湘教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)《 二次根式的概念及性質(zhì)》

5.1二次根式

5.1.1二次根式的概念及性質(zhì)

（第1課時(shí)）

教學(xué)內(nèi)容：二次根式的概念及其運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)：理解二次根式的概念，并利用&（a>0）的意義解答具體題

目.

提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵：1.重點(diǎn)：形如6（a20）的式子叫做二次根式的概

念；

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“血（a?0）”解決具體問題.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問題：

問題1：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、1、9、9、7、8,甲這次射擊的

方差是S2,那么S=.

老師點(diǎn)評(píng)：由方差的概念得5=

二、探索新知

很明顯G、M、島都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的

算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如右（a

20）的式子叫做二次根式，“，”稱為二次根號(hào).

（學(xué)生活動(dòng)）議一議：1.T有算術(shù)平方根嗎？

2.0的算術(shù)平方根是多少？3.當(dāng)a<0,G有意義嗎？

老師點(diǎn)評(píng)：（略）

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：&、6、4

(x>0)、*、蚯、-亞、一!一、Jx+y(x與0,y20).

x+y

分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“?”；第二，被開方

數(shù)是正數(shù)或0.

解：二次根式有：6、4(x>0)、屈、-亞、(x20,y20)；

不是二次根式的有：獨(dú)、1、蚯、.

xx+y

例2.當(dāng)x是多少時(shí)，病二I在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3x-l

20,67口才能有意義.

解：由3xT20,得：x>-

3

當(dāng)x》!時(shí)，后萬(wàn)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

3

三、鞏固練習(xí)P157練習(xí)1、

四、應(yīng)用拓展

例3.當(dāng)x是多少時(shí)，J2X+3+」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：要使7^^+」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足岳石中的

X+1

20和」一中的x+l#0.

x+1

e?口he,口f2x+3>0

解：依逾忘，得,

[x+lwO

由①得：

2

由②得：x#T

當(dāng)且X#-1時(shí)，J2X+3+」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

2x+1

例4(1)已知y=JTi+jr^+5,求土的值.(答案:2)

y

⑵若向K+gi=o,求心也?。。，的值.(答案：2)

5

五、歸納小結(jié)（學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評(píng)）本節(jié)課要掌握：

1.形如石（a^O）的式子叫做二次根式，“V■”稱為二次根號(hào).

2.要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

六、布置作業(yè)1.P159習(xí)題5.1A組12.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.下列式子中，是二次根式的是（）A.-V7B.V7C.6

D.x2

2.下列式子中，不是二次根式的是（）A.〃B.V16C.瓜

D.-

X

3.已知一個(gè)正方形的面積是5,那么它的邊長(zhǎng)是（）A.5B.逐C.1D.以

5

上皆不對(duì)

二、填空題

1.形如的式子叫做二次根式.2.面積為a的正方形的邊長(zhǎng)為

3.負(fù)數(shù)平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為1m，的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m,按設(shè)計(jì)需要,

底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？

2.當(dāng)x是多少時(shí)，1正l+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

X

3.若,3-x+Jx-3有意義,貝！14^=.

4.使式子J-（x-5）2有意義的未知數(shù)x有（）個(gè).A.0B.1C.2

D.無(wú)數(shù)

5.已知a、b為實(shí)數(shù)，且V^+20-2〃=b+4,求a、b的值.

第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案：一、1.A2.D3.B二、l.G（a20）2.6

3.沒有

三、1.設(shè)底面邊長(zhǎng)為x,則62x2=1,解答：x=亞.

2x+3>07...當(dāng)x>-3且xWO時(shí)，^2—3

2.依題意得：.2

2x

Xw0

+（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義.

3.-

3

4.B

5,a=5,b=~4

5.1.2二次根式的化簡(jiǎn)（1）

（第2課時(shí)）

教學(xué)內(nèi)容1.?（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；2.（6）2=a（a20）.

教學(xué)目標(biāo)

理解右（a>0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)和（夜）2=a（aBO）,并利用它們進(jìn)行計(jì)算

和化簡(jiǎn).

通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出G（a20）是一個(gè)非負(fù)

數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（&）2=a（a>0）；最后運(yùn)用結(jié)論

嚴(yán)謹(jǐn)解題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：4a（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（G）2=a（a20）及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出后（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探

究的方法導(dǎo)出（G）2=a（aNO）.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動(dòng)）口答

1.什么叫二次根式？2.當(dāng)a20時(shí)，及叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，及有

意義嗎？

二、探究新知

議一議：（學(xué)生分組討論，提問解答）&（aNO）是一個(gè)什么數(shù)呢?

老師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出

八（a—0）是一個(gè)非負(fù)數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

（A/4）J_；（）2=；（＞/9）2=；（-^3）2=_

（QJ——；-------；（"=--------

老師點(diǎn)評(píng)：4是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，血是一個(gè)平

方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有（孤）J4.

同理可得：（及）2=2,（囪）2=9,（73）2=3,（J-）2=-

V33

（而）2=0,所以（G2=a（a20）

例1計(jì)算

1.(^|)22.(345)23.(J|)24.I*)?

分析：我們可以直接利用(6)2=a(a20)的結(jié)論解題.

(375)2=32?(V5)2=32?5=45,

三、鞏固練習(xí)P157練習(xí)2、

計(jì)算下列各式的值：

（9）目；（紂；（C"；（4目；（3后一（5百『

四、應(yīng)用拓展

例2計(jì)算

1.(V7+T)2(x20)2.(V?)*23.(J/+2a+i)24.(2殳+)

2

分析：(1)因?yàn)閤20,所以x+l〉O；(2)a2^0；(3)a2+2a+l=(a+1)

20；

(4)4x-12x+9=(2x)-2?2x-3+32=(2x-3)2^0.

所以上面的4題都可以運(yùn)用(右)2=a(a20)的重要結(jié)論解題.

解：(1)因?yàn)閤20,所以x+l>0(Jx+1);=x+l

(2)Va2^0,/.(V?)2=a2

(3)Va+2a+l=(a+1)2又；(a+1)2^0,Aa2+2a+l>0,

yja2+2a+l=aJ+2a+l

(4)V4x-12x+9=(2x)2-2?2x-3+32=(2x-3)2又；(2x-3)2^0

.,.4x-12x+9^0,Z.(A/4X2-12X+9)2=4x2-12x+9

例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：(1)X2-3(2)X'-4⑶2/-3

五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.\[a(a^O)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；2.(6)2=a(a20);反之:a=(&)

2(a>0).

六、布置作業(yè)1.P159習(xí)題5.1A組2、2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.下列各式中至、島、揚(yáng)_]、址+及、1>+20、V-144,二次

根式的個(gè)數(shù)是().A.4B.3C.2D.1

2.數(shù)a沒有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是().A.a>0B.a20C.a<0

D.a=0

二、填空題

I.(-6)2=.2.已知VTXT有意義，那么是一個(gè)數(shù).

三、綜合提高題

1.計(jì)算(1)(?)2(2)-(V3)2(3)(-V6)2(4)(-3./-)

2V3

2

⑸(26+3近)(26-3夜)

2.把下列非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x20)

6

3.已知Jx-y+l+VT^=O,求/的值.

4.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：(1)X2-2(2)x4-93X2-5

第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案：一、1.B2.C二、1.32.非負(fù)數(shù)

三、1.(1)(囪)J9(2)-(>/3)2=-3

2

(3)(i>/6)=1X6=-(4)(-3J-)2=9X-=6(5)-6

242V33

2.(1)5=(75)2(2)3.4=(聞)2

(x'O)

==

x—y+lOx3/、？/i-、//一、

3.1Jxv=34=814.(1)x-2=(x+v2)(x->/2)

x-3-0[y=4

(2)x-9=(X2+3)(X-3)=(x2+3)(x+百)(x-8)⑶略

5.1.2二次根式的化簡(jiǎn)(2)

(第3課時(shí))

教學(xué)內(nèi)容：=a(a?0)

教學(xué)目標(biāo)：理解V7=a(a20)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究必=a(a20),并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問

題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵1.重點(diǎn)：J/=a(a?0).2.難點(diǎn)：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a20時(shí),=a才成立.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：老師口述并板書上兩節(jié)課的重要內(nèi)容;

1.形如G(a20)的式子叫做二次根式；

2.8(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

3.(\Ja)J=a(a，0).

那么，我們猜想當(dāng)a20時(shí)，必=2是否也成立呢？下面我們就來(lái)探究這個(gè)

問題.

二、探究新知(學(xué)生活動(dòng))填空:

(老師點(diǎn)評(píng))：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：

岳=2；Vo.oi2=0.01；尸二1；J(g)2；而=。；二).

因此，一般地：(a20)

例1化簡(jiǎn)

(1)V9(2)7(-4)2(3)V25(4)J(-3打

分析：因?yàn)?1)9=-32,(2)(-4)M2,(3)25=5%

(4)(-3)J32,所以都可運(yùn)用J/=a(a20)去化簡(jiǎn).

解：(1)乒后=3(2)](—4)2="=4(3)V25=VF=5(4)

7^=疔=3

三、鞏固練習(xí)P157練習(xí)3.

四、應(yīng)用拓展

例2填空：當(dāng)a20時(shí)，77=；當(dāng)a<0時(shí)，,并根據(jù)

這一性質(zhì)回答下列問題.

(1)若必=a,則a可以是什么數(shù)？

(2)若V7=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)V7>a,則a可以是什么數(shù)？

分析：???>//=a(a20),.?.要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格

就不行，應(yīng)變形，使"()”'中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)椋?dāng)aWO時(shí)，病=而存，

那么-aNO.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)

(1)、(2)可知而=|a|,而|a|要大于a,只有什么時(shí)候才能保證呢？

a<0.

解：(1)因?yàn)閤/?=a,所以a?0；(2)因?yàn)樗詀WO；

(3)因?yàn)楫?dāng)a20時(shí)J/=a,要使即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0

時(shí)，J/=-a,要使\Z^>a,即使-a>a,a<0綜上，a<0

例3當(dāng)x>2,化簡(jiǎn)J(x—2)2-J(l-2x)2.

五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：

J/=a(a2O)及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，J/=-a的應(yīng)用拓展.

六、布置作業(yè)1.P159習(xí)題5.1A組32.選作課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.J(2；)2+J(—2；)2的值是().A.0B.|C.4|D.以

上都不對(duì)

2.a?0時(shí)，病、/了、-正，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正

確的是().

A.=7(-?)24^B.后〉J(-a)2)一冊(cè)

C.<y/(-a)2<-\[^D.-7?>后=J(-a)2

二、填空題

1.-J0.0004=.2.若-20m是一個(gè)正整數(shù),則正整數(shù)m的最小

值是.

三、綜合提高題

1.先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+，l一2a+Y的值,甲乙兩人的解答如下:

甲的解答為：原式=a+J(1-4=a+(1-a)=1；

乙的解答為：原式=a+=a+(a-l)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是.

2.若|1995-a|+夜-2000=a,求aT995?的值.

(提示：先由a-200020,判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對(duì)值)

3.若-3WxW2時(shí)，試化簡(jiǎn)|x-2|+7(%+3)2+Vx2-10x+25。

答案：一、1.C2.A二、1.-0.022.5