安徽省中職數(shù)學(xué)公式及考點(diǎn)解析(2016年)

中職學(xué)校數(shù)學(xué)常用公式及考點(diǎn)解析(2016)

一、集合

考點(diǎn)：集合元素的無(wú)序性，互異性；元素與集合，集合之間的關(guān)系；集合的交并補(bǔ)運(yùn)算；｛0｝與0,N,Z,Q,

R之間的關(guān)系；集合的子集，真子集；充要條件。

1集合｛q，4,…，%｝的子集有2"個(gè)；真子集有2"—1個(gè)；非空子集有2"-1個(gè)；非空真子集有2"-2個(gè).

2充要條件：

①png,則p是q的充分條件，亦可稱q是p的必要條件；

②pnq,且q為p,則p是q的充分不必要條件；

③p今q,但qnp,則p是q的必要不充分條件；

④p/[，且qW>p,則p是q的既不充分又不必要條件。

3常見(jiàn)詞和反設(shè)詞的含義比較：大于(不大于)-一如x>4(x44)；

小于(不小于)--如y<3(y?3)；至少一個(gè)(一個(gè)也沒(méi)有)一-即x?l(x=O)；

至多有一個(gè)(至少有兩個(gè))一-即xWl(xN2)；p或q(-卯且-iq),p且q(-卯或「q)

如：方程/一3%+2=0的兩根是x=l或x=2,而不等式f-3X+2HO的解為xHl且x，2。

二、不等式

考點(diǎn)：不等式基本性質(zhì)；區(qū)間表示；一元一次不等式組；一元二次不等式；簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式。

4不等式基本性質(zhì)：a>b,b>c=>a>c(傳遞性)；a>b=>a+c>b+c(加法原理)

,…[a>b,c>Q=>ac>b-c一,?

a>b,c>d^=>a+c>b+c(可加性)；<(乘法原理)

a>b,c<0=>a-c<bc

a>b>O,c>d>Q=>ac>hd(可乘性)

幾個(gè)非負(fù)式:對(duì)于都有|4-6|20,于一bp20,豚+120成立(>

注意：a>b=>ac2>bc2(x),ac2>bc2=>a>Z)(V)

5作差法比較實(shí)數(shù)大?。?/p>

a-b>0=>a>h

<a-b=O=a=b注意：當(dāng)被減式、減式是多項(xiàng)式時(shí)，必須添上括號(hào)！

a—b<Q=>a<h

6區(qū)間：分開(kāi)區(qū)間，閉區(qū)間，半開(kāi)半閉區(qū)間三類。

注意：區(qū)間右端點(diǎn)總大于左端點(diǎn)：-8在左且為開(kāi)，+8在右且為開(kāi)。如(一8,2]和(4,+8)。

x>a[x>a

7一兀一次不等式組：若a<b,則有：\=>xw(b,+8),i=>xe(a,b)；

x>b[x<b

x<a\x<a

<=>XG(-oo,a),<=>xe0

x<b[x>/>

8一元二次不等式：ax2+bx+c>O(Sg<0)(a>0,A=-Aac>0),若辦2+灰+，>0,則其解集

在兩根之外；若辦2+區(qū)+。<0,則其解集在兩根之間.

注意：①對(duì)于。<0時(shí)，可將不等式兩邊同乘以-1將其化為正。

②若G2+以+。易于分解因式，則可以用十字相乘法或乘法公式計(jì)算兩根，否則，應(yīng)該用求根公

式計(jì)算兩根?！鳌?)的情形只需簡(jiǎn)單了解。

9含有絕對(duì)值的不等式：當(dāng)。>0時(shí)，有

\x\<a-a<x<a,

W>a=x>a或x<-a.

注意：遇到形如|ax+A|＜c,一般應(yīng)將ax+6看成整體x應(yīng)用以上公式。

三、函數(shù)

考點(diǎn)：函數(shù)概念；函數(shù)的定義域；函數(shù)表示法；二次函數(shù)；函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的單調(diào)性。

10函數(shù)概念：結(jié)合圖像判斷(x-?/(x)若“一對(duì)一或多對(duì)一”即為函數(shù)，否則“一對(duì)多”等不是)

11函數(shù)定義域：y=/(x)中若/(x)是：①整式，貝！|xw及；②分式，則使分母不為0；③偶次根式，則

使被開(kāi)方式》0；④對(duì)數(shù)式，則使真數(shù)＞0;⑤指數(shù)式/。)°,則使/(x)H0；⑥正切式tan(0x+8),則使

5+夕工5九+%1乃,1人￡rZo

12函數(shù)單調(diào)性：(定義法判斷，常見(jiàn)函數(shù)單調(diào)性)

①函數(shù)單調(diào)性定義：

增函數(shù)：(1)、文字描述：y隨x的增大而增大。

(2)、數(shù)學(xué)符號(hào)表述：設(shè)f(x)在xe(a,6)上有定義，若對(duì)任意的花/?e(a,b),且王＜%,

都有/(須)＜/(4)成立，則就叫f(X)在xe(a,b)上是增函數(shù)。g力)為f(x)的遞增區(qū)間。

減函數(shù)：(1)、文字描述：y隨x的增大而減小。

(2)、數(shù)學(xué)符號(hào)表述：設(shè)f(x)在xe(。/)上有定義，若對(duì)任意的事,馬€(。/),且$＜々，

都有/(X)＞/(馬)成立，則就叫f(x)在xe(a/)上是減函數(shù)。(a,b)為f(x)的遞減區(qū)間。

②常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性：(1)一次函數(shù)卜=丘+"女＞0為增函數(shù)，左＜0為減函數(shù)；

c、門山局布物k仔＞0時(shí)，在BQ)和(°,+8)上分別為減函數(shù)

(2)反比例函數(shù)夕=—,\：

"x［左＜0H寸，在(-8,0)和(0,+oo)上分別為增函數(shù)

(3)二次函數(shù)”=ax2+bx+c=a(x+2f+丑￡_打，

2a4。

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在(一8,—2)上是減函數(shù)，在(—2,+8)上是增函數(shù)；

2a2a

當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)在(一8,一~上是增函數(shù)，在(一"^-,一)上是減函數(shù)。

2a2a

13函數(shù)奇偶性：(定義法判斷，常見(jiàn)函數(shù)奇偶性)

①奇偶性定義：(函數(shù)是奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

在前提條件下，若有/(—x)=—/G)，則f(x)是奇函數(shù)；若有/(—X)=/(X),則是偶函數(shù)。

性質(zhì)：(1)、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

(2)、定義在R上的奇函數(shù)，必有f(0)=0。

②常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性：(1)一次函數(shù)少="+6,在8=0時(shí)是奇函數(shù)，在bHO時(shí)非奇非偶；

(2)反比例函數(shù)少=人是奇函數(shù)；

X

(3)二次函數(shù)y=a?+bx+c,在6=0時(shí)是偶函數(shù)；

(4)三角函數(shù))，=5m》和歹=tanx在定義域上是奇函數(shù)，y=cosx是偶函數(shù)。

14二次函數(shù)的解析式的三種形式:

(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0);

(2)頂點(diǎn)式：/。)=。(》一6)2+儀。，0)；(當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(人,左)時(shí)，設(shè)為此式)(**)

(3)零點(diǎn)式：/(x)=a(x-xJ(x-X2)(a，0)；(當(dāng)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(須,0),(%,0)時(shí)，

設(shè)為此式)

15對(duì)于函數(shù)y=/(x)(x€/?),若f(a+x)=f(b-x)恒成立,則函數(shù)/(X)的對(duì)稱軸是x=區(qū)產(chǎn)。

16常見(jiàn)函數(shù)的圖像：

17分段函數(shù)：①求函數(shù)值。根據(jù)自變量范圍，確定需代入的表達(dá)式;

②求定義域。取函數(shù)各段上的范圍求并集。

③求值域。畫出函數(shù)圖像，結(jié)合圖像特征寫出值域。

四、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

考點(diǎn)：指數(shù)式'對(duì)數(shù)式的計(jì)算、化簡(jiǎn)；指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)運(yùn)用

18分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的性質(zhì)：

(1)、an=y[a^(。>0,加,〃wN*,且〃>1).

11

(2)、an——=-,(a>0,〃wN,且〃>1).

an血

(3)、麗)"=a.

(4)、當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，后=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，折=|。|=]"'"2"

-a,a<0

19指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式：log“N=bQa"=N(a>0,aH1,N>0)

指數(shù)性質(zhì)：

(1),a-p=-^；⑵、d=l(a/0)；(3)、(am)"=amn

r

(4)、ar-as=ar+s；(5)、—=ar-s；(6)、[ab)r=ar-br

as

對(duì)數(shù)性質(zhì)：

⑴、log41=0(2)、log〃a=1；(3)、log"a"=〃；(4)、a'°Sah=b

20指數(shù)函數(shù)：

(1)、歹=優(yōu)(。>1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù);

(2)、y=/(0<a<l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。注：指數(shù)函數(shù)圖象都恒過(guò)點(diǎn)(0,1)

21對(duì)數(shù)函數(shù)：

(1)、y=log"X(a>l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)、y=log“x(0<a<l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；注：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象都恒過(guò)點(diǎn)(1,0)

,102N

22對(duì)數(shù)的換底公式：log“N---------(。>0,且qWl,〃z>0,且加Hl,N>0).

1%a

23積、商、幕的對(duì)數(shù)：若。>0且“Hl,〃>0,N>0則

M

⑴log“(MN)=log?M+logN;(2)log—=log,,M-logN;

flflNfl

⑶log“M"=nlog”M{nGR);

24平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題(負(fù)增長(zhǎng)時(shí)x<0)：

如果原產(chǎn)值為。，平均增長(zhǎng)率為x,則對(duì)于時(shí)間〃的總產(chǎn)值4,有Z=a(l+x)".

五、三角函數(shù)

考點(diǎn)：三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；三角函數(shù)的符號(hào)；同角三角函數(shù)關(guān)系式；誘導(dǎo)公式；正弦、

余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)；兩角和、差的正弦、余弦、正切公式；二倍角公式；正弦型函數(shù)的性質(zhì)；正余

弦定理及應(yīng)用。

22

25三角函數(shù)定義：已知角a的終邊上一點(diǎn)尸(xj),r^OP\^ylx+y>0,

.yxy

則niIsina=J,cosa=—,tana二—。

rrx

26特殊角的三角函數(shù)!1t：

TC7T兀兀3兀

三角函數(shù)0兀2〃

~647T

72

sina0V3i0-10

2

V2]_

cosa1V30-101

~2~T2

tana0V31石不存在0不存在0

27三角函號(hào)發(fā)的符號(hào)：一全正，二jn三弦，三正切,四余弦。

sin(yTT

28同角三角函數(shù)關(guān)系式：sin2a+cos2a=1,xeR；tancr=----,a豐一+k兀，k^Z

cosa2

注意：①前式中“由弦求弦時(shí)，必須根據(jù)角的范圍定值”；

②后式常用來(lái)解決“由正切值求正余弦的齊次式的值”。

29誘導(dǎo)公式：(AeZ)奇變偶不變，符號(hào)看象限

717t

誘導(dǎo)公式CC+2k7T-a7r-a〃+a——a一+a

22

正弦sina-sinasina-sinacosacosa

余弦cosacosa-COS6Z-cosasina一sina

正切tana-tana-tanatana//

30正弦、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

①正弦、余弦函數(shù)的圖像(正弦簡(jiǎn)圖必須會(huì)畫！)

②正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)：(1)定義域：xe&,值域：y€［-l,l］；

(2)奇偶性：y=sinx是奇函數(shù)，y=cosx是偶函數(shù)；

(3)周期性：7=2%；

另外：(4)正弦函數(shù)的最大(小)值和取得：

兀兀

當(dāng)X=萬(wàn)+2左),左￡Z時(shí)Vmax=1；當(dāng)X=-5+2左4,左￡Z,min=-1。

(5)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

TTTTTT%冗

單增區(qū)間是［一々+2%乃,々+2左乃］，左eZ；單減區(qū)間是［代+2七r,二+2A捫MeZ。

2222

31兩角和、差的正弦、余弦、正切公式：

sin(a±p)=sinacosyff±cosasinp；cos(a±=cosacos+sinasin/3；

tan(a±￡)Jna±tanJ

1+tan(7tan0

注意：該公式的正用和反用，以及和誘導(dǎo)公式的穿插應(yīng)用°

32輔助角公式：asinx+hcosx=J。2+〃sin(x+°)

(輔助角夕所在象限由點(diǎn)(a,?的象限決定，tan9=2).

a

注意：該公式主要用于求形如asinx+bcosx的函數(shù)的最值、周期、單調(diào)區(qū)間。

33二倍角公式：

sin2a=2sinacosa；

cos2a-sin?a

.l-cos2a1+cos2a

cos2a=2cos2a-1=sm2a---------,cos2a----------

22

l-2sin2a

2tana

tanla-

1-tan2a

注意：對(duì)二倍角公式的要求是會(huì)運(yùn)用公式求值即可。

34正弦型函數(shù)的性質(zhì)：

y=/sin(5+e),(4>0,口>0,［)具有以下性質(zhì)：

2萬(wàn)

①7=——；②值域：ye［~A,A］；

③單調(diào)區(qū)間：把0X+9看成整體，運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求法。

35正弦定理：---=---=---

sinAsinBsinC

①定理變形：a=《sin/,b=《sin8,c=左sinC=a:b:c=sin/:sin8:sinC

②主要應(yīng)用：由兩角和一邊求其他；由兩邊和一邊的對(duì)角求其他。

36余弦定理：

a2=b°+c2-IbccQsA■,b2—c2+a2-leacosB;c2-a2+b~-labcosC.

O-加m彳+c2-a-ar+c2-b1》a2+b2-c2

①定理1m變形：cosJ=----------；cos8n=----------；cosC=----------

2bclaclab

②主要應(yīng)用：由兩邊和夾角求其他；由三邊求任一角；由三邊判斷三角形形狀。

37三角形面積公式：

(1)S=—ah=—bh--ch(%、%、"分別表示a、b、c邊上的高).

22h2

(2)S=—a6sinC=-6csin^=—casin5.(**)

222

注意：在△ZBC中，有N+B+C=〃=C=4一(Z+B)0■|=、-甘名.從而有

sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),sin色=cos史坦等式成立。

22

六、數(shù)列

考點(diǎn)：根據(jù)通項(xiàng)求數(shù)列的項(xiàng)；求數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用。

38求數(shù)列的項(xiàng)：若已知通項(xiàng)公式，只需將項(xiàng)數(shù)代入計(jì)算即可；若已知遞推公式，則一般應(yīng)在先求出前幾

項(xiàng)(依次代入項(xiàng)數(shù))基礎(chǔ)上才可求。

39等差數(shù)列：

①定義表達(dá)式：an+x-an=d,d是常數(shù);(它是判斷等差數(shù)列的重要方法)

②通項(xiàng)公式：(1)6,=%+(〃—l)d；其中q為首項(xiàng)，d為公差，n為項(xiàng)數(shù)，例為末項(xiàng)。

(2)推廣：an=ak+(n-k)d,(n>k)；

③前n項(xiàng)和：(1)S“=3%+4)；其中4為首項(xiàng)，n為項(xiàng)數(shù)，為末項(xiàng)。

/、cn(n-l),

(2)Sn=na]H——――-d；

④常用性質(zhì):(D若加+〃=r+s,則有區(qū)“+%=%+4；

(2)若。是。力的等差中項(xiàng)，則必有。=史辿，反之亦成立。

2

(3){%}為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則S,“,52ffl-鼠一S2m也成等差數(shù)歹(I。

40等比數(shù)列：

①定義表達(dá)式：—=q,夕是非零常數(shù)；(它是判斷等比數(shù)列的重要方法)

%

②通項(xiàng)公式：(1)a“=%qi,其中%為首項(xiàng)，n為項(xiàng)數(shù)，q為公比，%為末項(xiàng)。

(2)推廣：%%

na[(q=1)

③前n項(xiàng)和：⑴s%—_〃%-a〃“〃q：

,i-qi-q

⑤常用性質(zhì)：⑴若加+〃=r+s,貝I]有a,“q=%q；

(2)若G是a,b的等比中項(xiàng)，則有G2=a力，反之不成立！!

41通項(xiàng)公式的求法：

①若是等差（比）數(shù)列，則運(yùn)用相關(guān)公式求解；

②滿足4+1=/（〃）時(shí)，可運(yùn)用對(duì)〃取值累加法；（如：已知％=2,%+|-4"=”,求通項(xiàng)。）

③滿足馬電=〃〃）時(shí)，可運(yùn)用對(duì)〃取值累乘法；（如：已知％=3%,求通項(xiàng)。）

an2n+2

④已知通項(xiàng)?！昂蚐”的關(guān)系式，一般考慮運(yùn)用公式：a=[E，（”=l）將"和”轉(zhuǎn)化成“項(xiàng)”，再判

斷等差還是等比。（如《相約在高?！坊铐?yè)作業(yè)冊(cè)：P.372,14.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S“=；（a”一1）,

求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列。）

七、平面向量

考點(diǎn)：平面向量的定義；相等向量、零向量和單位向量；向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；

向量的減法；數(shù)乘向量；向量共線的充要條件；向量的坐標(biāo)運(yùn)算；向量?jī)?nèi)積的公式和坐標(biāo)運(yùn)算。

42平面向量的概念：兩個(gè)要素：大小，方向；表示法；相等向量，零向量和單位向量；

43向量的加法：①三角形法則：首尾聯(lián)，首指尾；②平行四邊形法則：始點(diǎn)同，對(duì)角線。

向量的減法：始點(diǎn)同，指被減。（三角形法則也適用于共呼量的加法）

44向量的數(shù)乘：①模：|筋|=|初|7|；②方向：4>0時(shí)，筋與G同向，4<0時(shí)，花與々反向。

注意：當(dāng)4=0或￡=6時(shí)，都有九2=0成立。

45向量數(shù)乘運(yùn)算律：設(shè)入、口為實(shí)數(shù)，那么：

（1）結(jié)合律：X（ua）=（XU）5；

（2）第一分配律：（X+u）a=\a+na;

⑶第二分配律：A（a+6）=Xa+X6.

46向量的內(nèi)積（數(shù)量積）定義式：a?b=\a\\b\cos<a,b>.

47平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

⑴設(shè)不=（X|，M）,b=（x2,y2）,則1±5=（七±々,凹士%）；

⑵設(shè)點(diǎn)A?,必）,點(diǎn)B?,%）,則AB=OB-OA-（x2-xt,y2-yt）；

（4）設(shè)萬(wàn)=（x,y）,4e火，KO2a=（Ax,Ay）；

⑸設(shè)萬(wàn)=（Xi，y）,B=（電,夕2），則萬(wàn)?B=X|W+K%，I何="12.

48向量的共線（平行）與垂直：設(shè)2=（%,乂），5=（%,%），且貝I：

①萬(wàn)//3=3=入萬(wàn)QXJ2-X2M=0.（交叉相乘差為零）；

②萬(wàn)_LB（2H0）Qa,6=0<=>x,x2+yty2=0.（對(duì)應(yīng)相乘和為零）。

49線段中點(diǎn)公式和三角形重心公式：

①設(shè)A（xi，y）、B（x2）y2）,線段AB的中點(diǎn)為M,則股（土土強(qiáng),”必）；（**）

②設(shè)A48C三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（x?y,）B（x2,y2）C（x3,y3）,則A48c的重心G（九號(hào)12,生與必）.

22

50平面兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)點(diǎn)A（x，乂）,點(diǎn)B（X2，J2），則dAB=\AB\=y]（x2-xl）+（y2-yl'）?（**）

八、平面解析幾何

(一)直線

考點(diǎn)：直線的傾斜角和斜率；直線的橫截距和縱截距；直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程；兩條直線的位

置判斷；兩直線的交點(diǎn)；點(diǎn)到直線的距離。

51直線的傾斜角和斜率：

①傾斜角定義：從x軸正方向繞著直線與x軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線向上的部分形成的最小正角。

用a表示直線/的傾斜角，則有ae[0,乃)，其中a=0是指直線與x軸重合或平行.

jr

②斜率求法：(1)定義法：k=fdna,注意：a=—時(shí)，斜率不存在，此時(shí)直線垂直于x軸；

2

(2)已知直線上兩點(diǎn)片⑶,凹)、月(乙,8)，則有左=三二匕

X2-玉

52直線方程的三種形式:

(1)點(diǎn)斜式y(tǒng)-y}=k[x-xi)(直線/過(guò)點(diǎn)。(須,必),且斜率為左).

(2)斜截式y(tǒng)=Ax+6(b為直線/在y軸上的截距).

(3)一般式4<：+皺+。=0(其中4、B不同時(shí)為0).

注意:直線的橫截距、縱截距求法：只需在直線方程中，分別令x=0求縱截距，令y=0求橫截距。

53點(diǎn)到直線的距離：4=坐+為。+。,(點(diǎn)。(后,為),直線/：Jx+5v+C=0).

yjA2+B2

注意：兩平行直線的距離公式：l.Ax+By+Q=0,l2:Ax+By+C2^Q,C^C2,則乙，的距離

是d=!一。21。

54兩直線的位置關(guān)系判斷：

①直線的斜率存在時(shí)，兩直線方程形如：lvy=k,x+b1,l2-.y=k1X+b2,則

4與，2平行Q勺=左2且4。&；4與重合Ok\=-2且4=b2;

/]與，相交O女產(chǎn)左2；又若尢,上2=—1,則

②直線方程是一般式時(shí)，方程形如：lvAlX+Bxy+C^Q,l2:A2X+B2y+C2^0,則

4與4平行Q452=44且4G*4G；4與4重合04與=44且4G=4G；

4與4相交q4與H44；又若44+482=0,則/[JL/j。

(二)圓

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的一般方程；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷；直線與圓的位置關(guān)系判斷；圓的切線方

程；圓的弦長(zhǎng)公式。

55圓的方程的兩種形式：

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=/.

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,(Z)2+E2-4F>0).

注意：①將圓的一般方程經(jīng)過(guò)分別對(duì)x,y的配方，化成標(biāo)準(zhǔn)方程必須會(huì)?。?**)

②標(biāo)準(zhǔn)方程適合于：已知圓心和半徑；已知直徑兩端點(diǎn)坐標(biāo)；已知圓心和圓上一點(diǎn)坐標(biāo)。

③一般方程適合于：己知圓上任意三點(diǎn)坐標(biāo)。

56點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)P(Xo，%)與圓(x—a)2+(y-b)2=/

22

①計(jì)算點(diǎn)P到圓心(。乃)的距離：d=^(a-x0)+(b-yQ)；

②比較d與尸的大?。篸>ro點(diǎn)P在圓外；d=ro點(diǎn)P在圓上;0Wd<尸u>點(diǎn)P在圓內(nèi).

57直線與圓的位置關(guān)系：直線/:4x+^+C=0與圓C:(x-af+(y-b)2=/

\Aa+Bb+C\

①計(jì)算圓心(。/)到直線/的距離：d=

JT+爐

②比較d與r的大小：直線與圓相離=△<()；d=直線與圓相切=△=()；

0直線與圓相交=△>().

58圓的切線方程/：過(guò)點(diǎn)尸（5,坊）與與圓C:（x—a）2+（y—6）2=尸2相切

①點(diǎn)P在圓上時(shí)：求左”T求%7求/方程；

②點(diǎn)在圓外時(shí)：設(shè)切線斜率左T寫出切線方程并整理成一般式T求出圓心C到切線距離dT由

d=尸求得斜率左一代入整理得切線方程。

注意：若求出的斜率只有一個(gè)，說(shuō)明經(jīng)過(guò)點(diǎn)P垂直于x軸的直線為另一條切線。

59圓的弦長(zhǎng)〃？：直線/:++C=0與圓C:（x—a）2+（y—b）2=r2

①計(jì)算圓心C（a,6）到直線/的距離：d=叫+.

②將d代入公式：m=2,2一代2即可。

（三）圓錐曲線（對(duì)口高考?jí)狠S題所在?。。?/p>

考點(diǎn)：橢圓、雙曲線與拋物線的定義；橢圓'雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓'雙曲線與拋物線的性

質(zhì)；直線與橢圓、拋物線相交形成的弦長(zhǎng)，弦的中點(diǎn)，弦的斜率等綜合問(wèn)題。

60橢圓：①定義表達(dá)式：已知定點(diǎn)片，居，動(dòng)點(diǎn)P滿足：|尸耳|+|「居|=2a,（2a>|丹6|）

應(yīng)用：常用來(lái)求經(jīng)過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)的弦與另一個(gè)焦點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)。（4“）

②標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)：（列表如下）

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

￡

圖形

,1w

焦點(diǎn)坐標(biāo)邛-c,O),g(c,O)邛0,-c),鳥(niǎo)(0,c)

個(gè)

性

頂點(diǎn)坐標(biāo)4(一a,0),4(a,0),B、(0,-Z>),為(0力)4(0,-a),4(0,a),5,(-6,0),B他0)

對(duì)稱軸X軸，y軸

焦距，長(zhǎng)軸，

焦距:1-1=2c,長(zhǎng)軸:1441=2*短軸：一現(xiàn)=2匕

短軸

共

12

性a,b,c的關(guān)系a=/+c

離心率ee=—,(0<e<1)

a

61雙曲線：①定義表達(dá)式：已知定點(diǎn)耳，與，動(dòng)點(diǎn)P滿足：||尸"一|尸名||=2a,（2。<|百6|）

應(yīng)用：主要用于求雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離。

②標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)：

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在歹軸上

圖形

圖1圖2

焦點(diǎn)坐標(biāo)耳(―c,0),馬(c,0)4(0,—c),5(0,c)

個(gè)

頂點(diǎn)坐標(biāo)4(-a,o)，4(a,0)4（0i），4（0,a）

性

y=±2x

漸近線y=±gx

a

對(duì)稱軸；焦距，

X軸，y軸;焦距：|4鳥(niǎo)|=2c,實(shí)軸：I44l=2a,虛軸：圍為=26

實(shí)軸，虛軸

共

a,b,c的關(guān)系c1=a2+/72

性

離心率ee=￡,(e>l)

a

63拋物線：①定義表達(dá)式：

已知定點(diǎn)F,定直線/,動(dòng)點(diǎn)尸滿足：|「尸|=d,其中d表示點(diǎn)P到直線/的距離。

應(yīng)用：在已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離問(wèn)題時(shí)經(jīng)常轉(zhuǎn)化成該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。

②標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)：

焦點(diǎn)位置X軸正半軸X軸負(fù)半軸y軸正半軸j軸負(fù)半軸

y2=-2px,(p>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程/=2px,(p>0)x2=2眇,(。>0)X?=-2期,(p>0)

小斗之

4

圖形

嗚,。）

焦點(diǎn)坐標(biāo)十多0）尸（。，9F(0,-g

-PT

準(zhǔn)線方程X=Xy=

-222

對(duì)稱軸X軸y軸

離心率e=l

焦準(zhǔn)距p焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（p>0）

64直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式：已知直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)/（外,凹）,8（X2,8），求弦長(zhǎng)

①將直線方程化成斜截式代入曲線方程消元；（由方程[y=kx+b消去y得到辦2+瓜+。=0）

[F（x,y）=O

b

X.4-X,=——

②運(yùn)用韋達(dá)定理求出兩根和與兩根積；a

C

/r2=—

③將上述結(jié)果代入弦長(zhǎng)公式：|/邳=7（1+42）［（々+再）2—4々?%］即可。

65弦的中點(diǎn)和斜率問(wèn)題：

①與以上求弦長(zhǎng)的前兩步相同，然后借助于線段中點(diǎn)公式求弦的中點(diǎn)坐標(biāo)；

②求以已知點(diǎn)為弦中點(diǎn)的弦的直線方程：一般考慮用點(diǎn)差法求出弦的斜率，繼而得到弦的直線方程。

九、立體幾何

考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)；線與面、面與面的平行；線面所成角；二面角；線與面、面與面的垂直；柱錐

球的組成和側(cè)面積（全面積）'體積.

66平面的基本性質(zhì)：

確定一個(gè)平面的條件：①不共線的三點(diǎn)；②直線和線外一點(diǎn)；③兩平行直線；④兩相交直線。

注意：點(diǎn)線面的關(guān)系表示和兩相交平面的畫法必須會(huì)！

67空間的平行：

①線線平行：a//b,b//c^a//c（平行傳遞性）

②線面平行：

（1）判定定理：線線平行n線面平行；（平面外的直線與平面內(nèi)的直線）

（2）性質(zhì)定理：線面平行n線線平行；（平面外的直線與兩個(gè)面的交線）

注：證明線面平行，還可以通過(guò)面面平行推得線面平行.

③面面平行：

（1）判定定理：繾面平行n面面平行（一個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線）

（2）性質(zhì)定理：面面平行=＞繾繾平行（兩個(gè)面與第三個(gè)面的交線）

68直線、平面所成的角：

①異面直線所成的角：一般是通過(guò)平移將其轉(zhuǎn)化成兩相交直線所夾的角：

②線面所成角：

（1）平面的垂線、斜線、垂足、斜足，斜線在平面上的射影等概念；

（2）線面所成角：平面的斜線和斜線在平面上的射影所夾的角。

注：求線面所成角時(shí)，一般是將其放在由斜線、垂線和射影組成的M△中求解！

③面面所成角：

（1）二面角的大小：由棱上的一點(diǎn)在兩個(gè)半平面中分別作棱的垂線組成的平面角度量。

（2）二面角的求法：一般考慮由一個(gè)面內(nèi)的一點(diǎn)向另一個(gè)面所引的垂線得到平面角再求解。

69空間的垂直

①線線垂直：包括相交垂直和異面垂直兩種情況；

②線面垂直：

（1）判定定理：線繾垂直n線面垂直（必須是平面內(nèi)的兩條相交直線）

（2）性質(zhì)定理：綾面垂直n線線平行（必須是垂直于同一個(gè)平面的兩條直線）

③面面垂直：

（1）判定定理：繾面垂直n面面垂直（必須是另一個(gè)平面內(nèi)的直線）

（2）性質(zhì)定理：面面垂直n繾面垂直（必須是在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線）

70柱、錐、球

（一）棱柱

①棱柱定義、正棱柱性質(zhì);（底面是正多邊形的直棱柱）

②面積體積：S正棱柱例=c〃,S正棱柱全=兇+2s底面，。棱柱=S底面人，其中c表示底面周長(zhǎng)，〃表示高。

（-）棱錐

①棱錐定義、正棱錐性質(zhì)（底面是正多邊形，側(cè)面是全等的等腰三角形），斜高（側(cè)面底邊上的高）；

②面積體積：S正棱黜小京上正臃全=；M'+S底面，勺棱鋒=；S底面6其中?表示斜高。

（三）圓柱

①圓柱的組成和性質(zhì)，軸截面是長(zhǎng)為高，寬為底面直徑的矩形；

②面積體積：S圓柱廁=2〃”?,S圓柱全=2〃（/?+r）,%柱=?//?,其中r是底面圓半徑，〃表示高。

（四）圓錐

①圓錐的組成和性質(zhì)，軸截面是等腰三角形，底邊上的高是圓錐的高；

②面積體積：S1gM=乃〃,5圓錐全=乃?+r），/錐其中/是母線長(zhǎng)，尸是半徑，/?是高。

（五）球

①球的組成，球面、球心，大圓，小圓；

②截面圓：若球心到截面的距離為d,球的半徑是火，截面圓半徑是＞則有尸=J&2一??；

③面積體積：S球=4乃