專題05 三角形面積最值問題（解析版）

專題05三角形面積最值問題一、知識(shí)導(dǎo)航求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補(bǔ)、等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法．【問題描述】在平面直角坐標(biāo)系中，已知、、，求△ABC的面積．【分析】顯然對(duì)于這樣一個(gè)位置的三角形，面積公式并不太好用，割補(bǔ)倒是可以一試，比如這樣：構(gòu)造矩形ADEF，用矩形面積減去三個(gè)三角形面積即可得△ABC面積．這是在“補(bǔ)”，同樣可以采用“割”：此處AE+AF即為A、B兩點(diǎn)之間的水平距離．由題意得：AE+BF=6．下求CD：根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線AB解析式為：由點(diǎn)C坐標(biāo)（4,7）可得D點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，將4代入直線AB解析式得D點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，故D點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2），CD=5,．【方法總結(jié)】作以下定義：A、B兩點(diǎn)之間的水平距離稱為“水平寬”；過點(diǎn)C作x軸的垂線與AB交點(diǎn)為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”．如圖可得：【解題步驟】（1）求A、B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；（2）過點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D，可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；（3）求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；（4）根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高；（5）利用公式求得三角形面積．【思考】如果第3個(gè)點(diǎn)的位置不像上圖一般在兩定點(diǎn)之間，如何求面積？鉛垂法其實(shí)就是在割補(bǔ)，重點(diǎn)不在三個(gè)點(diǎn)位置，而是取兩個(gè)點(diǎn)作水平寬之后，能求出其對(duì)應(yīng)的鉛垂高！因此，動(dòng)點(diǎn)若不在兩定點(diǎn)之間，方法類似：【鉛垂法大全】（1）取AB作水平寬，過點(diǎn)C作鉛垂高CD．（2）取AC作水平寬，過點(diǎn)B作BD⊥x軸交直線AC于點(diǎn)D，BD即對(duì)應(yīng)的鉛垂高，（3）取BC作水平寬，過點(diǎn)A作鉛垂高AD．甚至，還可以橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高．（4）取BC作水平寬，過點(diǎn)A作鉛垂高AD．（5）取AC作水平寬，過點(diǎn)B作鉛垂高BD．（6）取AB作水平寬，過點(diǎn)C作鉛垂高CD．二、典例精析例一、如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．當(dāng)點(diǎn)在直線的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的面積的最大值．【分析】（1），（2）取BC兩點(diǎn)之間的水平距離為水平寬，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，則PQ即為鉛垂高．根據(jù)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得B、C水平距離為4，根據(jù)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線BC解析式：y=x+1，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2+6m+5），則點(diǎn)Q（m，m+1），得PQ=-m2-5m-4，考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積就最大．當(dāng)時(shí)，△BCP面積最大，最大值為．【小結(jié)】選兩個(gè)定點(diǎn)作水平寬，設(shè)另外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)來表示鉛垂高．例二、在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖像向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，經(jīng)過點(diǎn)的一次函數(shù)的圖像與軸正半軸交于點(diǎn)，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，的面積為5．（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像下方，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線解析式：；一次函數(shù)解析式：．（2）顯然，當(dāng)△ACE面積最大時(shí)，點(diǎn)E并不在AC之間．已知A（-1,0）、，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交直線AD于F點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，代入一次函數(shù)解析式得可得考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積最大．既然都是固定的算法，那就可以總結(jié)一點(diǎn)小小的結(jié)論了，對(duì)坐標(biāo)系中已知三點(diǎn)、、，按鉛垂法思路，可得：如果能記住也不要直接用，可以當(dāng)做是檢驗(yàn)的方法咯．【總結(jié)】鉛垂法是求三角形面積的一種常用方法，尤其適用于二次函數(shù)大題中的三角形面積最值問題，弄明白方法原理，熟練方法步驟，加以練習(xí)，面積最值問題輕輕松松．三、中考真題演練1．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：如圖1，作于，作于，交于，，，，，拋物線的對(duì)稱軸是直線：，，，，，故只需的邊上的高最大時(shí)，的面積最大，設(shè)過點(diǎn)與平行的直線的解析式為：，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，的面積最大，由得，，由△得，得，，，，，，，，；2．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)①當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，可得：，解得：，即：，；（2）①由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)的解析式為：，將，代入中，可得，解得：，∴的解析式為：，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，

∵，則，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為，則縱坐標(biāo)為，∴，的面積，∵，∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為；3．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求的面積．注：拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】(1)拋物線對(duì)應(yīng)的解析式，(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，再根據(jù)解析式求點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；（2）求出點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)，，利用即可得到答案．【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，解這個(gè)方程組，得．拋物線對(duì)應(yīng)的解析式．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，，即：，，．（2）如圖，連接OP．

，，，，，，．，．【點(diǎn)睛】此題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，掌握數(shù)形結(jié)合的思想和割補(bǔ)法求三角形面積是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．以為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題：

(1)當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，求t的值；(2)連接．設(shè)的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；【分析】（1）證明，則，即可求解；（2）由即可求解；【詳解】（1）∵平行四邊形，∴，，，由題意得∶，，如下圖，點(diǎn)在上時(shí)，

∵，，，∴，∴，則即解得：（2）如上圖，∵，∴，∵四邊形是菱形，則，∴，∴為等腰三角形，則過點(diǎn)作于點(diǎn)，則即解得∶，則，設(shè)中邊上的高為，則即：，故有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為；5．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(3)如圖2，過動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入求解即可；（3）由待定系數(shù)法確定直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，設(shè)，然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入上式得：，所以拋物線的表達(dá)式為；（3）由已知點(diǎn)，，，設(shè)直線的表達(dá)式為，將，代入中，，解得，∴直線的表達(dá)式為，同理可得：直線的表達(dá)式為，∵，∴設(shè)直線表達(dá)式為，由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式得：，∴直線的表達(dá)式為：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為.．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周長最短問題及面積問題，理解題意，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的綜合性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023·山東聊城·中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時(shí)，面積最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；(3)時(shí)，有最大值，最大值為．【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；（3）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，可證，；運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式，直線解析式；設(shè)點(diǎn)，，則，，，，運(yùn)用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時(shí)，最大值為．【詳解】（1）將，代入，得，解得∴拋物線解析式為：（3）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，∵，∴∴∵∴，同理可得設(shè)直線的解析式為：則，解得∴直線：同理由點(diǎn)，，可求得直線：設(shè)點(diǎn)，，則，，，中，，∴，中，∴，解得，∴∵∴；中，∴，解得，∴∵∴∴，即．∵∴時(shí)，，有最大值，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（2023·湖北荊州·中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，并與動(dòng)直線交于點(diǎn)，連接，，，，其中交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)的面積為，的面積為．①當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求的面積；②探究直線在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由．【答案】(1)0或2或(2)①6，②存在，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時(shí)候，按照?qǐng)D像的性質(zhì)以及與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的情況即可求出值．（2）①根據(jù)和的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出長度，再利用和的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出的直線解析式，結(jié)合即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出長度，最后利用面積法即可求出的面積．②觀察圖形，用值表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平行線分線段成比例求出長度，利用割補(bǔ)法表示出和，將二者相減轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，利用取值范圍即可求出的最小值．【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，，．當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，，若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即與軸，軸分別只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，．當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即其中一點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)，，，．綜上所述，或0．故答案為：0或2或．（2）解：①如圖所示，設(shè)直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．

依題意得：，解得：拋物線的解析式為：．點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，，，，，由，得直線的解析式為，在直線上，且在直線上，則的橫坐標(biāo)等于的橫坐標(biāo)，，，，，．故答案為：6．②存在最大值，理由如下：如圖，設(shè)直線交軸于．由①得：，，，，，，，，，，即，，，，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，二次函數(shù)與面積問題，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵在于分情況討論函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，以及二次函數(shù)最值問題．8．（2023·湖南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式．(2)過點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．若，求面積的最大值．【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意，聯(lián)立拋物線與直線，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，根據(jù)即可求解；【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）解：∵拋物線與直線交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）聯(lián)立，解得：或，∴，∴，∵點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．則，，∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，∵，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，∴，∴面積的最大值；9.（2023·湖南懷化·中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，作直線，連接、，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，得出直線的解析式為，設(shè)，則，得出，當(dāng)取得最大值時(shí)，面積取得最大值，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；【詳解】（1）解：將代入，得，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

由，令，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得，，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴，當(dāng)時(shí)，的最大值為∵∴當(dāng)取得最大值時(shí)，