CH7 高等數(shù)學(xué)第七章

習(xí)題7-11—5題寫在書上，6題寫在作業(yè)本上習(xí)題7-21題，2題一半，3題一半，4題，5—8題寫在書上。習(xí)題7-32、3題寫在書上，4題全部習(xí)題7-41題，3題的6個小題，4題，6題習(xí)題7-51題一半，2題一半第七章的習(xí)題希望認真地做一些作業(yè)，以便更好地理解所學(xué)內(nèi)容2024/5/121同學(xué)們，你們好！How’severythinggoing，

Mychildren！2024/5/122第六章無窮級數(shù)數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)傅立葉級數(shù)2024/5/123正如有限中包含著無窮級數(shù)，而無限中呈現(xiàn)著極限一樣，無限之靈魂居于細微之處，而最緊密地趨近卻并無止境．區(qū)分無窮大之中的細節(jié)令人喜悅！小中見大，多么偉大的神力．—雅克·貝奴里Jakob．Bernoulli，1654—1705，瑞士數(shù)學(xué)家2024/5/124第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)有關(guān)概念級數(shù)性質(zhì)2024/5/125什么叫做級數(shù)？設(shè)有一個無窮數(shù)列則表達式就稱為常數(shù)項無窮級數(shù)．稱為級數(shù)的一般項或通項．叫級數(shù)的部分和或前n項和．稱為級數(shù)的余項(和）或余級數(shù)．部分和構(gòu)成的新數(shù)列稱部分和數(shù)列．2024/5/126對于級數(shù)，我們能做些什么？第一，首先應(yīng)看這樣的和是否存在，即級數(shù)的收斂性問題．如何判別這樣的和是否存在？第二，如果級數(shù)的和存在，如何求出？第三，級數(shù)技術(shù)的簡單應(yīng)用．2024/5/127一．?dāng)?shù)項級數(shù)的收斂性概念定義

若級數(shù)的部分和序列的極限存在，即存在，則稱級數(shù)（※）收斂，相應(yīng)的極限值稱為級數(shù)的和．否則就說級數(shù)是發(fā)散的．收斂級數(shù)的和可記為注１發(fā)散的級數(shù)沒有和；注２收斂級數(shù)中如果用作為S的近似值，則產(chǎn)生的誤差為再次看到極限的威力了吧！2024/5/128例１討論級數(shù)的收斂性．解因為級數(shù)的部分和序列的項隨n的增大在0和1之間擺動，故不存在．從而級數(shù)發(fā)散．此級數(shù)被稱為“魔鬼級數(shù)”，在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上曾迷惑了眾多著名的數(shù)學(xué)家．比如有人得出而貝奴里家族有3人,Leibnitz,Euler,Lagrange等一代大家用各種各樣的方法得到該級數(shù)的和是1/2.這就是發(fā)散級數(shù)的魔力所在.(當(dāng)然還有另外的例子)2024/5/129例２判定級數(shù)的收斂性解級數(shù)的前n項和故僅當(dāng)|q|<1時，存在，且從而級數(shù)稱為等比級數(shù)或幾何級數(shù)．q

稱為公比．牢記結(jié)論當(dāng)q=1時，當(dāng)q=－1時，或0當(dāng)時收斂，且級數(shù)當(dāng)時發(fā)散。2024/5/1210等比級數(shù)是經(jīng)常使用的，因此要牢記結(jié)論．如果不注意條件，就會鬧出許多奇怪的結(jié)果．比如，Leibnitz就曾經(jīng)得到過歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家Euler也曾有的荒唐結(jié)果．這說明級數(shù)的收斂性是多么的重要！關(guān)于“魔鬼級數(shù)”及本屏的例子可參見M.Klein著《古今數(shù)學(xué)思想》第二冊。2024/5/1211幾何級數(shù)是收斂級數(shù)中最重要的一個級數(shù)．阿貝爾曾經(jīng)指出：“除了幾何級數(shù)之外，數(shù)學(xué)中不存在任何一種它的和已經(jīng)被嚴(yán)格確定的無窮級數(shù)”．幾何級數(shù)在判別級數(shù)收斂性、求級數(shù)的和以及將一個函數(shù)展開為無窮級數(shù)等方面都有著廣泛而重要的作用．Niels

HenrikAbel，1802—1829，挪威數(shù)學(xué)家2024/5/1212例3討論級數(shù)的收斂性解因為級數(shù)的前n

項和而所以2024/5/1213例4討論的收斂性而所以2024/5/1214例5討論調(diào)和級數(shù)的收斂性．解作函數(shù)的圖象123456xy再以[n,n+1]為底,f(n)為高作矩形,則其面積于是，有2024/5/1215一般地，有但從而，調(diào)和級數(shù)發(fā)散．因此調(diào)和級數(shù)也是非常重要的一個級數(shù)．2024/5/1216當(dāng)

n

越來越大時，調(diào)和級數(shù)的項變得越來越小，然而,慢慢地——非常慢慢地——它的和將增大并超過任何有限值.調(diào)和級數(shù)的這種特性使一代又一代的數(shù)學(xué)家困惑并為之著迷.它的發(fā)散性是由法國學(xué)者尼古拉.奧雷姆（1323-1382）在極限概念被完全理解之前約400年首次證明的.下面的數(shù)字將有助于我們更好地理解這個級數(shù).這個級數(shù)的前一千項相加約為7.485；前一百萬項相加約為14.357；前一萬億項相加也不過僅僅28而已；而如果要調(diào)和級數(shù)的和超過100，有人估計需要前10的43次方項相加，即使每一項只占1毫米的位置，要把這些項寫出來，也要10的25次方光年，而宇宙的已知尺寸據(jù)估計也就不過10的12次方光年。數(shù)學(xué)史料2024/5/1217二．級數(shù)的性質(zhì)下面介紹級數(shù)的簡單性質(zhì)，主要是收斂級數(shù)的性質(zhì)，這是我們在處理級數(shù)問題時經(jīng)常用到的性質(zhì)１(級數(shù)收斂的必要條件)如果級數(shù)收斂，則此性質(zhì)是級數(shù)收斂的必要條件，而非充分條件．比如調(diào)和級數(shù)因此，用它并不能判斷級數(shù)是收斂的，但有時可非常容易判斷級數(shù)的發(fā)散．例如，魔鬼級數(shù)的一般項其極限不存在，從而魔鬼級數(shù)發(fā)散．當(dāng)?shù)缺燃墧?shù)的公比的絕對值不小于１時，有類似的情形．例7-1-5也是如此。2024/5/1218性質(zhì)2如果級數(shù)都收斂，則級數(shù)也收斂，而且性質(zhì)３是說，兩個收斂級數(shù)的一般項的和(差)為一般項的新級數(shù)不僅收斂，而且新級數(shù)的和為原來兩級數(shù)的和（差）．即可以逐項相加減。性質(zhì)3用非零常數(shù)k

乘級數(shù)的每項后得到的新級數(shù)與原級數(shù)有相同的斂散性．即的斂散性相同．但注意k

不能為０．性質(zhì)４告訴我們，不管級數(shù)是否收斂，分配律總是成立的．2024/5/1219性質(zhì)4級數(shù)前面增加或減少有限項，不改變級數(shù)的收斂性．即級數(shù)(m

為確定的正整數(shù))與有相同的斂散性.此性質(zhì)是說,為了討論級數(shù)的收斂性問題,可以加上或去掉有限項.這樣就給我們的討論帶來了方便.性質(zhì)5對收斂的級數(shù)，結(jié)合律成立！即收斂的級數(shù)可以任意加括號！對發(fā)散的級數(shù)則不可??！想想“魔鬼級數(shù)”？因此我們討論級數(shù)收斂與否，不必考慮前有限項！2024/5/1220以下問題提供給同學(xué)們思考：問題１：性質(zhì)4中的有限項的條件是否可以去掉？問題２：對于性質(zhì)2，如果去掉條件兩個級數(shù)都收斂，你可以得到什么樣的結(jié)論？問題３：如果和級數(shù)收斂或發(fā)散，有何結(jié)論？2024/5/1221對于問題２和３，可完成下列表格：收斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散發(fā)散收斂發(fā)散收斂發(fā)散收斂發(fā)散填入收斂，發(fā)散，不定等想想極限的相關(guān)事實？！參考例7-1-62024/5/1222第二節(jié)正項級數(shù)2024/5/1223一．正項級數(shù)的收斂性如果級數(shù)的每一項都是非負的，則稱為正項級數(shù)．對于正項級數(shù)，其部分和序列是單調(diào)不減序列故若再有界，根據(jù)極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則，則部分和序列的極限存在，從而級數(shù)收斂；如果部分和序列無界，則，那么級數(shù)發(fā)散．因此我們有基本定理正項級數(shù)收斂的充要條件是其部分和序列有界．之所以叫做基本定理是由于它是推導(dǎo)其它判別準(zhǔn)則的基礎(chǔ)．正項級數(shù)要么收斂，要么趨于正無窮大！2024/5/1224例1討論p－級數(shù)的收斂性．解當(dāng)p＝1時，級數(shù)是調(diào)和級數(shù)，對應(yīng)p級數(shù)發(fā)散．當(dāng)p＜1時，由于由于調(diào)和級數(shù)發(fā)散，知p級數(shù)發(fā)散．當(dāng)p＞1時，123456xy如圖構(gòu)造函數(shù)和矩形，則有一般地，2024/5/1225故p

級數(shù)的前n

項和即有上界,據(jù)基本定理,收斂.總之,當(dāng)p＞1時，收斂.發(fā)散．記住此結(jié)論！使用比較判別法時常用一些熟悉的級數(shù)．2024/5/1226當(dāng)記住了p級數(shù)的收斂性之后，可思考以下問題：若正項級數(shù)收斂，那么以下級數(shù)哪個收斂？哪個發(fā)散？假如發(fā)散，情況又怎樣呢？未來的重要思考：如果不是正項級數(shù)，你的結(jié)論還成立嗎？！2024/5/1227基本定理是判別正項級數(shù)收斂與否的重要依據(jù)，但有時候部分和是很難化簡的，從而判斷有界性也是很困難的。因此我們需要一些“形式”上比較簡單的、容易使用的判別正項級數(shù)收斂性的法則。特別要注意的是：這些法則大都是以基本定理為前提證明的。二、幾個常用的正項級數(shù)審斂法1.積分判別法(Cauchy)若存在某個正數(shù)a

，使f(x)在區(qū)間上是連續(xù)單減的正值函數(shù)，則與同時收斂，同時發(fā)散。本判別法將正項級數(shù)的收斂性與廣義積分的收斂性聯(lián)系在一起了。2024/5/1228例2討論的收斂性。解設(shè)則在區(qū)間上，且連續(xù)單減，而據(jù)積分判別法時，原級數(shù)收斂；時，發(fā)散2024/5/12292．比較判別法(James貝奴里,1692)(1)如級數(shù)收斂,設(shè)是兩個正項級數(shù)，且則收斂;(2)如級數(shù)發(fā)散,則也發(fā)散．簡單地說：小的發(fā)散，則大的發(fā)散”．“若大的收斂，則小的也收斂；使用比較判別法的關(guān)鍵是找到一個合適的用以比較的級數(shù)，這需要經(jīng)驗及積累，記住一些常見的級數(shù)的收斂性．重要思考問題：如果不是正項級數(shù)，此判別法是否還成立？！如幾何級數(shù)和p級數(shù)？2024/5/1230例3判別下列級數(shù)的收斂性由p

級數(shù)的收斂性和比較判別法，知（1）發(fā)散，而（2）收斂簡單分析：2024/5/1231（3）使用積分判別法極易，使用比較法稍繁。利用熟知的事實：當(dāng)當(dāng)n

很大時，即然后利用比較法和p

級數(shù)的收斂性，知原級數(shù)收斂2024/5/1232先對級數(shù)的通項進行估計：然后利用比較法和p

級數(shù)的收斂性，知原級數(shù)收斂注意不能放得過大！2024/5/1233下面介紹比較判別法的極限形式：設(shè)都是正項級數(shù)，如果(C是常數(shù))，則兩個級數(shù)的斂散性相同．從以上的例子中，有時利用比較判別法是不容易的也許好用？注意這是教材推論的主要部分??！其特點是可以利用無窮小比較的知識！2024/5/1234例4判別收斂性．解由比較判別法的極限形式，知與有相同的斂散性．但后者是p＝2的p

級數(shù)，收斂．所以，原級數(shù)收斂．思考：你能用比較判別法完成此題嗎？聊舉一例．當(dāng)p

滿足何種條件時，級數(shù)收斂2024/5/1235還記得等價無窮小嗎？結(jié)合等價無窮小以及p級數(shù)的收斂性，利用比較法的極限形式，可以解決一些級數(shù)的收斂問題！比如：這些級數(shù)的收斂性如何？教材例7-2-42024/5/12363．比值判別法(D’Alembert,1768)比值判別法是另一種方便的判別正項級數(shù)收斂性的方法．相對于比較判別法，它無須尋找另外的級數(shù)．因此在某些意義下，是更簡單的判別法．定理設(shè)是正項級數(shù)，而(1)若ρ<1，則收斂；(2)如ρ>1，則發(fā)散；(3)若ρ=1，此判別法失效．注：ρ>1，可以是正無窮大！2024/5/1237例5討論下列兩個級數(shù)的收斂性：解由達朗貝爾比值判別法，第一個級數(shù)發(fā)散，而第二個級數(shù)收斂。2024/5/1238例6判別的斂散性．解由于由比值判別法，所給級數(shù)發(fā)散．極限是多少？2024/5/12394．根值法(Cauchy)定理對正項級數(shù)，若(1)若ρ<1，則收斂；(2)如ρ>1，則發(fā)散；(3)若ρ=1，此判別法失效．注：如同達朗貝爾比值法，當(dāng)ρ>1，可以是正無窮大！從使用角度看，根值法與比值法是等效的，但根值法用得較少，比值法用得較多！2024/5/1240例7判定的收斂性.解由柯西的根值法，級數(shù)收斂.判定的斂散性。由柯西的根值法，級數(shù)收斂.2024/5/1241一般地，我們要判定一個數(shù)項級數(shù)是否收斂，第一步檢查一下級數(shù)的一般項是否趨于0．若不趨于0，則由級數(shù)收斂的必要條件，級數(shù)發(fā)散；若趨于0，再檢查是否正項級數(shù)(注意:只需某項之后的所有項非負即可);如果是,則可應(yīng)用比較法,比值法,根值法等判定.如果不是正項級數(shù),則需要用其它的方法.2024/5/1242第三節(jié)一般項級數(shù)2024/5/1243當(dāng)一個數(shù)項級數(shù)含有無窮多個正項和無窮多個負項，則稱為一般項級數(shù)。首先我們討論特殊的一般項級數(shù)—交錯級數(shù)：正項和負項交替出現(xiàn)的級數(shù)。一．交錯級數(shù)，Leibnitz準(zhǔn)則所謂交錯級數(shù)，是各項正，負相間的級數(shù)．一般形式為或其中這不是正項級數(shù)，其收斂性不能用上節(jié)的判別法判定．如果只有有限個正項或只有有限個負項怎么辦？2024/5/1244Leibnitz在1713年10月25日給約翰.貝奴里的一封信中，對交錯級數(shù)的收斂給出了以下判別準(zhǔn)則：如果(1)那么交錯級數(shù)收斂，而且級數(shù)的和的絕對值余項的絕對值Leibnitz準(zhǔn)則注意：1.滿足Leibnitz準(zhǔn)則的交錯級數(shù)可被稱為“Leibnitz級數(shù)”。2.準(zhǔn)則中的第二個條件是必要條件，而第一個卻不是。換句話說，即使第一個條件不滿足，交錯級數(shù)也可能收斂！2024/5/1245例1判別以下級數(shù)的收斂性：解顯然兩個級數(shù)都是交錯級數(shù)．對第一個級數(shù)，因為且故由Leibnitz準(zhǔn)則，級數(shù)收斂．如果用前10項的和作為級數(shù)的和的近似值,則誤差不超過1/11.至于第二個級數(shù)，由于故根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件知，該級數(shù)發(fā)散．更一般些，當(dāng)p>0時，收斂2024/5/1246二．任意項級數(shù)的收斂性—絕對收斂與條件收斂對任意項級數(shù)，并沒有一個統(tǒng)一方法解決收斂性問題，但我們有一個辦法解決其中的一批級數(shù)．即定理如果級數(shù)收斂，則級數(shù)必收斂．這個定理把許多任意項級數(shù)的收斂性的判別問題化為了正項級數(shù)的收斂性判定問題．我們把級數(shù)叫做的絕對值級數(shù)上面的定理可敘述為：“若絕對值級數(shù)收斂，則原級數(shù)必收斂”。2024/5/1247如果級數(shù)收斂，則級數(shù)必收斂，此時，稱是絕對收斂的；如果收斂，但發(fā)散，則稱條件收斂．這樣，上面的定理又可以說成：“絕對收斂的級數(shù)必是收斂的”定義2024/5/1248例2討論以下級數(shù)的收斂性，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？(1)但收斂；由比較判別法收斂，故絕對收斂。由于x

可以取任何實數(shù)，級數(shù)是一般項級數(shù)2024/5/1249（2）級數(shù)是萊布尼茲級數(shù)，故收斂；但其絕對值級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)是條件收斂的。問題：若收斂，則必收斂嗎？2024/5/1250（3）這也是一個交錯級數(shù)，但由于故由級數(shù)收斂的必要條件，知發(fā)散。2024/5/1251（4）x>0時，級數(shù)是正項級數(shù)，x<0時是交錯級數(shù)。首先考慮其絕對值級數(shù)由達朗貝爾比值法時，原級數(shù)絕對收斂；時，發(fā)散；時為什么？2024/5/1252故原級數(shù)發(fā)散?？傊瑫r，原級數(shù)絕對收斂；時，原級數(shù)發(fā)散。2024/5/1253最后，我們指出以下幾個關(guān)于運算律的事實：(1)無論級數(shù)是否收斂,分配律總是成立的;(2)收斂的級數(shù)滿足結(jié)合律,發(fā)散則不可(參見“魔鬼級數(shù)”)(3)絕對收斂的級數(shù)滿足交換律.再次強調(diào)一下判定級數(shù)收斂性的一般步驟:(1)檢查一般項是否趨于0?(2)是否為正項級數(shù)?(3)是否交錯級數(shù)?是否可使用Leibnitz準(zhǔn)則?(4)絕對收斂還是條件收斂?抑或發(fā)散?2024/5/1254第四節(jié)冪級數(shù)什么是冪級數(shù)收斂范圍如何有何運算規(guī)律如何求其和2024/5/1255前面幾節(jié)的級數(shù)中的每項都是常數(shù)，而下面級數(shù)的通項是函數(shù)。一、函數(shù)項級數(shù)的概念是定義于區(qū)間I

上的函數(shù)的無窮序列，則稱為函數(shù)項級數(shù)，而稱為函數(shù)項級數(shù)的前n

項和或部分和2024/5/1256對于區(qū)間

I

內(nèi)的點若數(shù)項級數(shù)收斂，則稱為函數(shù)項級數(shù)的一個收斂點，否則叫做發(fā)散點。函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的集合D

叫收斂域。對于收斂域內(nèi)的每個點x

，都有函數(shù)項級數(shù)的一個和值與之對應(yīng)，這樣就確定了一個定義在收斂域上的函數(shù)S(x)，叫做函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)。函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)S(x)與部分和的差，叫余項，記作顯然對收斂域內(nèi)的每個點x，2024/5/1257例如：函數(shù)項級數(shù)是公比為x

的幾何級數(shù)。我們已經(jīng)知道：當(dāng)且僅當(dāng)時，級數(shù)收斂，故收斂域為對收斂域內(nèi)的點x

，故幾何級數(shù)的和函數(shù)為我們討論函數(shù)項級數(shù)的主要任務(wù)就是確定收斂域，并設(shè)法求出和函數(shù)！2024/5/1258二．冪級數(shù)及其收斂半徑冪級數(shù)是最簡單的函數(shù)項級數(shù)，也是最重要的，可以看作是多項式的推廣．１．什么是冪級數(shù)？形如或的級數(shù)．我們僅討論前者，至于后者是不難化為前者的．因此，以后我們說到冪級數(shù)總指前者．2024/5/1259２．冪級數(shù)的收斂域?qū)τ趦缂墧?shù)其收斂域一定是非空的，起碼x=0屬于收斂域！一般地如何求冪級數(shù)的收斂域呢？我們可以使用以下的Abel定理：若是的收斂點，則對滿足條件的一切x

，冪級數(shù)都絕對收斂；若是的發(fā)散點，則對滿足條件的一切x

，冪級數(shù)都發(fā)散。2024/5/1260幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域由Abel定理，立知：冪級數(shù)收斂域必是以原點O為中心的區(qū)間故收斂域可分為以下三種情形：3.只有一個點：x=0。1.有限區(qū)間：2.無限區(qū)間：叫收斂半徑，叫收斂區(qū)間。2024/5/1261看起來，只要求得了收斂半徑R，立即可得到收斂區(qū)間，確定收斂域就只剩下個別點了！那么如何求得冪級數(shù)的收斂半徑R呢？可依據(jù)以下定理：對于冪級數(shù)則請與正項級數(shù)的比值判別法比較，若2024/5/1262關(guān)于定理的幾點說明：1.定理可改為：2.考慮到柯西根值法與達朗貝爾比值法的等效性可以改為：3.如果是缺項的冪級數(shù)，可不用定理，直接使用比值法（或根值法）求得收斂區(qū)間！即解不等式得收斂區(qū)間4.如果冪級數(shù)形如則收斂區(qū)間為2024/5/1263求下列冪級數(shù)的收斂域:解例1收斂區(qū)間為在區(qū)間端點，級數(shù)分別成為前者收斂，后者發(fā)散，故冪級數(shù)的收斂域為2024/5/1264例2解故冪級數(shù)的收斂域只含一個點冪級數(shù)的收斂半徑2024/5/1265例3收斂區(qū)間解收斂區(qū)間為在區(qū)間端點，級數(shù)分別成為都收斂，故冪級數(shù)的收斂域為2024/5/1266解由缺少奇次冪的項例4直接使用比值法！解得收斂區(qū)間區(qū)間端點使得原級數(shù)發(fā)散，故以上區(qū)間就是收斂域。能否用根值法？事實上，注意到此級數(shù)是公比為的幾何級數(shù)，收斂區(qū)間立即可得。2024/5/1267三．冪級數(shù)的運算１．代數(shù)運算性質(zhì)冪級數(shù)的收斂區(qū)間分別為則在他們的公共區(qū)間內(nèi)可進行下列計算：①和差運算②乘法運算其中Cauchy乘積除法幾乎沒用！2024/5/1268２．分析運算性質(zhì)④冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)，可逐項求導(dǎo)，且收斂半徑不變．③冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)連續(xù)。因此即⑤冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)，可逐項積分，且收斂半徑不變．2024/5/1269例如：已知兩邊求導(dǎo)，得即如果對已知級數(shù)兩邊積分令則可得這就是教材的例7-4-5積分區(qū)間是？2024/5/1270例5求冪級數(shù)的和函數(shù)。解由知收斂半徑為故級數(shù)的收斂域為設(shè)和函數(shù)求導(dǎo)得兩邊積分但所以2024/5/1271解兩邊積分得2024/5/1272例7求數(shù)項級數(shù)的和解構(gòu)造冪級數(shù)易知收斂域是故所求數(shù)項級數(shù)之和為所以利用冪級數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項級數(shù)之和的方法叫做Abel法幾何級數(shù)2024/5/1273常用的冪級數(shù)的和函數(shù)：思考：還有一個“二項式”級數(shù)，這五個是需要記下的！！注意：這樣的記法并不完整，一定要寫出收斂域！！2024/5/1274第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開三個問題：１．什么是函數(shù)的Taylor展開式？２．泰勒展開式是否就收斂于某指定的函數(shù)？３．如何展開？（重點）2024/5/1275多項式是具有良好分析性質(zhì)的簡單函數(shù)，那么能否把一個較復(fù)雜的函數(shù)表達成一個多項式來討論？一般來說，這不容易辦到．但是能否用冪級數(shù)呢？在某些條件下這是可能的，也是在實際應(yīng)用中非常重要的方法．如果函數(shù)f(x)在以為中心的一個區(qū)間內(nèi)可以用收斂的冪級數(shù)表示，即則稱函數(shù)可展開為冪級數(shù)，而等式右端的冪級數(shù)叫做函數(shù)的冪級數(shù)展開式。2024/5/1276一、泰勒級數(shù)如果函數(shù)可展開為冪級數(shù)，則該冪級數(shù)是什么形式的？即系數(shù)應(yīng)該是什么？定理1如果則也就是說定理表明函數(shù)的冪級數(shù)展開式是唯一的！藍色式子右端的冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的Taylor級數(shù)特別地，當(dāng)時，叫做Maclaurin

級數(shù)。好苛刻的條件！！Taylor系數(shù)2024/5/1277Taylor級數(shù)的前n+1項之和叫做函數(shù)

f(x)在點的n

階Taylor多項式，記作而稱為n

階Taylor余項余項的作用是用以控制截斷誤差的！2024/5/1278對一個函數(shù)，只要其任意階導(dǎo)數(shù)存在，就可以寫出它的泰勒級數(shù)，那么這個冪級數(shù)收斂于原來的函數(shù)嗎？答案是：不一定．這就是說，寫出的泰勒級數(shù)也不能用．只有在收斂的部分（收斂到已知函數(shù)）才有意義．那么在什么樣的條件下，一個函數(shù)能用其泰勒級數(shù)表示呢？我們有下面的收斂定理：例子定理2若f(x)在點有任意階的導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)，f(x)的Taylor級數(shù)收斂于f(x)的充要條件是2024/5/1279只有在此時，才有下面的等式成立！我們在把一個函數(shù)展開為冪級數(shù)時，必須要驗證余項趨于零這一步！！二、泰勒中值定理根據(jù)定理1和定理2，已經(jīng)可以把函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，但是還有困難：余項的形式是一個級數(shù)形式，驗證趨于零很不容易！另外從使用的角度，要求函數(shù)具有任意階的導(dǎo)數(shù)，這樣的條件也太苛刻了點。2024/5/1280為此，我們給出下面的Taylor中值定理設(shè)

f(x)在的附近的點有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則對附近的任一點x

，至少存在一個介于和x

之間的點，使得n

階泰勒多項式Lagrange型余項2024/5/1281幾點說明：1.定理的條件要比定理2的條件弱的多，故使用范圍得到了擴大；2.Lagrange型余項替代了級數(shù)形式的余項，驗證更方便；3.定理中出現(xiàn)的公式叫做n

階Taylor中值公式，而0階Taylor公式正是Lagrange中值公式。因此Lagrange公式是特殊的Taylor公式！有時候偶爾也會用到Peano

型的余項：2024/5/1282介于0與x

之間這是常見常用的公式4.時，公式是Maclaurin

公式：2024/5/1283三、如何把一個函數(shù)展開為其泰勒級數(shù)把一個函數(shù)展開為冪級數(shù)（麥克勞林級數(shù)）有二法：直接法和間接法．１．直接方法：１）求各階導(dǎo)數(shù)２）寫出泰勒級數(shù)，并求出收斂區(qū)間；3）在收斂區(qū)間內(nèi)，驗證余項趨于０。2.間接方法：利用已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式、收斂域及冪級數(shù)的運算性質(zhì)，寫出函數(shù)的冪級數(shù)展開式的方法。2024/5/1284例１求的Maclaurin展開式．解故已知函數(shù)的泰勒級數(shù)為此級數(shù)的收斂區(qū)間是而泰勒余項的絕對值所以的冪級數(shù)展開式為注意補充必要的步驟直接方法哪種類型的余項？？2024/5/1285例2解在討論余項時，可簡化為討論是否存在M,使直接方法2024/5/1286例3解牛頓二項式的推廣直接方法2024/5/1287例子中我們略去了討論余項的步驟！注意:你能利用二項式級數(shù)寫出的馬克勞林展開式嗎？此級數(shù)稱為二項式級數(shù)這幾點不需要記！2024/5/1288間接法的例子利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導(dǎo),逐項積分等方法,求展開式.這是常用的方法，但前提是必須記住一些常見的