16a2+4加=42即°2=5用,

,*.Z?2=c2-a2=5a2-a2=4a2,即2=2,

a

雙曲線C的漸近線方程為)，=±2r.

故選：B.

二.多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.已知點(diǎn)F(0,2)為圓錐曲線C的焦點(diǎn)，則C的方程可能為()

A./=8A-B.^-x2=y

o

2222

C.匕—=1(0<w<4)D.—=1(0<ffl<4)

m-4mmm-4

解：行二隊的焦點(diǎn)坐標(biāo)（2,0）,所以A不正確；

[x2=y的焦點(diǎn)坐標(biāo)（0,2）,所以8正確；

8

22

.^+^=1（0</n<4）的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（0,±2）,所以C正確;

m-4m

武_￥-=1（0</?<4）,可能表示圓，所以。不正確.

mm-4

故選：BC.

10.已知遞減的等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為租,S5=S9,則（)

A.s>0B.S7最大C.5i4>0D.Si3>0

解：；遞減的等差數(shù)列｛〃"｝的前八項(xiàng)和為S”S5=S9,

'd<0

」_」

J5X4C9X8d

5a1+?-g—d=9at一-

解得a\—-

2

故s>0,

Sl3>0,S14<0,

nn2

/.Sn=na1+^--^-nd+--2—rj_—(J——d(/-14〃)=—d(n-7)--^-4

222a2a222

.,.當(dāng)〃=7時，S,取最大值.

故選：ABD.

/7_i22

11.我們通常稱離心率是曲上的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓C：與三=1

2abZ

(a>b>0),4,4,Bi,B2分別為左、右、上、下頂點(diǎn)，F(xiàn)i,尸2分別為左、右焦點(diǎn)，

尸為橢圓上一點(diǎn)，下列條件中能使橢圓C為“黃金橢圓”的是()

A.肉尸1卜1尸乂2|=|尸1園2

B.NF1B1A2=9O°

C.PFi_Lx軸，S.PO//AiB\

D.四邊形482A2B的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)Fi,F2

22

解：由橢圓C：^2-1(。>6>0),可得Ai(-a,0),Ai(.a,0)>B\(0,b),

abZ

Bi(0,-b),Fi(-c,Q),F2(c,0),

對于A,|AiFi|?|FM2|=|aF2p,即為(a-c)2=(2c)2,所以a-c=2c,即《=￡?=1,

a3

不符題意，A錯誤；

對于B,若NQB|A2=9O°,則以2rli2=|8歷|2+|8也|2,即(a+c)2=a2+(aW),所以

c^+ac-〃2=o,

即有e2+e-l=0,解得6=返二(土/￡舍去)，符合題意，8正確;

22

,2

對于C,若PF|J_X軸，且尸O〃A2B1,所以尸(-c,月_),

由而。=&AzB.,可得％-=M,解得6=c,又〃2=加+°2,所以e=￡=_^_=返，不

，*----aa72c2

-c

符題意，故C錯誤；

對于。，若四邊形48乂2囪的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)尸I,

即四邊形482A41的內(nèi)切圓的半徑為c,則向=4@2+b2,結(jié)合b2=a2-c2,

所以"-3423+44=0,即/-3e2+l=0,解得e2=1返(舍去)或e2=主返，所以e

_22

=近二，故O正確.

2

故選：BD.

12.如圖，棱長為1的正方體ABCO-AIBIGOI中，P為線段4B上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn))，

A.直線OP與AC所成的角可能是

6

B.平面QJAIP_L平面4AP

C.三棱錐。lC0P的體積為定值

D.平面APOi截正方體所得的截面可能是直角三角形

解：對于A,以。為原點(diǎn)，D4為x軸，QC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

D\(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),設(shè)尸(1,a,b),(0<a<l,0<b

<1),

DJP—(1，a,b-\),正=(-1,1,0),

—?一D,P'ACa-1

cos<DiP?AC>=-==-=i~~<0,

1ID^I-|AC|Vl+a29+(b-l)92'V2

V0<a<l,0<6<l,

又當(dāng)a=l時，<D[P,AC>=；,

..QTF

當(dāng)。=0,6=1時，VD[P,AC>=2i—?

14

.?.4?D^,正〉W，

214

直線6P與AC所成的角為(7勺1，冬TT)，故A錯誤；

42

對于8,正方體ABC。-AiBiGQi中，A\D\LAA\,AiDilAB,

?.?AAiCAB=A,.?.4￡)1_1平面442，

???小刃，平面刀AiP,.?.平面￡>14P_L平面4AP,故B正確;

對于c,vSACDD.=-^-XIX1=4，P到平面cm的距離8c=1,

???三棱錐O]-CQP的體積：

^D.-CDP=^P-CDD,=4-X-^-XI=T-,為定值,故C正確；

11o20

對于。，平面APG截正方體所得的截面不可能是直角三角形，故。錯誤.

故選：BC.

三、填空題(共4小題，每小題5分，滿分2()分)

13.在數(shù)列｛m｝中，若ai=l,21包二巴+1，則%=3/1-2.

33

解：0=1,%+1=an

33

則ad+i=a”+3,

數(shù)列｛%｝為首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列,

.?.斯=1+3(?-1)=3〃-2,

故答案為：3n-2.

14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(1,2,0),B(%,3,-1),C(4,y,2),若A,

B,C三點(diǎn)共線，則x+y=z^_.

解：AB=(x-1,1,-1),正=(3,y-2,2),

B,C三點(diǎn)共線，

存在實(shí)數(shù)k使得：標(biāo)=憶正，

\-l=3k

l=k(y-2)>解得％=-/，*=-y=°-

,-l=2k

"尸-f

故答案為：-

2

15.如圖，在長方體ABC。-AIBICIDI中，4Al=AB=2,AO=1,點(diǎn)尺G分別是AB,CCi

的中點(diǎn)，則點(diǎn)。?到直線GF的距離為—逗

解：以。為原點(diǎn)，ZM為x軸，0c為y軸，。。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則D\(0,0,2),G(0,2,1),F(1,1,0),

FDj=(-1，-1.2),而=(-1,1,1),

.?.點(diǎn)A到直線G尸的距離:

FDjFG

1-（一尸一號尸?。?9

|FDi1-lFGl

FF3

點(diǎn)D,到直線GF的距離為

3

故答案為：運(yùn).

3

16.已知圓C的方程為/+）2=2,點(diǎn)P是直線x-2y-5=0上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓C

的兩條切線PA,PB,A、B為切點(diǎn)，則四邊形PACB的面積的最小值為_粕_；直線

94

AB過定點(diǎn)___（",~.

-55―

解：由圓N+y2=2,得到圓心（0,0）,半徑

由題意可得：PA=PB,PA_LOA,PBLOB,

：.SPAOB^2S^AO^2X/P4|?|AO|=7^PA|,

在在△P4。中,由勾股定理可得：|PAF=|POF-產(chǎn)=|PO|2-2,

當(dāng)|PO|最小時，|PA|最小，此時所求的面積也最小，

點(diǎn)P是直線x-2y-5=0上的動點(diǎn)，

當(dāng)P。，/時，|PO|有最小值1=上義=依，此時

75

所求四邊形PAOB的面積的最小值為&X?=在；

由P在直線x-2y-5=0上，設(shè)P（2a+5,a）,則PO的中點(diǎn)坐標(biāo)為（第二y），

又1。「1=｛（2a+5）2+a'

...以O(shè)P為直徑的圓的方程為（x瓷皂）2+（y-/）2=/［（2a+5）2+a2］，

整理得x2+y2-（2a+5）x-ay=0,

與圓爐+丫2=2聯(lián)立，可得A3所在直線方程為（2。+5）x+ay-2=09

即a（2x+y）+5x-2=0.

2

聯(lián)立(2x+y=0,可得J5,即直線AB過定點(diǎn)(3，-4).

5x-2=0455

故答案為：,4").

55

四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2門

17.已知拋物線C：y=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸與曲線氏q__y2=i的右焦點(diǎn)重合.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若拋物線C上的點(diǎn)P滿足|Pf]=6,求P點(diǎn)的坐標(biāo).

2c

解：(1)因?yàn)榍€￡上一_丫2=1的右焦點(diǎn)為(2,0),

3丫

所以拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(2,0),

所以5=2,可得p=4,

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為產(chǎn)=8工

(2)設(shè)尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo,yo),

若拋物線C上的點(diǎn)尸滿足|PQ=6,所以|用=助+歹*0+2=6,

所以xo=4,則yo=±4&,

所以尸點(diǎn)坐標(biāo)為(4,±4&).

18.已知｛如｝是等差數(shù)列，｛仇｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，/=歷=1,再從①42+44=10；

②仇友=4;③兒=45這三個條件中選擇,兩個作為己知.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛兒｝的前"項(xiàng)和.

解：選條件①②，(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為"，

所以0=1,〃2+。4=2。1+41=10,解得〃i=l,d=2,

則?！?1+2(〃-1)=2n-1,〃EN*；

(2)設(shè)等比數(shù)列｛兒｝的公比為g,q>0,

==

b2bjQl-J

所以《，解得從=w，q=2,

[b2b4=b/9q4A=42

設(shè)數(shù)列仍“｝的前〃項(xiàng)和為S“，

可得S,=q(l-2)=2?-i-A.

--9

1-2

選條件①③，(1)設(shè)等差數(shù)列｛如｝的公差為d，

所以0=1,42+44=2(71+44=10,解得“1=1,d=2,

則%=1+2(n-1)=2n-1,nGN*；

(2)—="5=9,設(shè)等比數(shù)列｛5｝的公比為q,q>0,

%2=b1q=l

所以〈o，解得加=K，4=3,

J

b4=biq=93

設(shè)數(shù)列｛d｝的前n項(xiàng)和為S,?

可得S"=j~(l-3n)

-1^3-6

選條件②③，(1)設(shè)等比數(shù)列｛兒｝的公比為q,q>0,所以

%2=川=111

3

<94解得勿=胃，q=2,675=Z?4=-^-X2=4,

22

b2b4=b1q=4

設(shè)等差數(shù)列3，｝的公差為d，所以“5=0+44=4,又0=1,故〃=§,

4

所以an—1+—(n-1)

44

(2)設(shè)數(shù)列｛瓦,｝的前“項(xiàng)和為S”

由(1)可得S”=2_2二￡2_=2'「|-"

--2

19.已知直線/經(jīng)過兩條直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點(diǎn)，且與直線x+y-2=0

垂直.

(1)求直線/的方程；

(2)若圓C過點(diǎn)(1,0),且圓心在x軸的正半軸上，直線/被該圓所截得的弦長為2&，

求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解：(1)由己知得：12x-y-3-0,解得兩直線交點(diǎn)為(2,1),

[4x-3y-5=0

?.?/與x+y-2=0垂直，二心=1.

過點(diǎn)(2,1),的方程y-1=(x-2)即y=x-1.

((1-a)2=r2

(2)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+產(chǎn)=凡則q111解得a=3,r=2.

[(W)+2=r

.?.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-3)2+y2=4.

20.如圖，四棱錐P-ABC。的側(cè)面△24。是正三角形，底面A8C。是直角梯形，ZBAD

=NADC=90°,AB=AD=2DC,M是BC邊的中點(diǎn).

(1)求證：PMLAD；

(2)若P8=&AB,求直線P歷與平面PAB所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：取AO的中點(diǎn)N,連接PN,MN,

?.?△尸4。是正三角形，，吶，4。，

???底面48CD是直角梯形，NBAD=/ADC=90°,M是BC邊的中點(diǎn)，N是AD的中點(diǎn),

：.MNLAD,

又PNCMN=N,

??.AO_L平面PMN,又PMu平面PMN,

；?AD上MN.

(2)解：?:AB=AD=PA,

：.PB2=PA2+AB2,：.PA1AB,

y.ABLAD,PAC\AD=A,

...A8_L平面PAO,又ABu平面ABC。，

平面ABCDJ_平面PAD,

?.?平面A8COC平面PNA.AD,PNu平面PAQ,

.*.PN_L平面A8CZ),

已N為原點(diǎn)，己NA,NM,NP為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示：

不妨設(shè)OC=1,則P(0,0,?),A(1,0,0),B(1,2,0),M(0,1-,0),

；.隹=(1,0,-6),同=(0,2,0),而=(0,y,-愿),

設(shè)平面PAB的法向量為二=(x,y,z),

n*AB=0

°,令Z=1可得[=(如,0,1),

2y=0

/.cos<n,PM>=

InllPMl2X等7,

設(shè)直線PM與平面P4B所成角為。，則sin0=|cos<n,PM>l=2y--

故直線PM與平面PAB所成角的正弦值為近.

7

21.已知數(shù)列｛〃”｝為等差數(shù)列,S"是數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，且。2=是53=06,數(shù)列｛d｝滿足:

歷=26=4,當(dāng)〃23,〃WN*時，aibi+a2b2+…+期尻=(2n-2)hn+2.

(1)求數(shù)列｛〃〃｝,｛瓦｝的通項(xiàng)公式；

(2)令c=」"，nCN*，證明：C1+C2+…+Cn<2.

n

解：(1)數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列,，是數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，且“2=2,S3=〃6,

設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為m,公差為d,

'a1+d=2fai=1

則：\,解得：\1,

3aj+3d=a?+5d[d=l

所以〃〃=1+0-1)=〃.

數(shù)列｛0〃｝滿足：b2=2bi=4,當(dāng)〃2